Ha a feladat megkívánja teljes tanulmány f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 függvények gráfjának felépítésével, akkor ezt az elvet részletesen megvizsgáljuk.

Egy ilyen típusú probléma megoldásához a fő elemi függvények tulajdonságait és grafikonjait kell használni. A kutatási algoritmus a következő lépéseket tartalmazza:

Yandex.RTB R-A-339285-1

A definíciós tartomány megtalálása

Mivel a kutatás a függvény területén folyik, ezzel a lépéssel kell kezdeni.

1. példa

Az adott példa a nevező nulláit keresi, hogy kizárja őket a DPV-ből.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ennek eredményeként gyököket, logaritmusokat és így tovább kaphat. Ekkor az ODZ a g (x) 4 típusú páros fok gyökére a g (x) ≥ 0 egyenlőtlenséggel, a log a g (x) logaritmusra a g (x) > 0 egyenlőtlenséggel kereshető.

ODZ határok vizsgálata és vertikális aszimptoták keresése

Függőleges aszimptoták vannak a függvény határain, amikor az ilyen pontokban az egyoldali határok végtelenek.

2. példa

Tekintsük például az x = ± 1 2 határpontokat.

Ezután tanulmányozni kell a függvényt, hogy megtaláljuk az egyoldalú határértéket. Ekkor azt kapjuk, hogy: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = határ x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Ez azt mutatja, hogy az egyoldali határértékek végtelenek, ami azt jelenti, hogy az x = ± 1 2 egyenesek a gráf függőleges aszimptotái.

A függvény vizsgálata páros vagy páratlan esetén

Ha az y (- x) = y (x) feltétel teljesül, a függvényt párosnak tekintjük. Ez arra utal, hogy a gráf szimmetrikusan helyezkedik el O y-hoz képest. Ha az y (- x) = - y (x) feltétel teljesül, a függvényt páratlannak tekintjük. Ez azt jelenti, hogy a szimmetria a koordináták origójához tartozik. Ha legalább egy egyenlőtlenség meghiúsul, általános forma függvényt kapunk.

Az y (- x) = y (x) egyenlőség teljesülése azt jelzi, hogy a függvény páros. A konstrukciónál figyelembe kell venni, hogy O y-hoz képest szimmetria lesz.

Az egyenlőtlenség megoldására növekedési és csökkenési intervallumokat használunk f "(x) ≥ 0 és f" (x) ≤ 0 feltételekkel.

1. definíció

Helyhez kötött pontok pontok, amelyek a deriváltot nullára fordítják.

Kritikus pontok olyan belső pontok a tartományból, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik.

A döntés meghozatalakor a következő szempontokat kell figyelembe venni:

• az f "(x) > 0 alakú egyenlőtlenség meglévő növekedési és csökkenési intervallumaira a kritikus pontokat nem tartalmazza a megoldás;
• azokat a pontokat, ahol a függvény véges derivált nélkül definiálunk, bele kell foglalni a növekedési és csökkenési intervallumokba (például y \u003d x 3, ahol az x \u003d 0 pont határozza meg a függvényt, a derivált értéke végtelen ezen a ponton y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 benne van a növekedési intervallumban);
• a nézeteltérések elkerülése érdekében az Oktatási Minisztérium által javasolt matematikai szakirodalom használata javasolt.

Kritikus pontok felvétele a növekedési és csökkenési intervallumokba abban az esetben, ha kielégítik a függvény tartományát.

2. definíció

Mert a függvény növekedési és csökkenési intervallumainak meghatározásakor meg kell találni:

• derivált;
• kritikus pontok;
• a definíciós tartományt a kritikus pontok segítségével intervallumokra bontani;
• határozzuk meg a derivált előjelét az egyes intervallumokban, ahol + a növekedés és - a csökkenés.

3. példa

Keresse meg az f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) tartomány deriváltját 2.

Megoldás

A megoldáshoz szüksége van:

• stacionárius pontok keresése, ebben a példában x = 0 ;
• keresse meg a nevező nulláit, a példa a nulla értéket veszi fel x = ± 1 2 -nél.

A numerikus tengely pontjait feltesszük, hogy meghatározzuk az egyes intervallumok deriváltját. Ehhez elegendő bármely pontot kivenni az intervallumból, és számítást végezni. Nál nél pozitív eredmény a grafikonon a +-t ábrázoljuk, ami a függvény növekedését, a - pedig a csökkenését jelenti.

Például f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ami azt jelenti, hogy a bal oldali első intervallumnak + jele van. Vegye figyelembe a számot vonal.

Válasz:

• a - ∞ intervallumon a függvény növekedése tapasztalható; - 1 2 és (- 1 2 ; 0 ] ;
• az intervallum csökkenése [0; 1 2) és 1 2; +∞ .

Az ábrán a + és - használatával a függvény pozitivitása és negativitása látható, a nyilak pedig csökkenő és növekszik.

A függvény szélsőpontjai azok a pontok, ahol a függvény definiálva van, és amelyeken keresztül a derivált előjelet vált.

4. példa

Ha egy példát veszünk figyelembe, ahol x \u003d 0, akkor a benne lévő függvény értéke f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Amikor a derivált előjele +-ról -ra változik, és áthalad az x \u003d 0 ponton, akkor a (0; 0) koordinátákkal rendelkező pontot tekintjük a maximális pontnak. Ha a jelet -ról +-ra változtatjuk, akkor a minimum pontot kapjuk.

A konvexitást és a konkávitást az f "" (x) ≥ 0 és f "" (x) ≤ 0 alakú egyenlőtlenségek megoldásával határozzuk meg. Ritkábban használják a homorúság helyett a kidudorodó, a kidudorodás helyett a kidudorodást.

3. definíció

Mert a homorúság és a domborúság hézagainak meghatározása szükséges:

• keresse meg a második származékot;
• keresse meg a második derivált függvényének nulláit;
• szakítsa meg a definíciós tartományt az intervallumokra megjelenő pontokkal;
• határozza meg a rés előjelét.

5. példa

Keresse meg a definíciós tartomány második deriváltját.

Megoldás

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Megtaláljuk a számláló és a nevező nulláit, ahol példánkkal azt kapjuk, hogy az x nevező nullái = ± 1 2

Most pontokat kell feltennie a számegyenesre, és meg kell határoznia a második derivált előjelét minden intervallumból. Ezt értjük

Válasz:

• a függvény konvex a - 1 2 intervallumból; 12;
• a függvény konkáv a résekből - ∞ ; - 1 2 és 1 2 ; +∞ .

4. definíció

inflexiós pont egy x 0 alakú pont; f(x0) . Ha van érintője a függvény grafikonjához, akkor amikor áthalad x 0-n, a függvény előjelét az ellenkezőjére váltja.

Más szóval, ez egy olyan pont, amelyen a második derivált áthalad és előjelet vált, és magukban a pontokban egyenlő nullával, vagy nem létezik. Minden pontot a függvény tartományának tekintünk.

A példában látható volt, hogy nincsenek inflexiós pontok, mivel a második derivált az x = ± 1 2 pontokon áthaladva előjelet változtat. Ők viszont nem tartoznak a definíció tartományába.

Vízszintes és ferde aszimptoták keresése

Ha egy függvényt végtelenben határozunk meg, akkor vízszintes és ferde aszimptotákat kell keresni.

5. definíció

Ferde aszimptoták Az y = k x + b egyenlet által megadott egyenesek segítségével rajzoljuk meg, ahol k = lim x → ∞ f (x) x és b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Ha k = 0 és b nem egyenlő a végtelennel, azt találjuk, hogy a ferde aszimptota lesz vízszintes.

Más szóval, az aszimptoták azok a vonalak, amelyeket a függvény grafikonja a végtelenben közelít. Ez hozzájárul a függvény grafikonjának gyors felépítéséhez.

Ha nincsenek aszimptoták, de a függvény mindkét végtelenben definiálva van, akkor ki kell számítani a függvény határát ezeken a végteleneken, hogy megértsük, hogyan fog viselkedni a függvény grafikonja.

6. példa

Példaként vegyük ezt figyelembe

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

vízszintes aszimptota. A funkció kutatása után elkezdheti felépíteni.

Függvény értékének kiszámítása köztes pontokban

A legpontosabb ábrázolás érdekében ajánlatos a függvény több értékét megkeresni a közbenső pontokban.

7. példa

Az általunk vizsgált példából meg kell találni a függvény értékeit az x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 pontokban. Mivel a függvény páros, azt kapjuk, hogy az értékek egybeesnek az ezekben a pontokban lévő értékekkel, azaz x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Írjuk és oldjuk meg:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

A függvény maximumának és minimumának, inflexiós pontjainak, köztes pontjainak meghatározásához aszimptoták felépítése szükséges. A kényelmes kijelölés érdekében a növekedés, csökkenés, konvexitás, homorúság intervallumait rögzítik. Tekintsük az alábbi ábrát.

A megjelölt pontokon át kell rajzolni a grafikonvonalakat, amelyek segítségével a nyilak követésével közelebb kerülhetsz az aszimptotákhoz.

Ezzel a függvény teljes tanulmányozása véget ért. Vannak olyan esetek, amikor néhány elemi függvényt készítenek, amelyekhez geometriai transzformációkat használnak.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata a függvények viselkedésének vizsgálatára vonatkozó általános példák kidolgozása.

Ha az y \u003d f (x) függvény folytonos az intervallumon, és deriváltja pozitív vagy egyenlő 0-val az (a, b) intervallumon, akkor y \u003d f (x) növekszik (f "(x)) 0). Ha az y \u003d f (x) függvény folytonos a szakaszon, és deriváltja negatív vagy 0-val egyenlő az (a,b) intervallumon, akkor y=f(x) csökken (f"( x)0)

Azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény nem csökken vagy növekszik, a függvény monotonitási intervallumainak nevezzük. Egy függvény monotonitásának természete definíciós tartományának csak azokon a pontjain változhat, ahol az első derivált előjele megváltozik. Azokat a pontokat, ahol egy függvény első deriváltja eltűnik vagy megtörik, kritikus pontoknak nevezzük.

1. tétel (1. elégséges feltétel a szélsőség létezéséhez).

Legyen az y=f(x) függvény definiálva az x 0 pontban, és legyen olyan δ>0 szomszédság, hogy a függvény folytonos a szakaszon, differenciálható az (x 0 -δ,x 0)u( intervallumon x 0 , x 0 +δ) , és deriváltja minden intervallumon állandó előjelet tart. Ekkor ha x 0 -δ, x 0) és (x 0, x 0 + δ) pontokon a derivált előjele eltérő, akkor x 0 szélsőpont, ha pedig egyezik, akkor x 0 nem szélsőpont . Továbbá, ha az x0 ponton áthaladva a derivált előjelet változtat pluszról mínuszra (x 0-tól balra f "(x)> 0 kerül végrehajtásra, akkor x 0 a maximális pont; ha a derivált előjelet változtat mínuszból pluszba (az x 0-tól jobbra az f"(x) hajtja végre<0, то х 0 - точка минимума.

A maximum és minimum pontokat a függvény szélsőpontjainak, a maximumát és minimumát pedig szélsőértékeinek nevezzük.

2. tétel (szükséges kritérium a lokális szélsőséghez).

Ha az y=f(x) függvénynek szélsőértéke van az aktuális x=x 0 értéknél, akkor vagy f'(x 0)=0 vagy f'(x 0) nem létezik.
Egy differenciálható függvény szélső pontjaiban a grafikonjának érintője párhuzamos az Ox tengellyel.

Algoritmus egy függvény vizsgálatára extrémumhoz:

1) Keresse meg a függvény deriváltját!
2) Keresse meg a kritikus pontokat, pl. pontok, ahol a függvény folytonos és a derivált nulla vagy nem létezik.
3) Tekintsük az egyes pontok szomszédságát, és vizsgáljuk meg ettől a ponttól balra és jobbra a derivált előjelét.
4) Határozza meg a szélső pontok koordinátáit, a kritikus pontok ezen értékét helyettesítse be ebbe a függvénybe. Elegendő szélsőséges feltételek mellett vonjon le megfelelő következtetéseket.

18. példa Vizsgáljuk meg az y=x 3 -9x 2 +24x függvényt

Megoldás.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) A derivált nullával egyenlővé téve x 1 =2, x 2 =4. Ebben az esetben a derivált mindenhol definiálva van; így a két talált ponton kívül nincs más kritikus pont.
3) Az y "=3(x-2)(x-4)" derivált előjele az 1. ábrán látható intervallumtól függően változik. Az x=2 ponton áthaladva a derivált előjelét pluszról mínuszra váltja, és az x=4 ponton áthaladva - mínuszból pluszba.
4) Az x=2 pontban a függvény maximum y max =20, az x=4 pontban pedig minimum y min =16.

3. tétel (2. elégséges feltétel a szélsőség létezéséhez).

Legyen f "(x 0) és f "" (x 0) az x 0 pontban. Ekkor ha f "" (x 0)> 0, akkor x 0 a minimumpont, és ha f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

A szakaszon az y \u003d f (x) függvény elérheti a legkisebb (legalább) vagy a legnagyobb (legfeljebb) értéket akár az (a;b) intervallumban lévő függvény kritikus pontjain, akár a végein. a szegmensből.

Az algoritmus az y=f(x) folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megkeresésére a szegmensen:

1) Keresse meg f "(x).
2) Keresse meg azokat a pontokat, ahol f "(x) = 0 vagy f" (x) - nem létezik, és válassza ki belőlük azokat, amelyek a szakaszon belül vannak.
3) Számítsa ki az y \u003d f (x) függvény értékét a (2) bekezdésben kapott pontokban, valamint a szegmens végein, és válassza ki közülük a legnagyobbat és a legkisebbet: ezek a legnagyobbak ( a legnagyobb) és a legkisebb (a legkisebb) függvényértékek az intervallumon.

19. példa Keresse meg az y=x 3 -3x 2 -45+225 folytonos függvény legnagyobb értékét a szakaszon.

1) A szakaszon y "=3x 2 -6x-45 van
2) Az y" derivált minden x-re létezik. Keressük meg azokat a pontokat, ahol y"=0; kapunk:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Számítsa ki a függvény értékét az x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 pontokban
Csak az x=5 pont tartozik a szakaszhoz. A függvény talált értékei közül a legnagyobb a 225, a legkisebb pedig az 50. Tehát max = 225-nél, max = 50-nél.

Konvexitási függvény vizsgálata

Az ábrán két függvény grafikonja látható. Az elsőt dudorral felfelé fordítják, a másodikat - lefelé.

Az y=f(x) függvény folytonos a szakaszon és az (a;b) intervallumban differenciálható, ezen a szakaszon konvexnek nevezzük fel (le), ha axb esetén a gráfja nem magasabb (nem alacsonyabb) az érintőnél bármely M 0 (x 0 ;f(x 0)) pontba rajzolva, ahol axb.

4. Tétel. Legyen az y=f(x) függvénynek egy második deriváltja a szakasz bármely belső x pontjában, és legyen folytonos ennek a szakasznak a végein. Ekkor ha az (a;b) intervallumon teljesül az f""(x)0 egyenlőtlenség, akkor a függvény lefelé konvex a szakaszon; ha az f""(x)0 egyenlőtlenség teljesül az (а;b) intervallumon, akkor a függvény konvex felfelé -on.

5. Tétel. Ha az y=f(x) függvénynek van egy második deriváltja az (a;b) intervallumon, és ha az x 0 ponton áthaladva előjelet vált, akkor M(x 0 ;f(x 0)) egy inflexiós pont.

Az inflexiós pontok megtalálásának szabálya:

1) Keressen pontokat, ahol f""(x) nem létezik vagy eltűnik.
2) Vizsgálja meg az f""(x) jelet az első lépésben talált minden ponttól balra és jobbra.
3) A 4. Tétel alapján vonjon le következtetést!

20. példa Keresse meg az y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 függvénygráf szélsőpontjait és inflexiós pontjait.

Van f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Nyilvánvalóan f"(x)=0 x 1 =0, x 2 =1 esetén. A derivált az x=0 ponton áthaladva mínuszról pluszra változtat, az x=1 ponton pedig nem változtat előjelet. Ez azt jelenti, hogy x=0 a minimumpont (y min =12), és az x=1 pontban nincs szélsőérték. Ezután megtaláljuk . A második derivált az x 1 =1, x 2 =1/3 pontokban eltűnik. A második derivált előjelei a következőképpen változnak: A (-∞;) sugáron f""(x)>0, az (;1) intervallumon f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Ezért x= a függvénygráf inflexiós pontja (átmenet a konvexitásból lefelé a konvexitásba felfelé), és x=1 is egy inflexiós pont (átmenet konvexitásból felfelé konvexitásból lefelé). Ha x=, akkor y= ; ha, akkor x=1, y=13.

Egy algoritmus egy gráf aszimptotájának megtalálására

I. Ha y=f(x) mint x → a , akkor x=a függőleges aszimptota.
II. Ha y=f(x) x → ∞ vagy x → -∞, akkor y=A a vízszintes aszimptota.
III. A ferde aszimptóta megtalálásához a következő algoritmust használjuk:
1) Számítsa ki. Ha a határ létezik, és egyenlő b-vel, akkor y=b a vízszintes aszimptota; ha , akkor lépjen a második lépésre.
2) Számítsa ki. Ha ez a határ nem létezik, akkor nincs aszimptota; ha létezik és egyenlő k-val, akkor lépjen a harmadik lépésre.
3) Számítsa ki. Ha ez a határ nem létezik, akkor nincs aszimptota; ha létezik és egyenlő b-vel, akkor lépjen a negyedik lépésre.
4) Írja fel az y=kx+b ferde aszimptota egyenletét!

21. példa: Keressen aszimptotát egy függvényhez

1)
2)
3)
4) A ferde aszimptota egyenlet alakja

A függvény vizsgálatának sémája és gráfjának felépítése

I. Keresse meg a függvény tartományát.
II. Keresse meg a függvény grafikonjának a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait!
III. Találja meg az aszimptotákat.
IV. Keresse meg a lehetséges szélsőség pontjait.
V. Keresse meg a kritikus pontokat.
VI. A segédrajz segítségével vizsgálja meg az első és a második derivált előjelét! Határozza meg a függvény növekedési és csökkenési területeit, keresse meg a gráf konvexitásának irányát, szélsőpontokat és inflexiós pontokat!
VII. Készítsen grafikont az 1-6. bekezdésben végzett vizsgálat figyelembevételével!

22. példa: Rajzoljon fel egy függvénygráfot a fenti séma szerint

Megoldás.
I. A függvény tartománya az összes valós szám halmaza, kivéve x=1.
II. Mivel az x 2 +1=0 egyenletnek nincsenek valós gyökei, ezért a függvény grafikonja nem rendelkezik metszéspontokkal az Ox tengellyel, hanem a (0; -1) pontban metszi az Oy tengelyt.
III. Tisztázzuk az aszimptoták létezésének kérdését. Megvizsgáljuk a függvény viselkedését az x=1 szakadási pont közelében. Mivel x → -∞ esetén y → ∞, x → 1+ esetén y → +∞, akkor az x=1 egyenes a függvény grafikonjának függőleges aszimptotája.
Ha x → +∞(x → -∞), akkor y → +∞(y → -∞); ezért a gráfnak nincs vízszintes aszimptotája. Továbbá a korlátok meglététől

Az x 2 -2x-1=0 egyenletet megoldva egy lehetséges szélsőérték két pontját kapjuk:
x 1 =1-√2 és x 2 =1+√2

V. A kritikus pontok megtalálásához kiszámítjuk a második deriváltot:

Mivel f""(x) nem tűnik el, nincsenek kritikus pontok.
VI. Megvizsgáljuk az első és a második derivált előjelét. Lehetséges figyelembe veendő szélsőpontok: x 1 =1-√2 és x 2 =1+√2, oszd el a függvény létezési területét intervallumokra (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) és (1+√2;+∞).

Ezen intervallumok mindegyikében a származék megtartja előjelét: az elsőben - plusz, a másodikban - mínusz, a harmadikban - plusz. Az első derivált előjelsorozata a következőképpen lesz felírva: +, -, +.
Azt kapjuk, hogy a (-∞;1-√2)-on lévő függvény növekszik, az (1-√2;1+√2)-n csökken, az (1+√2;+∞)-n pedig ismét nő. Extrém pontok: maximum x=1-√2-nél, továbbá f(1-√2)=2-2√2 minimum x=1+√2, továbbá f(1+√2)=2+2√2. A (-∞;1)-en a gráf felfelé konvex, az (1;+∞)-n pedig lefelé.
VII Készítsünk táblázatot a kapott értékekről!

VIII A kapott adatok alapján elkészítjük a függvény grafikonjának vázlatát

Egy ideje a TheBatben (nem világos, hogy mi okból) az SSL beépített tanúsítványadatbázisa nem működik megfelelően.

A bejegyzés ellenőrzésekor hibaüzenet jelenik meg:

Ismeretlen CA-tanúsítvány
A kiszolgáló nem mutatott be gyökértanúsítványt a munkamenetben, és a megfelelő gyökértanúsítvány nem található a címjegyzékben.
Ez a kapcsolat nem lehet titkos. Kérem
forduljon a szerver rendszergazdájához.

És a válaszok közül választhat - IGEN / NEM. És így minden alkalommal, amikor levelet küld.

Megoldás

Ebben az esetben le kell cserélnie az S/MIME és TLS implementációs szabványt Microsoft CryptoAPI-ra a TheBat-ban!

Mivel az összes fájlt egybe kellett egyesíteni, először az összes doc fájlt egyetlen pdf-fájllá konvertáltam (az Acrobat programmal), majd egy online konverteren keresztül átvittem az fb2-re. A fájlokat egyenként is konvertálhatja. A formátumok teljesen bármilyenek lehetnek (forrás) és doc, és jpg, sőt zip archívum is!

Az oldal neve megfelel a lényegnek:) Online Photoshop.

Frissítés 2015. május

Találtam még egy szuper oldalt! Még kényelmesebb és funkcionálisabb egy teljesen önkényes kollázs létrehozásához! Ez az oldal http://www.fotor.com/ru/collage/. Használja egészségre. És én magam is használni fogom.

Életében szembesült az elektromos tűzhelyek javításával. Sok mindent csináltam már, sokat tanultam, de valahogy kevés közöm volt a csempéhez. Cserélni kellett az érintkezőket a szabályozókon és az égőkön. Felmerült a kérdés - hogyan lehet meghatározni az égő átmérőjét az elektromos tűzhelyen?

A válasz egyszerűnek bizonyult. Nem kell semmit mérni, nyugodtan meghatározhatod szemmel, hogy milyen méretre van szükséged.

A legkisebb égő 145 milliméter (14,5 centiméter)

Közepes égő 180 milliméter (18 centiméter).

És végül a legtöbb nagy égő 225 milliméter (22,5 centiméter).

Elég, ha szemmel határozza meg a méretet, és megérti, milyen átmérőjű égőre van szüksége. Amikor ezt nem tudtam, szárnyaltam ezekkel a méretekkel, nem tudtam, hogyan kell mérni, melyik szélen kell navigálni stb. Most okoskodtam :) Remélem neked is segített!

Életem során szembesültem egy ilyen problémával. Azt hiszem, nem én vagyok az egyetlen.

Ma arra hívjuk Önt, hogy fedezze fel és rajzoljon meg velünk egy függvénygrafikont. A cikk alapos tanulmányozása után nem kell sokáig izzadnia egy ilyen feladat elvégzéséhez. Egy függvény feltárása és grafikonjának felépítése nem egyszerű, a munka terjedelmes, maximális odafigyelést és számítási pontosságot igényel. Az anyag észlelésének megkönnyítése érdekében fokozatosan tanulmányozzuk ugyanazt a funkciót, elmagyarázzuk minden tevékenységünket és számításunkat. Üdvözöljük a matematika csodálatos és lenyűgöző világában! Megy!

Tartomány

Egy függvény feltárásához és ábrázolásához ismernie kell néhány definíciót. A függvény a matematika egyik alap (alap)fogalma. Több változó (kettő, három vagy több) közötti függést tükrözi változásokkal. A függvény a halmazok függését is mutatja.

Képzeljük el, hogy két olyan változónk van, amelyeknek bizonyos változási tartománya van. Tehát y x függvénye, feltéve, hogy a második változó minden értéke a második egy értékének felel meg. Ebben az esetben az y változó függő, és függvénynek nevezzük. Szokásos azt mondani, hogy az x és y változók ben vannak. Ennek a függőségnek a nagyobb érthetősége érdekében a függvény grafikonját készítjük. Mi az a függvénygráf? Ez a koordinátasíkon lévő pontok halmaza, ahol minden x értéke y egy értékének felel meg. A grafikonok különbözőek lehetnek - egyenes vonal, hiperbola, parabola, szinuszos és így tovább.

Egy függvénygráfot nem lehet feltárás nélkül ábrázolni. Ma megtanuljuk, hogyan végezzünk kutatást és rajzoljunk függvénygrafikont. Nagyon fontos a jegyzetelés a tanulmányozás során. Így sokkal könnyebb lesz megbirkózni a feladattal. A legkényelmesebb tanulmányi terv:

1. Tartomány.
2. Folytonosság.
3. Páros vagy páratlan.
4. Periodikaság.
5. Aszimptoták.
6. Nullák.
7. Állandóság.
8. Emelkedő és csökkenő.
9. Extrémek.
10. Konvexitás és homorúság.

Kezdjük az első ponttal. Keressük meg a definíciós tartományt, vagyis azt, hogy milyen intervallumokon létezik a függvényünk: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Esetünkben a függvény az x bármely értékére létezik, vagyis a definíciós tartomány R. Ezt xОR-ként írhatjuk fel.

Folytonosság

Most a folytonossági függvényt vizsgáljuk meg. A matematikában a „folytonosság” kifejezés a mozgástörvények tanulmányozása eredményeként jelent meg. Mi a végtelen? Tér, idő, néhány függőség (például az S és t változók függése mozgási problémákban), a felmelegített tárgy hőmérséklete (víz, serpenyő, hőmérő stb.), egy folytonos vonal (azaz egy amely anélkül rajzolható meg, hogy levenné a ceruzáról).

Egy gráfot akkor tekintünk folytonosnak, ha egy ponton nem szakad meg. Az egyik legnyilvánvalóbb példa egy ilyen gráfra a szinuszhullám, amelyet az ebben a részben lévő képen láthat. A függvény egy x0 ponton folytonos, ha több feltétel teljesül:

• egy függvény egy adott pontban van definiálva;
• a jobb és a bal határ egy pontban egyenlő;
• a határérték egyenlő a függvény értékével az x0 pontban.

Ha legalább egy feltétel nem teljesül, a függvény megszakad. És azokat a pontokat, ahol a függvény megszakad, töréspontoknak nevezzük. Példa egy függvényre, amely grafikus megjelenítéskor „megszakad”: y=(x+4)/(x-3). Ráadásul y nem létezik az x = 3 pontban (mivel lehetetlen nullával osztani).

Az általunk vizsgált függvényben (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) minden egyszerűnek bizonyult, mivel a grafikon folyamatos lesz.

Páros Páratlan

Most vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Kezdjük egy kis elmélettel. A páros függvény olyan függvény, amely az x változó bármely értékére (az értéktartományból) teljesíti az f (-x) = f (x) feltételt. Példák:

• x modul (a gráf úgy néz ki, mint egy bucka, a gráf első és második negyedének felezője);
• x négyzet (parabola);
• koszinusz x (koszinusz hullám).

Vegye figyelembe, hogy ezek a grafikonok az y tengelyhez képest szimmetrikusak.

Mit nevezünk akkor páratlan függvénynek? Ezek azok a függvények, amelyek teljesítik a feltételt: f (-x) \u003d - f (x) az x változó bármely értékére. Példák:

• hiperbola;
• köbös parabola;
• sinusoid;
• érintő és így tovább.

Vegye figyelembe, hogy ezek a függvények szimmetrikusak a pontra (0:0), vagyis az origóra. A cikk e részében elmondottak alapján a páros és páratlan függvénynek rendelkeznie kell a következő tulajdonsággal: x a definícióhalmazhoz tartozik és -x is.

Vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Láthatjuk, hogy egyik leírásnak sem felel meg. Ezért a függvényünk se nem páros, se nem páratlan.

Aszimptoták

Kezdjük egy meghatározással. Az aszimptota olyan görbe, amely a lehető legközelebb van a grafikonhoz, vagyis a távolság egy ponttól nullára hajlik. Háromféle aszimptota létezik:

• függőleges, azaz párhuzamos az y tengellyel;
• vízszintes, azaz párhuzamos az x tengellyel;
• ferde.

Ami az első típust illeti, ezeket a sorokat néhány ponton meg kell keresni:

• rés;
• a tartomány végeit.

Esetünkben a függvény folytonos, a definíciós tartomány pedig R. Ezért nincsenek függőleges aszimptoták.

Egy függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája van, amely megfelel a következő követelménynek: ha x a végtelenbe vagy mínusz végtelenbe hajlik, és a határérték egy bizonyos számmal egyenlő (például a). Ebben az esetben y=a a vízszintes aszimptota. Az általunk vizsgált függvényben nincsenek horizontális aszimptoták.

Ferde aszimptota csak akkor létezik, ha két feltétel teljesül:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Ekkor a következő képlettel találhatjuk meg: y=kx+b. Ismétlem, esetünkben nincsenek ferde aszimptoták.

Funkció nullák

A következő lépés a függvény grafikonjának vizsgálata nullákra. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a függvény nulláinak megtalálásával járó feladat nemcsak a függvénygráf tanulmányozása és felépítése során fordul elő, hanem önálló feladatként, és az egyenlőtlenségek megoldásának módjaként is. Előfordulhat, hogy meg kell találnia egy függvény nulláját egy grafikonon, vagy matematikai jelölést kell használnia.

Ezen értékek megtalálása segít a függvény pontosabb ábrázolásában. Egyszerűen fogalmazva, a függvény nullája az x változó értéke, amelynél y \u003d 0. Ha egy függvény nulláit keresi egy grafikonon, akkor ügyeljen azokra a pontokra, ahol a gráf metszi az x tengellyel.

A függvény nulláinak megtalálásához a következő egyenletet kell megoldani: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. A szükséges számítások elvégzése után a következő választ kapjuk:

jel állandóság

A függvény (grafika) tanulmányozásának és felépítésének következő lépése az előjelállandóság intervallumainak megtalálása. Ez azt jelenti, hogy meg kell határoznunk, hogy a függvény mely intervallumokon vesz fel pozitív értéket, és mely intervallumokon negatív értéket. Az előző részben található függvények nullái segítenek ebben. Tehát fel kell építenünk egy egyenest (a grafikontól külön), és el kell osztanunk rajta a függvény nulláit a megfelelő sorrendben a legkisebbtől a legnagyobbig. Most meg kell határoznia, hogy a kapott intervallumok közül melyiknek van „+” jele, és melyiknek „-”.

Esetünkben a függvény pozitív értéket vesz fel az intervallumokon:

• 1-től 4-ig;
• 9-től a végtelenig.

Negatív jelentés:

• mínusz végtelentől 1-ig;
• 4-től 9-ig.

Ezt meglehetősen könnyű meghatározni. Helyettesíts be tetszőleges számot az intervallumból a függvénybe, és nézd meg, milyen előjelű a válasz (mínusz vagy plusz).

Funkció Növekvő és Csökkenő

Egy függvény feltárásához és felépítéséhez tudnunk kell, hogy a grafikon hol növekszik (az Oy-n felfelé megy), és hol esik (kúszik lefelé az y tengely mentén).

A függvény csak akkor növekszik, ha az x változó nagyobb értéke y nagyobb értékének felel meg. Vagyis x2 nagyobb, mint x1, és f(x2) nagyobb, mint f(x1). És egy teljesen ellentétes jelenséget figyelünk meg egy csökkenő függvényben (minél több x, annál kevesebb y). A növekedés és csökkenés intervallumának meghatározásához meg kell találnia a következőket:

• terjedelem (már megvan);
• származéka (esetünkben: 1/3(3x^2-28x+49);
• oldja meg az 1/3(3x^2-28x+49)=0 egyenletet.

A számítások után a következő eredményt kapjuk:

Azt kapjuk, hogy a függvény mínusz végtelenről 7/3-ra és 7-ről végtelenre növekszik, 7/3-ról 7-re csökken.

Extrémek

A vizsgált y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) függvény folytonos, és az x változó bármely értékére létezik. Az extrémum pont ennek a függvénynek a maximumát és minimumát mutatja. Esetünkben ilyenek nincsenek, ami nagyban leegyszerűsíti az építési feladatot. Egyébként a derivált függvény használatával is megtalálhatók. Miután megtalálta, ne felejtse el megjelölni őket a diagramon.

Konvexitás és homorúság

Folytatjuk az y(x) függvény tanulmányozását. Most ellenőriznünk kell a domborúságot és a homorúságot. E fogalmak definíciói meglehetősen nehezen érzékelhetők, jobb mindent példákkal elemezni. A teszthez: egy függvény konvex, ha nem csökkenő függvény. Egyetértek, ez érthetetlen!

Meg kell találnunk a másodrendű függvény deriváltját. A következőt kapjuk: y=1/3(6x-28). Most egyenlővé tesszük a jobb oldalt a nullával, és megoldjuk az egyenletet. Válasz: x=14/3. Megtaláltuk az inflexiós pontot, vagyis azt a helyet, ahol a gráf konvexről konkávra változik, vagy fordítva. A mínusz végtelentől a 14/3-ig terjedő intervallumban a függvény konvex, a 14/3-tól a plusz végtelenig pedig konkáv. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a grafikonon az inflexiós pont legyen sima és lágy, ne legyenek éles sarkok.

További pontok meghatározása

Feladatunk a függvénygráf feltárása és ábrázolása. A tanulmányt befejeztük, most nem lesz nehéz felrajzolni a függvényt. A koordinátasíkon egy görbe vagy egyenes pontosabb és részletesebb reprodukálásához több segédpont is található. Elég könnyű kiszámolni őket. Például vegyük x=3-at, oldjuk meg a kapott egyenletet, és keressük meg y=4-et. Vagy x=5 és y=-5 és így tovább. Annyi további pontot vehet fel, amennyire szüksége van az építkezéshez. Ezek közül legalább 3-5 megtalálható.

Ábrázolás

Meg kellett vizsgálnunk az (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y függvényt. A számítások során minden szükséges jelölés a koordinátasíkon megtörtént. Már csak egy gráfot kell felépíteni, vagyis az összes pontot összekapcsolni egymással. A pontok összekapcsolása zökkenőmentes és pontos, ez ügyesség kérdése - egy kis gyakorlás, és az időbeosztása tökéletes lesz.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges – a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján – adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.