Ako zadatak zahtijeva potpuna studija funkcije f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcijom njezinog grafa, tada ćemo detaljno razmotriti ovo načelo.

Za rješavanje problema ove vrste treba koristiti svojstva i grafove glavnih elementarnih funkcija. Algoritam istraživanja uključuje sljedeće korake:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pronalaženje domene definicije

Budući da se istraživanja provode na domeni funkcije, potrebno je započeti s ovim korakom.

Primjer 1

Navedeni primjer uključuje pronalaženje nula nazivnika kako bi se isključile iz DPV-a.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Kao rezultat toga, možete dobiti korijene, logaritme i tako dalje. Tada se ODZ može tražiti za korijen parnog stupnja tipa g (x) 4 nejednadžbom g (x) ≥ 0 , za logaritam log a g (x) nejednadžbom g (x) > 0 .

Ispitivanje granica ODZ i pronalaženje vertikalnih asimptota

Na granicama funkcije postoje vertikalne asimptote, kada su jednostrane granice u takvim točkama beskonačne.

Primjer 2

Na primjer, uzmite u obzir granične točke jednake x = ± 1 2 .

Tada je potrebno proučiti funkciju za pronalaženje jednostrane granice. Tada dobivamo da je: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To pokazuje da su jednostrane granice beskonačne, što znači da su linije x = ± 1 2 vertikalne asimptote grafa.

Ispitivanje funkcije i za par ili nepar

Kada je ispunjen uvjet y (- x) = y (x), funkcija se smatra parnom. Ovo sugerira da je graf smješten simetrično u odnosu na O y. Kada je ispunjen uvjet y (- x) = - y (x), funkcija se smatra neparnom. To znači da simetrija ide u odnosu na ishodište koordinata. Ako barem jedna nejednadžba ne odgovara, dobivamo funkciju općeg oblika.

Ispunjavanje jednakosti y (- x) = y (x) pokazuje da je funkcija parna. Prilikom konstruiranja potrebno je voditi računa da će postojati simetrija u odnosu na O y.

Za rješavanje nejednadžbe koriste se intervali povećanja i smanjenja uz uvjete f "(x) ≥ 0 odnosno f" (x) ≤ 0.

Definicija 1

Stacionarne točke su točke koje derivaciju pretvaraju u nulu.

Kritične točke su unutarnje točke iz područja gdje je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji.

Prilikom donošenja odluke potrebno je uzeti u obzir sljedeće točke:

• za postojeće intervale porasta i smanjenja nejednakosti oblika f "(x) > 0 kritične točke nisu uključene u rješenje;
• točke u kojima je funkcija definirana bez konačne derivacije moraju biti uključene u intervale porasta i opadanja (na primjer, y \u003d x 3, gdje točka x \u003d 0 čini funkciju definiranom, derivacija ima vrijednost beskonačnosti u ovom trenutku, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 uključeno je u interval povećanja);
• kako bi se izbjegle nesuglasice, preporuča se korištenje matematičke literature koju preporuča Ministarstvo prosvjete.

Uključivanje kritičnih točaka u intervale rasta i opadanja u slučaju da zadovoljavaju domenu funkcije.

Definicija 2

Za određujući intervale porasta i opadanja funkcije, potrebno je pronaći:

• izvedenica;
• kritične točke;
• rastaviti područje definicije uz pomoć kritičnih točaka na intervale;
• odredite predznak derivacije na svakom od intervala, gdje je + povećanje, a - smanjenje.

Primjer 3

Nađite derivaciju na domeni f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Riješenje

Za rješavanje potrebno je:

• pronađite stacionarne točke, ovaj primjer ima x = 0 ;
• pronađite nule nazivnika, primjer uzima vrijednost nula na x = ± 1 2 .

Izlažemo točke na numeričkoj osi kako bismo odredili derivaciju na svakom intervalu. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koju točku iz intervala i napraviti izračun. Na pozitivan rezultat na grafu prikazujemo + što znači porast funkcije, a - njen pad.

Na primjer, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, što znači da prvi interval s lijeve strane ima znak +. Razmotrite broj crta.

Odgovor:

• postoji porast funkcije na intervalu - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
• dolazi do smanjenja na intervalu [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; +∞ .

U dijagramu su pomoću + i - prikazani pozitivnost i negativnost funkcije, a strelice označavaju opadanje i povećanje.

Točke ekstrema funkcije su točke u kojima je funkcija definirana i kroz koje derivacija mijenja predznak.

Primjer 4

Ako uzmemo u obzir primjer gdje je x \u003d 0, tada je vrijednost funkcije u njemu f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kada se znak derivacije promijeni s + na - i prolazi kroz točku x \u003d 0, tada se točka s koordinatama (0; 0) smatra maksimalnom točkom. Promjenom predznaka s - na + dobivamo minimalni bod.

Konveksnost i konkavnost određuju se rješavanjem nejednadžbi oblika f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rjeđe upotrebljavaju naziv ispupčenje prema dolje umjesto konkavnost, te izbočenje prema gore umjesto ispupčenje.

Definicija 3

Za određivanje razmaka konkavnosti i konveksnosti potrebno:

• pronaći drugu derivaciju;
• pronaći nulte točke funkcije druge derivacije;
• razbiti domenu definicije točkama koje se pojavljuju u intervalima;
• odrediti predznak razmaka.

Primjer 5

Nađite drugu derivaciju iz domene definicije.

Riješenje

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nalazimo nule brojnika i nazivnika, gdje, koristeći naš primjer, imamo da su nule nazivnika x = ± 1 2

Sada treba staviti točke na brojevnu crtu i odrediti predznak druge derivacije iz svakog intervala. Shvaćamo to

Odgovor:

• funkcija je konveksna iz intervala - 1 2 ; 12 ;
• funkcija je konkavna od praznina - ∞ ; - 1 2 i 1 2 ; +∞ .

Definicija 4

točka infleksije je točka oblika x 0 ; f(x0) . Kada ima tangentu na graf funkcije, tada kada prolazi kroz x 0, funkcija mijenja predznak u suprotan.

Drugim riječima, to je takva točka kroz koju prolazi druga derivacija i mijenja predznak, au samim točkama je jednaka nuli ili ne postoji. Sve točke se smatraju domenom funkcije.

U primjeru se vidi da nema točaka infleksije, jer druga derivacija mijenja predznak prolazeći kroz točke x = ± 1 2 . Oni pak nisu uključeni u domenu definicije.

Određivanje horizontalnih i kosih asimptota

Kada definiramo funkciju u beskonačnosti, moramo tražiti horizontalne i kose asimptote.

Definicija 5

Kose asimptote crtaju se pomoću linija danih jednadžbom y = k x + b, gdje je k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Za k = 0 i b nije jednako beskonačno, nalazimo da kosa asimptota postaje horizontalna.

Drugim riječima, asimptote su pravci kojima se graf funkcije približava u beskonačnosti. To doprinosi brzoj konstrukciji grafa funkcije.

Ako nema asimptota, ali je funkcija definirana na obje beskonačnosti, potrebno je izračunati limit funkcije na tim beskonačnostima da bismo razumjeli kako će se ponašati graf funkcije.

Primjer 6

Kao primjer, razmotrite to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontalna asimptota. Nakon što istražite funkciju, možete je početi graditi.

Izračunavanje vrijednosti funkcije u međutočkama

Kako bi crtanje bilo najtočnije, preporuča se pronaći nekoliko vrijednosti funkcije u srednjim točkama.

Primjer 7

Iz primjera koji smo razmotrili potrebno je pronaći vrijednosti funkcije u točkama x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Budući da je funkcija parna, dobivamo da se vrijednosti podudaraju s vrijednostima u tim točkama, odnosno dobivamo x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x = 1 4.

Zapišimo i riješimo:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Za određivanje maksimuma i minimuma funkcije, točaka infleksije, međutočaka, potrebno je izgraditi asimptote. Za prikladno označavanje fiksni su intervali povećanja, smanjenja, konveksnosti, konkavnosti. Razmotrite sliku u nastavku.

Kroz označene točke potrebno je povući linije grafa koje će vam omogućiti približavanje asimptotama prateći strelice.

Time je kompletno proučavanje funkcije završeno. Postoje slučajevi konstruiranja nekih elementarnih funkcija za koje se koriste geometrijske transformacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na intervalu, a njezin izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada y \u003d f (x) raste za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na segmentu , a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"( x)0)

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije, u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili se lomi nazivaju se kritične točke.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se podudaraju, onda x 0 nije točka ekstrema . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plusa u minus (lijevo od x 0 izvodi se f "(x)> 0, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 se izvršava pomoću f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake od točaka i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka, za ovu vrijednost kritičnih točaka zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dostatne ekstremne uvjete, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražite funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je svugdje definiran; dakle, osim dvije nađene točke, nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y "=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2 derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u točki x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, tada je x 0 točka minimuma, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y \u003d f (x) može doseći najmanju (barem) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite točke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y \u003d f (x) u točkama dobivenim u stavku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, odnosno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na segmentu.

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na odsječku .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odsječku pripada samo točka x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Ispitivanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je okrenut s izbočinom prema gore, drugi - s izbočinom prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njezin graf ne leži više (ne niže) od tangente nacrtana u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na segmentu ; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivacija pri prolasku kroz točku x=0 mijenja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Stoga je x= točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 također je točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a , tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema proučavanja funkcije i konstrukcija njezinog grafikona

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite točke mogućeg ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Izgradite grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj shemi

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva, osim x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, tada graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, već siječe os Oy u točki (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije točke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijeliti područje postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) pada, a na (1+√2;+∞) ponovno raste. Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, štoviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štoviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka gradimo skicu grafa funkcije

Već neko vrijeme u TheBat-u (nije jasno iz kojeg razloga) ugrađena baza certifikata za SSL prestala je ispravno raditi.

Prilikom provjere objave pojavljuje se pogreška:

Nepoznati CA certifikat
Poslužitelj nije predstavio korijenski certifikat u sesiji i odgovarajući korijenski certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim
kontaktirajte svog administratora poslužitelja.

I nudi se izbor odgovora – DA/NE. I tako svaki put kad pucaš poštu.

Riješenje

U tom slučaju trebate zamijeniti S/MIME i TLS implementacijski standard s Microsoft CryptoAPI u TheBat!

Kako sam trebao spojiti sve datoteke u jednu, prvo sam sve doc datoteke pretvorio u jednu pdf datoteku (pomoću programa Acrobat), a zatim ju prebacio u fb2 putem online pretvarača. Možete također pretvoriti datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvor) i doc, i jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv stranice odgovara suštini:) Online Photoshop.

Ažuriranje svibanj 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za stvaranje potpuno proizvoljnog kolaža! Ova stranica je http://www.fotor.com/ru/collage/. Koristite na zdravlje. I sam ću ga koristiti.

Suočen u životu s popravkom električnih štednjaka. Puno toga sam već radio, puno naučio, ali s pločicama sam se nekako malo bavio. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i plamenicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnom štednjaku?

Pokazalo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, možete mirno odrediti na oko koja vam veličina treba.

Najmanji plamenik je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji plamenik iznosi 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju najviše veliki plamenik iznosi 225 milimetara (22,5 centimetra).

Dovoljno je odrediti veličinu okom i shvatiti koji vam je promjer potreban plamenik. Kad to nisam znao, bio sam u nesreći s tim veličinama, nisam znao kako mjeriti, kojim rubom se kretati, itd. Sada sam mudar :) Nadam se da je i vama pomoglo!

U životu sam se suočio s takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Danas vas pozivamo da s nama istražite i iscrtate graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, nećete se morati dugo znojiti da izvršite ovu vrstu zadatka. Nije lako istražiti i izgraditi graf funkcije, posao je obiman, zahtijeva maksimalnu pozornost i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučavati istu funkciju, objasniti sve naše radnje i izračune. Dobrodošli u nevjerojatan i fascinantan svijet matematike! Ići!

Domena

Kako biste istražili i nacrtali funkciju, morate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (osnovnih) pojmova u matematici. Odražava ovisnost između nekoliko varijabli (dvije, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost skupova.

Zamislimo da imamo dvije varijable koje imaju određeni raspon promjene. Dakle, y je funkcija od x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. U ovom slučaju varijabla y je zavisna i naziva se funkcija. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u Radi veće jasnoće ove ovisnosti izgrađen je graf funkcije. Što je graf funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafikoni mogu biti različiti - ravna linija, hiperbola, parabola, sinusoida i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se iscrtati bez istraživanja. Danas ćemo naučiti kako provesti istraživanje i iscrtati graf funkcije. Vrlo je važno voditi bilješke tijekom studija. Tako će biti mnogo lakše nositi se sa zadatkom. Najprikladniji plan učenja:

1. Domena.
2. Kontinuitet.
3. Par ili nepar.
4. Periodičnost.
5. Asimptote.
6. Nule.
7. Postojanost.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Krajnosti.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvom točkom. Pronađimo domenu definicije, odnosno na kojim intervalima postoji naša funkcija: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za bilo koju vrijednost x, odnosno domena definicije je R. Ovo se može napisati kao xOR.

Kontinuitet

Sada ćemo istražiti funkciju diskontinuiteta. U matematici se pojam "kontinuitet" pojavio kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskonačno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima gibanja), temperatura zagrijanog predmeta (voda, tava, termometar i tako dalje), kontinuirana linija (tj. koji se može nacrtati bez skidanja s lista olovkom).

Graf se smatra kontinuiranim ako se u nekom trenutku ne slomi. Jedan od najočitijih primjera takvog grafa je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako je ispunjen niz uvjeta:

• funkcija je definirana u danoj točki;
• desna i lijeva granica u točki su jednake;
• granica je jednaka vrijednosti funkcije u točki x0.

Ako barem jedan uvjet nije ispunjen, kaže se da je funkcija prekinuta. A točke u kojima se funkcija prekida nazivaju se prijelomne točke. Primjer funkcije koja će se "slomiti" kada se prikaže grafički je: y=(x+4)/(x-3). Štoviše, y ne postoji u točki x = 3 (jer ga je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju proučavamo (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) sve se pokazalo jednostavnim, jer će graf biti kontinuiran.

Parni, neparni

Sada provjerite paritet funkcije. Počnimo s malo teorije. Parna funkcija je funkcija koja za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti) zadovoljava uvjet f (-x) = f (x). Primjeri su:

• modul x (graf izgleda kao čavka, simetrala prve i druge četvrtine grafa);
• x na kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinusni val).

Imajte na umu da su svi ovi grafikoni simetrični kada se gledaju u odnosu na y-os.

Što se onda naziva neparnom funkcijom? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) \u003d - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. Primjeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusoida;
• tangenta i tako dalje.

Imajte na umu da su ove funkcije simetrične u odnosu na točku (0:0), odnosno ishodište. Na temelju onoga što je rečeno u ovom dijelu članka, parna i neparna funkcija moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x također.

Ispitajmo funkciju za paritet. Vidimo da ona ne odgovara ni jednom od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni neparna.

Asimptote

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliža grafu, odnosno udaljenost od neke točke teži nuli. Postoje tri vrste asimptota:

• okomito, to jest paralelno s osi y;
• horizontalno, tj. paralelno s osi x;
• kosi.

Što se tiče prve vrste, ove linije treba potražiti u nekim točkama:

• praznina;
• krajevima domene.

U našem slučaju funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Dakle, nema okomitih asimptota.

Graf funkcije ima horizontalnu asimptotu, koja ispunjava sljedeći uvjet: ako x teži beskonačnosti ili minus beskonačnosti, a granica je jednaka određenom broju (na primjer, a). U ovom slučaju, y=a je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su ispunjena dva uvjeta:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Tada se može pronaći po formuli: y=kx+b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcijske nule

Sljedeći korak je ispitivanje grafa funkcije za nule. Također je vrlo važno napomenuti da se zadatak povezan s pronalaženjem nula funkcija ne pojavljuje samo u proučavanju i konstrukciji grafa funkcije, već i kao samostalan zadatak, te kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafikonu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje ovih vrijednosti pomoći će vam da točnije nacrtate funkciju. Jednostavno rečeno, nula funkcije je vrijednost varijable x, pri kojoj je y \u003d 0. Ako tražite nulte točke funkcije na grafu, tada trebate obratiti pozornost na točke u kojima se graf siječe s osi x.

Da biste pronašli nulte točke funkcije, trebate riješiti sljedeću jednadžbu: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Nakon potrebnih izračuna dobivamo sljedeći odgovor:

postojanost predznaka

Sljedeća faza u proučavanju i konstrukciji funkcije (grafika) je pronalaženje intervala konstantnosti predznaka. To znači da moramo odrediti na kojim intervalima funkcija ima pozitivnu, a na kojim negativnu vrijednost. U tome će nam pomoći nule funkcija iz prethodnog odjeljka. Dakle, moramo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i rasporediti nule funkcije duž nje ispravnim redoslijedom od najmanje do najveće. Sada morate odrediti koji od dobivenih intervala ima znak "+", a koji ima "-".

U našem slučaju funkcija dobiva pozitivnu vrijednost na intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativno značenje:

• od minus beskonačno do 1;
• od 4 do 9.

To je prilično lako odrediti. Zamijenite bilo koji broj iz intervala u funkciju i pogledajte koji je predznak odgovor (minus ili plus).

Funkcija rastuća i opadajuća

Kako bismo istražili i izgradili funkciju, moramo znati gdje će se graf povećati (ići gore na Oy), a gdje će pasti (puzati prema dolje duž y-osi).

Funkcija raste samo ako veća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veće od x1, a f(x2) je veće od f(x1). A posve suprotan fenomen opažamo u opadajućoj funkciji (što je više x, to je manje y). Da biste odredili intervale povećanja i smanjenja, morate pronaći sljedeće:

• opseg (već ga imamo);
• izvod (u našem slučaju: 1/3(3x^2-28x+49);
• riješite jednadžbu 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Nakon izračuna dobivamo rezultat:

Dobivamo: funkcija raste na intervalima od minus beskonačno do 7/3 i od 7 do beskonačno, a opada na intervalu od 7/3 do 7.

Krajnosti

Istraživana funkcija y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) je kontinuirana i postoji za sve vrijednosti varijable x. Točka ekstrema pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju ih nema, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače se također nalaze pomoću funkcije izvoda. Nakon pronalaska ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo s proučavanjem funkcije y(x). Sada ga moramo provjeriti na konveksnost i konkavnost. Definicije ovih pojmova prilično je teško razumjeti, bolje je analizirati sve s primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neopadajuća funkcija. Slažete se, ovo je neshvatljivo!

Moramo pronaći izvod funkcije drugog reda. Dobivamo: y=1/3(6x-28). Sada izjednačimo desnu stranu s nulom i riješimo jednadžbu. Odgovor: x=14/3. Pronašli smo točku infleksije, odnosno mjesto gdje graf prelazi iz konveksnog u konkavni ili obrnuto. Na intervalu od minus beskonačno do 14/3 funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačno je konkavna. Također je vrlo važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu treba biti glatka i mekana, ne bi trebalo biti oštrih kutova.

Definicija dodatnih točaka

Naš zadatak je istražiti i iscrtati graf funkcije. Završili smo studiju, neće biti teško sada ucrtati funkciju. Za točniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili ravne linije na koordinatnoj ravnini možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Prilično ih je lako izračunati. Na primjer, uzmemo x=3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y=4. Ili x=5 i y=-5 i tako dalje. Možete uzeti onoliko dodatnih bodova koliko vam je potrebno za izgradnju. Najmanje 3-5 ih se nađe.

Plotanje

Trebali smo istražiti funkciju (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Sve potrebne oznake tijekom proračuna napravljene su na koordinatnoj ravnini. Ostaje samo izgraditi graf, odnosno povezati sve točke međusobno. Spajanje točaka glatko je i točno, to je stvar vještine - malo vježbe i vaš će raspored biti savršen.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.