Provedite potpunu studiju funkcije i izgradite grafikon. Potpuni primjer istraživanja funkcija na mreži

Uputa

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i točke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni u kojoj je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, morate izračunati kada se argument približi izoliranim točkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u točki x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u točki diskontinuiteta konačne, ali ne i jednake, tada se radi o diskontinuitetu prve vrste. Ako su jednaki, tada se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj točki.

Pronađite vertikalne asimptote, ako postoje. Ovdje će vam pomoći izračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek u točki diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domene definicije ne isključuju pojedinačne točke, već čitavi intervali točaka, i tada se vertikalne asimptote mogu nalaziti na rubovima tih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parno, neparno i periodično.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T koji se naziva periodom, a koji za bilo koji x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve osnovne trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangens) su periodične.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju zadane funkcije i pronađite te x vrijednosti gdje ona nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima derivaciju g(x) = 3x^2 + 18x koja nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su točke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak s plusa na x = -6 i natrag s minusa na plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj točki i minimum u drugoj.

Dakle, također ste pronašli područja monotonosti: f(x) monotono raste na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovno raste na 0;+∞.

Pronađite drugu derivaciju. Njegovi korijeni pokazat će gdje će graf određene funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, druga derivacija funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući predznak iz minusa u plus. Stoga će graf f (x) prije ove točke biti konveksan, nakon nje - konkavan, a sama ova točka bit će točka infleksije.

Funkcija može imati i druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njezina domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, tada ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je pravac oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) s istim x→∞.

Proučavanje funkcije provodi se prema jasnoj shemi i zahtijeva od studenta dobro poznavanje osnovnih matematičkih pojmova kao što su domena definicije i vrijednosti, kontinuitet funkcije, asimptota, točke ekstrema, paritet, periodičnost, itd. Učenik mora slobodno razlikovati funkcije i rješavati jednadžbe koje su ponekad vrlo zamršene.

Odnosno, ovaj zadatak testira značajan sloj znanja, svaka praznina u kojoj će postati prepreka za dobivanje točnog rješenja. Osobito često nastaju poteškoće s konstrukcijom grafova funkcija. Ova pogreška učitelju odmah upada u oči i može vam jako pokvariti ocjenu, čak i ako je sve ostalo urađeno kako treba. Ovdje možete pronaći mrežni zadaci istraživanja funkcija: proučiti primjere, preuzeti rješenja, naručiti zadatke.

Istražite funkciju i dijagram: primjeri i rješenja na mreži

Pripremili smo za vas puno gotovih studija značajki, plaćenih u knjizi rješenja i besplatnih u odjeljku Primjeri istraživanja značajki. Na temelju ovih riješenih zadataka moći ćete se detaljno upoznati s metodologijom izvođenja takvih zadataka, analogno tome, izvršiti vlastito istraživanje.

Nudimo gotove primjere cjelovito proučavanje i crtanje funkcija najčešćih tipova: polinoma, frakcijsko-racionalnih, iracionalnih, eksponencijalnih, logaritamskih, trigonometrijskih funkcija. Svaki riješeni problem prati gotov graf s odabranim ključnim točkama, asimptotama, maksimumima i minimumima, a rješenje se provodi prema algoritmu za proučavanje funkcije.

Riješeni primjeri, u svakom slučaju, bit će vam dobra pomoć jer pokrivaju najpopularnije vrste funkcija. Nudimo vam stotine već riješenih problema, ali, kao što znate, na svijetu postoji beskonačan broj matematičkih funkcija, a učitelji su veliki stručnjaci u izmišljanju sve zamršenijih zadataka za siromašne učenike. Dakle, dragi studenti, kvalificirana pomoć vam neće nauditi.

Rješavanje problema za proučavanje funkcije po narudžbi

U tom slučaju naši će vam partneri ponuditi drugu uslugu - potpuni studij online značajke naručiti. Zadatak će biti dovršen za vas u skladu sa svim zahtjevima za algoritam za rješavanje takvih problema, što će jako obradovati vašeg učitelja.

Napravit ćemo kompletnu studiju funkcije za vas: pronaći ćemo domenu definicije i raspon vrijednosti, ispitati kontinuitet i diskontinuitet, postaviti paritet, provjeriti periodičnost vaše funkcije, pronaći točke presjeka s koordinatnim osima . I, naravno, dalje uz pomoć diferencijalnog računa: pronaći ćemo asimptote, izračunati ekstreme, točke infleksije, izgraditi sam graf.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupiti i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i komunikaciju.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno – sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije – otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.