หากงานนั้นต้องการ การวิจัยเต็มรูปแบบฟังก์ชัน f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ด้วยการสร้างกราฟจากนั้นเราจะพิจารณาหลักการนี้โดยละเอียด

ในการแก้ปัญหาประเภทนี้ คุณควรใช้คุณสมบัติและกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น อัลกอริธึมการวิจัยประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้:

ยานเดกซ์RTB R-A-339285-1

การค้นหาโดเมนของคำจำกัดความ

เนื่องจากการวิจัยดำเนินการในขอบเขตของคำจำกัดความของฟังก์ชัน จึงจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยขั้นตอนนี้

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ให้มาเกี่ยวข้องกับการหาศูนย์ของตัวส่วนเพื่อแยกค่าเหล่านั้นออกจาก ODZ

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +

ผลลัพธ์ก็คือ คุณจะได้ค่ารูท ลอการิทึม และอื่นๆ จากนั้น ODZ สามารถค้นหารากของระดับเลขคู่ประเภท g (x) 4 ด้วยอสมการ g (x) ≥ 0 สำหรับลอการิทึมให้บันทึก a g (x) ด้วยอสมการ g (x) > 0

ศึกษาขอบเขตของ ODZ และค้นหาเส้นกำกับแนวตั้ง

มีเส้นกำกับแนวตั้งที่ขอบเขตของฟังก์ชัน เมื่อขีดจำกัดด้านเดียวที่จุดดังกล่าวไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุดเส้นขอบเท่ากับ x = ± 1 2

จากนั้นจึงจำเป็นต้องศึกษาฟังก์ชันเพื่อหาลิมิตด้านเดียว แล้วเราจะได้: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ ลิม x → - 1 2 + 0 f (x) = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = ลิม x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ ลิม x → 1 2 - 0 f (x) = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = ลิม x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

นี่แสดงว่าขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง x = ± 1 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟ

ศึกษาฟังก์ชันว่าเป็นคู่หรือคี่

เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเท่ากัน นี่แสดงให้เห็นว่ากราฟอยู่ในตำแหน่งแบบสมมาตรเทียบกับ Oy เมื่อตรงตามเงื่อนไข y (- x) = - y (x) ฟังก์ชันจะถือว่าเป็นเลขคี่ ซึ่งหมายความว่าความสมมาตรสัมพันธ์กับที่มาของพิกัด ถ้าอย่างน้อยหนึ่งอสมการไม่เป็นที่พอใจ เราจะได้ฟังก์ชันรูปแบบทั่วไป

ความเท่าเทียมกัน y (- x) = y (x) บ่งชี้ว่าฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เมื่อก่อสร้างต้องคำนึงว่าจะมีสมมาตรสัมพันธ์กับออย

เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน จะใช้ช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลงโดยมีเงื่อนไข f " (x) ≥ 0 และ f " (x) ≤ 0 ตามลำดับ

คำจำกัดความ 1

จุดคงที่- นี่คือจุดที่เปลี่ยนอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์

จุดวิกฤติ- นี่คือจุดภายในจากโดเมนของคำจำกัดความโดยที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่

เมื่อตัดสินใจต้องคำนึงถึงหมายเหตุต่อไปนี้:

• สำหรับช่วงเวลาที่มีอยู่ของการเพิ่มและลดความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม f " (x) > 0 จุดวิกฤติจะไม่รวมอยู่ในการแก้ปัญหา
• จุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดโดยไม่มีอนุพันธ์จำกัดต้องรวมไว้ในช่วงของการเพิ่มขึ้นและลดลง (เช่น y = x 3 โดยที่จุด x = 0 ทำให้ฟังก์ชันถูกกำหนด อนุพันธ์จะมีค่าอนันต์ ณ จุดนี้ จุด y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 รวมอยู่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น);
• เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง ขอแนะนำให้ใช้วรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ที่แนะนำโดยกระทรวงศึกษาธิการ

การรวมจุดวิกฤตในช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงหากเป็นไปตามขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชัน

คำจำกัดความ 2

สำหรับ จำเป็นต้องหาการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

• อนุพันธ์;
• จุดวิกฤติ
• แบ่งโดเมนคำจำกัดความออกเป็นช่วงโดยใช้จุดวิกฤติ
• กำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา โดยที่ + คือการเพิ่มขึ้น และ - คือการลดลง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์บนโดเมนของคำจำกัดความ f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

สารละลาย

ในการแก้ปัญหาคุณต้องมี:

• หาจุดคงที่ ตัวอย่างนี้มี x = 0;
• ค้นหาศูนย์ของตัวส่วน ตัวอย่างใช้ค่าศูนย์ที่ x = ± 1 2

เราวางจุดบนแกนตัวเลขเพื่อกำหนดอนุพันธ์ในแต่ละช่วง ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะนำจุดใดก็ได้จากช่วงเวลาและทำการคำนวณ ที่ ผลลัพธ์ที่เป็นบวกบนกราฟเราแสดง + ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันกำลังเพิ่มขึ้น และ - หมายความว่าฟังก์ชันกำลังลดลง

เช่น f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0 ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกทางด้านซ้ายจะมีเครื่องหมาย + ให้พิจารณาจากเส้นจำนวน

คำตอบ:

• ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา - ∞; - 1 2 และ (- 1 2 ; 0 ] ;
• มีช่วงเวลาลดลง [ 0 ; 1 2) และ 1 2 ; + .

ในแผนภาพ การใช้ + และ - จะแสดงภาพเชิงบวกและเชิงลบของฟังก์ชัน และลูกศรบ่งชี้การลดลงและการเพิ่มขึ้น

จุดปลายสุดของฟังก์ชันคือจุดที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและเป็นจุดที่อนุพันธ์เปลี่ยนสัญญาณ

ตัวอย่างที่ 4

หากเราพิจารณาตัวอย่างโดยที่ x = 0 ค่าของฟังก์ชันในนั้นจะเท่ากับ f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0 เมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจาก + เป็น - และผ่านจุด x = 0 จุดที่มีพิกัด (0; 0) จะถือเป็นจุดสูงสุด เมื่อเครื่องหมายเปลี่ยนจาก - เป็น + เราจะได้จุดต่ำสุด

ความนูนและความเว้าถูกกำหนดโดยการแก้ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ f "" (x) ≥ 0 และ f "" (x) ≤ 0 ที่ใช้กันน้อยกว่าคือชื่อนูนลงแทนเว้า และนูนขึ้นแทนนูน

คำจำกัดความ 3

สำหรับ การกำหนดช่วงเวลาของความเว้าและความนูนจำเป็น:

• ค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง
• ค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันอนุพันธ์อันดับสอง
• แบ่งพื้นที่คำจำกัดความออกเป็นช่วงตามจุดที่ปรากฏ
• กำหนดเครื่องหมายของช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์อันดับสองจากโดเมนของคำจำกัดความ

สารละลาย

ฉ "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

เราค้นหาศูนย์ของตัวเศษและส่วน โดยในตัวอย่างของเรา เรามีค่าศูนย์ของตัวส่วน x = ± 1 2

ตอนนี้คุณต้องพล็อตจุดบนเส้นจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสองจากแต่ละช่วงเวลา เราเข้าใจแล้ว

คำตอบ:

• ฟังก์ชั่นนูนออกมาจากช่วงเวลา - 1 2 ; 1 2 ;
• ฟังก์ชั่นเว้าจากช่วงเวลา - ∞ ; - 1 2 และ 1 2; + .

คำจำกัดความที่ 4

จุดเปลี่ยนเว้า– นี่คือจุดของรูปแบบ x 0 ; ฉ (x 0) . เมื่อมีค่าแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน เมื่อผ่าน x 0 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือจุดที่อนุพันธ์อันดับสองผ่านและเปลี่ยนสัญญาณ และ ณ จุดนั้นเอง มันจะเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่จริง จุดทั้งหมดถือเป็นโดเมนของฟังก์ชัน

ในตัวอย่างนี้ เห็นได้ชัดว่าไม่มีจุดเปลี่ยนเว้า เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนเครื่องหมายขณะผ่านจุด x = ± 1 2 ในทางกลับกันก็ไม่รวมอยู่ในขอบเขตของคำจำกัดความ

การค้นหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

เมื่อกำหนดฟังก์ชันที่ระยะอนันต์ คุณต้องมองหาเส้นกำกับแนวนอนและแนวเฉียง

คำจำกัดความที่ 5

เส้นกำกับเฉียงแสดงโดยใช้เส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ y = k x + b โดยที่ k = lim x → ∞ f (x) x และ b = lim x → ∞ f (x) - k x

สำหรับ k = 0 และ b ไม่เท่ากับอนันต์ เราจะพบว่าเส้นกำกับเฉียงกลายเป็น แนวนอน.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นกำกับถือเป็นเส้นตรงที่กราฟของฟังก์ชันเข้าใกล้จุดอนันต์ ช่วยให้สร้างกราฟฟังก์ชันได้อย่างรวดเร็ว

หากไม่มีเส้นกำกับ แต่มีการกำหนดฟังก์ชันไว้ที่อนันต์ทั้งสอง จำเป็นต้องคำนวณขีดจำกัดของฟังก์ชันที่อนันต์เหล่านี้เพื่อทำความเข้าใจว่ากราฟของฟังก์ชันจะมีพฤติกรรมอย่างไร

ตัวอย่างที่ 6

ลองพิจารณาเป็นตัวอย่างว่า

k = ลิม x → ∞ f (x) x = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = ลิม x → ∞ (f (x) - k x) = ลิม x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

เป็นเส้นกำกับแนวนอน หลังจากตรวจสอบฟังก์ชันแล้ว คุณสามารถเริ่มสร้างฟังก์ชันได้

การคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดกึ่งกลาง

เพื่อให้กราฟมีความแม่นยำมากขึ้น แนะนำให้ค้นหาค่าฟังก์ชันหลายค่าที่จุดกึ่งกลาง

ตัวอย่างที่ 7

จากตัวอย่างที่เราพิจารณา จำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 เนื่องจากฟังก์ชันเป็นเลขคู่ เราจึงได้ค่าที่ตรงกับค่าที่จุดเหล่านี้ นั่นคือเราได้ x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4

มาเขียนและแก้กัน:

ฉ (- 2) = ฉ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 µ 0, 27 ฉ (- 1) - ฉ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 µ 0 , 33 ฉ - 3 4 = ฉ 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 ฉ - 1 4 = ฉ 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 data - 0.08

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดกึ่งกลาง จำเป็นต้องสร้างเส้นกำกับ เพื่อการกำหนดที่สะดวก จะมีการบันทึกช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้น การลดลง ความนูน และความเว้า ลองดูภาพด้านล่าง

จำเป็นต้องวาดเส้นกราฟผ่านจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใกล้เส้นกำกับโดยติดตามลูกศร

นี่เป็นการสรุปการสำรวจฟังก์ชันทั้งหมด มีหลายกรณีของการสร้างฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างที่ใช้การแปลงทางเรขาคณิต

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

งานที่สำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์คือการพัฒนาตัวอย่างทั่วไปของการศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชัน

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลา และอนุพันธ์ของมันคือค่าบวกหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะเพิ่มขึ้น (f"(x)0) ถ้าฟังก์ชัน y=f (x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และอนุพันธ์ของมันเป็นลบหรือเท่ากับ 0 ในช่วงเวลา (a,b) ดังนั้น y=f(x) จะลดลง (f"(x)0 )

ช่วงเวลาที่ฟังก์ชันไม่ลดลงหรือเพิ่มขึ้นเรียกว่าช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน ความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนแปลงได้เฉพาะที่จุดของขอบเขตคำจำกัดความซึ่งสัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์ครั้งแรกเท่านั้น จุดที่อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันหายไปหรือมีความต่อเนื่องเรียกว่าวิกฤต

ทฤษฎีบท 1 (เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่ 1 สำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) ถูกกำหนดไว้ที่จุด x 0 และปล่อยให้มีค่าใกล้เคียง δ>0 โดยที่ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันในช่วงเวลาและสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานั้น (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) และอนุพันธ์ของมันยังคงมีเครื่องหมายคงที่ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ จากนั้นถ้าบน x 0 -δ,x 0) และ (x 0 , x 0 +δ) สัญญาณของอนุพันธ์ต่างกัน ดังนั้น x 0 คือจุดสุดขั้ว และหากมันตรงกัน แล้ว x 0 ไม่ใช่จุดสุดขีด . ยิ่งไปกว่านั้น หากเมื่อผ่านจุด x0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ (ทางซ้ายของ x 0 f"(x)>0 เป็นไปตามนั้น x 0 คือจุดสูงสุด ถ้าอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก ลบถึงบวก (ทางด้านขวาของ x 0 ดำเนินการ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

จุดสูงสุดและต่ำสุดเรียกว่าจุดสุดขั้วของฟังก์ชัน และจุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเรียกว่าค่าสุดขั้ว

ทฤษฎีบท 2 (สัญลักษณ์ที่จำเป็นของจุดสุดโต่งในท้องถิ่น)

ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีจุดสิ้นสุดที่ปัจจุบัน x=x 0 แล้ว f'(x 0)=0 หรือ f'(x 0) จะไม่มีอยู่จริง
ที่จุดปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์ เส้นสัมผัสของกราฟจะขนานกับแกน Ox

อัลกอริทึมสำหรับศึกษาฟังก์ชันสำหรับสุดขั้ว:

1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2) ค้นหาจุดวิกฤติ เช่น จุดที่ฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอนุพันธ์เป็นศูนย์หรือไม่มีอยู่
3) พิจารณาบริเวณใกล้เคียงของแต่ละจุด และตรวจสอบเครื่องหมายอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของจุดนี้
4) กำหนดพิกัดของจุดสุดขั้ว เพื่อแทนที่ค่าของจุดวิกฤตลงในฟังก์ชันนี้ ใช้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุด แล้วจึงได้ข้อสรุปที่เหมาะสม

ตัวอย่างที่ 18 ตรวจสอบฟังก์ชัน y=x 3 -9x 2 +24x เพื่อหาค่าสุดขีด

สารละลาย.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)
2) การหาอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์เราจะพบว่า x 1 =2, x 2 =4 ในกรณีนี้ อนุพันธ์ถูกกำหนดไว้ทุกที่ ซึ่งหมายความว่านอกเหนือจากจุดสองจุดที่พบแล้ว ก็ไม่มีจุดวิกฤตอื่นอีก
3) เครื่องหมายของอนุพันธ์ y"=3(x-2)(x-4) เปลี่ยนแปลงไปตามช่วงดังแสดงในรูปที่ 1 เมื่อผ่านจุด x=2 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบ และเมื่อผ่านจุด x=4 - จากลบไปบวก
4) ณ จุด x=2 ฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุด y ค่าสูงสุด =20 และที่จุด x=4 - ค่าต่ำสุด y ค่าต่ำสุด =16

ทฤษฎีบท 3 (เงื่อนไขที่เพียงพอประการที่ 2 สำหรับการมีอยู่ของสุดขั้ว)

ให้ f"(x 0) และ ณ จุด x 0 มี f""(x 0) แล้วถ้า f""(x 0)>0 แล้ว x 0 คือจุดต่ำสุด และถ้า f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

บนเซ็กเมนต์ ฟังก์ชัน y=f(x) สามารถเข้าถึงค่าที่น้อยที่สุด (y น้อยที่สุด) หรือค่าสูงสุด (y สูงสุด) ที่จุดวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ในช่วงเวลา (a;b) หรือที่ ส่วนท้ายของส่วน

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=f(x) บนเซ็กเมนต์:

1) ค้นหา ฉ"(x)
2) ค้นหาจุดที่ไม่มี f"(x)=0 หรือ f"(x) และเลือกจากจุดเหล่านั้นซึ่งอยู่ภายในส่วน
3) คำนวณค่าของฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุดที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2) รวมถึงที่ส่วนท้ายของส่วนและเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดจากพวกมัน: ตามลำดับคือค่าที่ใหญ่ที่สุด (y ใหญ่ที่สุด) และค่าน้อยที่สุด (y น้อยที่สุด) ของฟังก์ชันในช่วงเวลา

ตัวอย่างที่ 19 ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันต่อเนื่อง y=x 3 -3x 2 -45+225 บนเซ็กเมนต์

1) เรามี y"=3x 2 -6x-45 บนเซ็กเมนต์
2) อนุพันธ์ของ y" มีอยู่สำหรับ x ทั้งหมด มาหาจุดที่ y"=0; เราได้รับ:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 = 5
3) คำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
ส่วนนี้มีเพียงจุด x=5 ค่าที่พบมากที่สุดของฟังก์ชันคือ 225 และค่าที่น้อยที่สุดคือ 50 ดังนั้น y สูงสุด = 225, y นาที = 50

การศึกษาฟังก์ชันเกี่ยวกับความนูน

รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันทั้งสอง อันแรกนูนขึ้น ส่วนอันที่สองนูนลง

ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์และหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลา (a;b) เรียกว่านูนขึ้น (ลง) บนเซ็กเมนต์นี้ หากสำหรับ axb กราฟของมันอยู่ไม่สูง (ไม่ต่ำกว่า) กว่า แทนเจนต์ที่วาดที่จุดใดๆ M 0 (x 0 ;f(x 0)) โดยที่ axb

ทฤษฎีบท 4 ปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองที่จุดภายใน x ใดๆ ของเซกเมนต์และต่อเนื่องกันที่ปลายเซ็กเมนต์นี้ จากนั้นหากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 คงอยู่ในช่วงเวลา (a;b) ฟังก์ชันก็จะนูนลงตามช่วงเวลา ; หากความไม่เท่าเทียมกัน f""(x)0 คงอยู่ในช่วงเวลา (a;b) แสดงว่าฟังก์ชันจะนูนขึ้นบน

ทฤษฎีบท 5 ถ้าฟังก์ชัน y=f(x) มีอนุพันธ์อันดับสองในช่วงเวลา (a;b) และถ้ามันเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อผ่านจุด x 0 แล้ว M(x 0 ;f(x 0)) จะเป็น จุดเปลี่ยน

กฎการหาจุดเปลี่ยนเว้า:

1) ค้นหาจุดที่ f""(x) ไม่มีอยู่หรือหายไป
2) ตรวจสอบเครื่องหมาย f""(x) ทางด้านซ้ายและขวาของแต่ละจุดที่พบในขั้นตอนแรก
3) ตามทฤษฎีบทที่ 4 ให้สรุปผล

ตัวอย่างที่ 20 ค้นหาจุดปลายสุดและจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟของฟังก์ชัน y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12

เรามี f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 แน่นอน f"(x)=0 เมื่อ x 1 =0, x 2 =1 เมื่อผ่านจุด x=0 อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวก แต่เมื่อผ่านจุด x=1 จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย ซึ่งหมายความว่า x=0 คือจุดต่ำสุด (y นาที =12) และไม่มีจุดสุดขั้วที่จุด x=1 ต่อไปเราจะพบ - อนุพันธ์อันดับสองหายไปที่จุด x 1 =1, x 2 =1/3 สัญญาณของการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์อันดับสองมีดังนี้: บนรังสี (-∞;) เรามี f""(x)>0 บนช่วง (;1) เรามี f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0 ดังนั้น x= คือจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน (การเปลี่ยนจากนูนลงไปเป็นนูนขึ้น) และ x=1 คือจุดเปลี่ยนเว้าด้วย (การเปลี่ยนจากนูนขึ้นเป็นนูนลง) ถ้า x= แล้ว y= ; ถ้า แล้ว x=1, y=13

อัลกอริทึมในการค้นหาเส้นกำกับของกราฟ

I. ถ้า y=f(x) เป็น x → a แล้ว x=a เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง
ครั้งที่สอง ถ้า y=f(x) เป็น x → ∞ หรือ x → -∞ แล้ว y=A จะเป็นเส้นกำกับแนวนอน
ที่สาม ในการค้นหาเส้นกำกับเฉียง เราใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้:
1) คำนวณ . ถ้าขีดจำกัดมีอยู่และเท่ากับ b แล้ว y=b จะเป็นเส้นกำกับแนวนอน ถ้า ให้ไปที่ขั้นตอนที่สอง
2) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ ถ้ามันมีอยู่และเท่ากับ k ให้ไปที่ขั้นตอนที่สาม
3) คำนวณ . หากไม่มีขีดจำกัดนี้ ก็จะไม่มีเส้นกำกับ ถ้ามันมีอยู่และเท่ากับ b ให้ไปที่ขั้นตอนที่สี่
4) เขียนสมการของเส้นกำกับเฉียง y=kx+b

ตัวอย่างที่ 21: ค้นหาเส้นกำกับสำหรับฟังก์ชัน

1)
2)
3)
4) สมการของเส้นกำกับเฉียงมีรูปแบบ

โครงการศึกษาฟังก์ชันและสร้างกราฟ

I. ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
ครั้งที่สอง ค้นหาจุดตัดของกราฟฟังก์ชันด้วยแกนพิกัด
ที่สาม ค้นหาเส้นกำกับ
IV. ค้นหาจุดสุดขั้วที่เป็นไปได้
V. ค้นหาจุดวิกฤติ
วี. ใช้รูปเสริม สำรวจเครื่องหมายของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง กำหนดพื้นที่ของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นและลดลง ค้นหาทิศทางของความนูนของกราฟ จุดสุดขั้ว และจุดเปลี่ยนเว้า
ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว สร้างกราฟโดยคำนึงถึงการวิจัยที่ดำเนินการในย่อหน้าที่ 1-6

ตัวอย่างที่ 22: สร้างกราฟของฟังก์ชันตามแผนภาพด้านบน

สารละลาย.
I. โดเมนของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้น x=1
ครั้งที่สอง เนื่องจากสมการ x 2 +1=0 ไม่มีรากที่แท้จริง กราฟของฟังก์ชันจึงไม่มีจุดตัดกับแกน Ox แต่ตัดแกน Oy ที่จุด (0;-1)
ที่สาม ให้เราชี้แจงคำถามเกี่ยวกับการมีอยู่ของเส้นกำกับ ให้เราศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้กับจุดไม่ต่อเนื่อง x=1 เนื่องจาก y → ∞ เป็น x → -∞, y → +∞ เป็น x → 1+ ดังนั้นเส้นตรง x=1 จึงเป็นเส้นกำกับแนวตั้งของกราฟของฟังก์ชัน
ถ้า x → +∞(x → -∞) ดังนั้น y → +∞(y → -∞); ดังนั้นกราฟจึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน นอกจากนี้จากการมีอยู่ของขีดจำกัด

การแก้สมการ x 2 -2x-1=0 เราจะได้จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้สองจุด:
x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2

V. เพื่อหาจุดวิกฤต เราคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง:

เนื่องจาก f""(x) ไม่หายไป จึงไม่มีจุดวิกฤต
วี. ให้เราตรวจสอบเครื่องหมายของอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง จุดสุดขั้วที่เป็นไปได้ที่ต้องพิจารณา: x 1 =1-√2 และ x 2 =1+√2 แบ่งโดเมนของการดำรงอยู่ของฟังก์ชันออกเป็นระยะ (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) และ (1+√2;+∞)

ในแต่ละช่วงเวลาเหล่านี้ อนุพันธ์ยังคงมีเครื่องหมาย: ในช่วงแรก - บวก ในช่วงที่สอง - ลบ ในช่วงที่สาม - บวก ลำดับของเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับ 1 จะถูกเขียนดังนี้: +,-,+
เราพบว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ (-∞;1-√2) ลดลงที่ (1-√2;1+√2) และเพิ่มขึ้นอีกครั้งที่ (1+√2;+∞) จุดสุดขั้ว: สูงสุดที่ x=1-√2 และ f(1-√2)=2-2√2 ต่ำสุดที่ x=1+√2 และ f(1+√2)=2+2√2 ที่ (-∞;1) กราฟจะนูนขึ้น และที่ (1;+∞) กราฟจะนูนลง
VII มาสร้างตารางค่าที่ได้รับกัน

VIII จากข้อมูลที่ได้รับ เราสร้างภาพร่างกราฟของฟังก์ชัน

ในขณะนี้ ฐานข้อมูลใบรับรองในตัวของ TheBat สำหรับ SSL หยุดทำงานอย่างถูกต้อง (ยังไม่ชัดเจนว่าด้วยเหตุผลใด)

เมื่อตรวจสอบโพสต์จะมีข้อผิดพลาดปรากฏขึ้น:

ใบรับรอง CA ที่ไม่รู้จัก
เซิร์ฟเวอร์ไม่ได้แสดงใบรับรองหลักในเซสชัน และไม่พบใบรับรองหลักที่เกี่ยวข้องในสมุดที่อยู่
การเชื่อมต่อนี้ต้องไม่เป็นความลับ โปรด
ติดต่อผู้ดูแลระบบเซิร์ฟเวอร์ของคุณ

และคุณจะได้รับคำตอบให้เลือก - ใช่ / ไม่ใช่ ดังนั้นทุกครั้งที่คุณลบเมลออก

สารละลาย

ในกรณีนี้ คุณต้องแทนที่มาตรฐานการใช้งาน S/MIME และ TLS ด้วย Microsoft CryptoAPI ในการตั้งค่า TheBat!

เนื่องจากฉันต้องการรวมไฟล์ทั้งหมดเป็นไฟล์เดียว ขั้นแรกฉันจึงแปลงไฟล์ doc ทั้งหมดเป็นไฟล์ pdf ไฟล์เดียว (โดยใช้โปรแกรม Acrobat) จากนั้นจึงโอนไปที่ fb2 ผ่านตัวแปลงออนไลน์ คุณยังสามารถแปลงไฟล์ทีละไฟล์ได้ รูปแบบใดก็ได้ (แหล่งที่มา) - doc, jpg และแม้แต่ไฟล์ zip!

ชื่อของไซต์สอดคล้องกับสาระสำคัญ :) Photoshop ออนไลน์

อัปเดตเมื่อเดือนพฤษภาคม 2558

ฉันพบเว็บไซต์ที่ยอดเยี่ยมอีกแห่ง! สะดวกและใช้งานได้มากขึ้นสำหรับการสร้างภาพต่อกันแบบกำหนดเองโดยสมบูรณ์! นี่คือเว็บไซต์ http://www.fotor.com/ru/collage/ เพลิดเพลินเพื่อสุขภาพของคุณ และฉันจะใช้มันเอง

ในชีวิตฉันเจอปัญหาการซ่อมเตาไฟฟ้า ฉันได้ทำหลายสิ่งหลายอย่างแล้ว เรียนรู้มากมาย แต่ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับไทล์เลย จำเป็นต้องเปลี่ยนหน้าสัมผัสบนตัวควบคุมและหัวเผา คำถามเกิดขึ้น - จะกำหนดเส้นผ่านศูนย์กลางของหัวเผาบนเตาไฟฟ้าได้อย่างไร?

คำตอบกลายเป็นเรื่องง่าย คุณไม่จำเป็นต้องวัดขนาดใดๆ คุณสามารถกำหนดขนาดที่ต้องการได้ด้วยตาเปล่า

เตาที่เล็กที่สุด- นี่คือ 145 มิลลิเมตร (14.5 เซนติเมตร)

เตากลาง- นี่คือ 180 มิลลิเมตร (18 เซนติเมตร)

และที่สุดก็คือที่สุด เตาขนาดใหญ่- นี่คือ 225 มิลลิเมตร (22.5 เซนติเมตร)

ก็เพียงพอที่จะกำหนดขนาดด้วยตาและทำความเข้าใจว่าคุณต้องการหัวเตาขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางเท่าใด เมื่อไม่รู้เรื่องนี้ก็กังวลเรื่องมิติเหล่านี้ ไม่รู้ว่าจะวัดอย่างไร ต้องนำทางไปยังขอบไหน ฯลฯ ตอนนี้ฉันฉลาดแล้ว :) ฉันหวังว่าฉันจะช่วยคุณเช่นกัน!

ในชีวิตของฉันฉันประสบปัญหาดังกล่าว ฉันคิดว่าไม่ใช่ฉันคนเดียว

วันนี้เราขอเชิญคุณมาสำรวจและสร้างกราฟของฟังก์ชันกับเรา หลังจากศึกษาบทความนี้อย่างละเอียดแล้ว คุณจะไม่ต้องออกแรงทำงานประเภทนี้เป็นเวลานาน ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะศึกษาและสร้างกราฟของฟังก์ชัน แต่เป็นงานที่ต้องใช้ความใส่ใจและความแม่นยำสูงสุดในการคำนวณ เพื่อให้เนื้อหาเข้าใจง่ายขึ้น เราจะศึกษาฟังก์ชันเดียวกันทีละขั้นตอน และอธิบายการกระทำและการคำนวณทั้งหมดของเรา ยินดีต้อนรับสู่โลกคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งและน่าหลงใหล! ไปกันเลย!

โดเมนของคำจำกัดความ

เพื่อที่จะสำรวจและสร้างกราฟฟังก์ชัน คุณจำเป็นต้องรู้คำจำกัดความหลายประการ ฟังก์ชั่นเป็นหนึ่งในแนวคิดหลัก (พื้นฐาน) ในทางคณิตศาสตร์ มันสะท้อนถึงการพึ่งพาระหว่างตัวแปรหลายตัว (สองสามตัวขึ้นไป) ในระหว่างการเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันนี้ยังแสดงการขึ้นต่อกันของเซตอีกด้วย

ลองจินตนาการว่าเรามีตัวแปรสองตัวที่มีการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่ง ดังนั้น y คือฟังก์ชันของ x โดยมีเงื่อนไขว่าแต่ละค่าของตัวแปรตัวที่สองจะต้องสอดคล้องกับค่าหนึ่งของตัวแปรตัวที่สอง ในกรณีนี้ ตัวแปร y จะขึ้นอยู่กับตัวแปร และเรียกว่าฟังก์ชัน เป็นเรื่องปกติที่จะบอกว่าตัวแปร x และ y อยู่ในนั้น เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้นของการพึ่งพานี้ กราฟของฟังก์ชันจะถูกสร้างขึ้น กราฟของฟังก์ชันคืออะไร? นี่คือเซตของจุดบนระนาบพิกัด โดยที่ค่า x แต่ละค่าสอดคล้องกับค่า y หนึ่งค่า กราฟอาจแตกต่างกันได้ เช่น เส้นตรง ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา คลื่นไซน์ และอื่นๆ

เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างกราฟฟังก์ชันหากไม่มีการวิจัย วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีดำเนินการวิจัยและสร้างกราฟของฟังก์ชัน การจดบันทึกระหว่างการศึกษาเป็นสิ่งสำคัญมาก ซึ่งจะทำให้งานง่ายขึ้นมาก แผนการวิจัยที่สะดวกที่สุด:

1. ขอบเขตของคำจำกัดความ
2. ความต่อเนื่อง
3. คู่หรือคี่
4. ความเป็นงวด
5. เส้นกำกับ
6. ศูนย์
7. ลงชื่อความมั่นคง
8. เพิ่มขึ้นและลดลง
9. สุดขั้ว
10. ความนูนและความเว้า

เริ่มจากประเด็นแรกกันก่อน มาดูโดเมนของคำจำกัดความกัน ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันของเรามีอยู่ในช่วงใด: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) ในกรณีของเรา มีฟังก์ชันสำหรับค่าใดๆ ของ x นั่นคือโดเมนของคำจำกัดความเท่ากับ R ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้ xÎR

ความต่อเนื่อง

ตอนนี้เราจะตรวจสอบฟังก์ชันความไม่ต่อเนื่อง ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ความต่อเนื่อง" เกิดขึ้นจากการศึกษากฎการเคลื่อนที่ อนันต์คืออะไร? พื้นที่ เวลา การขึ้นต่อกันบางอย่าง (ตัวอย่างคือการขึ้นอยู่กับตัวแปร S และ t ในปัญหาการเคลื่อนไหว) อุณหภูมิของวัตถุที่ให้ความร้อน (น้ำ กระทะ เทอร์โมมิเตอร์ ฯลฯ) เส้นต่อเนื่อง (นั่นคือเส้นที่ สามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกออกจากแผ่นดินสอ)

กราฟจะถือว่าต่อเนื่องหากกราฟไม่แตกหัก ณ จุดใดจุดหนึ่ง หนึ่งในตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของกราฟดังกล่าวคือไซนัสอยด์ ซึ่งคุณสามารถเห็นได้ในภาพในส่วนนี้ ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุดใดจุดหนึ่ง x0 หากตรงตามเงื่อนไขหลายประการ:

• ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด
• ขีดจำกัดด้านซ้ายและขวาที่จุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน
• ลิมิตเท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x0

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ แสดงว่าฟังก์ชันล้มเหลว และจุดที่ฟังก์ชันแบ่งมักจะเรียกว่าจุดพัก ตัวอย่างของฟังก์ชันที่จะ “แตกหัก” เมื่อแสดงเป็นกราฟิกคือ: y=(x+4)/(x-3) ยิ่งไปกว่านั้น y ไม่มีอยู่ที่จุด x = 3 (เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะหารด้วยศูนย์)

ในฟังก์ชันที่เรากำลังศึกษา (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) ทุกอย่างกลายเป็นเรื่องง่าย เนื่องจากกราฟจะต่อเนื่องกัน

แม้กระทั่งคี่

ตอนนี้ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข f(-x)=f(x) สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x (จากช่วงของค่า) ตัวอย่างได้แก่:

• โมดูล x (กราฟดูเหมือนรุ่งอรุณ, เส้นแบ่งครึ่งของไตรมาสที่หนึ่งและสองของกราฟ);
• x กำลังสอง (พาราโบลา);
• โคไซน์ x (โคไซน์)

โปรดทราบว่ากราฟทั้งหมดนี้มีความสมมาตรเมื่อดูด้วยความเคารพต่อแกน y (นั่นคือแกน y)

ฟังก์ชันคี่เรียกว่าอะไร? ฟังก์ชันเหล่านี้คือฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไข: f(-x)=-f(x) สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x ตัวอย่าง:

• ไฮเปอร์โบลา;
• ลูกบาศก์พาราโบลา;
• ไซนัสอยด์;
• แทนเจนต์และอื่น ๆ

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเหล่านี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับจุด (0:0) ซึ่งก็คือจุดกำเนิด จากสิ่งที่กล่าวไว้ในบทความในส่วนนี้ ฟังก์ชันคู่และคี่ต้องมีคุณสมบัติ: x เป็นของชุดคำจำกัดความและ -x เช่นกัน

ลองตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความเท่าเทียมกัน เราเห็นว่าเธอไม่เหมาะกับคำอธิบายใดๆ ดังนั้นฟังก์ชันของเราจึงไม่เป็นคู่หรือคี่

เส้นกำกับ

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ เส้นกำกับคือเส้นโค้งที่อยู่ใกล้กับกราฟมากที่สุด กล่าวคือ ระยะทางจากจุดหนึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ โดยรวมแล้วมีเส้นกำกับสามประเภท:

• แนวตั้ง นั่นคือ ขนานกับแกน y
• แนวนอน นั่นคือ ขนานกับแกน x
• โน้มเอียง

สำหรับประเภทแรก ควรมองหาบรรทัดเหล่านี้ในบางจุด:

• ช่องว่าง;
• สิ้นสุดขอบเขตของคำจำกัดความ

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันเป็นแบบต่อเนื่อง และโดเมนของคำจำกัดความเท่ากับ R ดังนั้นจึงไม่มีเส้นกำกับแนวตั้ง

กราฟของฟังก์ชันจะมีเส้นกำกับแนวนอนหากเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้: ถ้า x มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์หรือลบอนันต์ และขีดจำกัดจะเท่ากับตัวเลขจำนวนหนึ่ง (เช่น a) ในกรณีนี้ y=a คือเส้นกำกับแนวนอน ไม่มีเส้นกำกับแนวนอนในฟังก์ชันที่เรากำลังศึกษา

เส้นกำกับเฉียงจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขสองประการเท่านั้น:

• ลิม(f(x))/x=k;
• ลิม f(x)-kx=b.

จากนั้นหาได้จากสูตร: y=kx+b อีกครั้ง ในกรณีของเราไม่มีเส้นกำกับแบบเฉียง

ฟังก์ชันศูนย์

ขั้นตอนต่อไปคือการตรวจสอบกราฟของฟังก์ชันเพื่อหาศูนย์ สิ่งสำคัญมากที่ต้องทราบคืองานที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันนั้นไม่เพียงเกิดขึ้นเฉพาะเมื่อศึกษาและสร้างกราฟของฟังก์ชันเท่านั้น แต่ยังเป็นงานอิสระและเป็นวิธีการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันด้วย คุณอาจจำเป็นต้องค้นหาศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟหรือใช้สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์

การค้นหาค่าเหล่านี้จะช่วยให้คุณสร้างกราฟฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวง่ายๆ ก็คือ ศูนย์ของฟังก์ชันคือค่าของตัวแปร x โดยที่ y = 0 หากคุณกำลังมองหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันบนกราฟ คุณควรใส่ใจกับจุดที่กราฟตัดกับแกน x

หากต้องการหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน คุณต้องแก้สมการต่อไปนี้: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0 หลังจากดำเนินการคำนวณที่จำเป็นแล้วเราจะได้คำตอบดังนี้:

ลงชื่อความมั่นคง

ขั้นตอนต่อไปของการวิจัยและสร้างฟังก์ชัน (กราฟ) คือการค้นหาช่วงของเครื่องหมายคงที่ ซึ่งหมายความว่าเราต้องกำหนดว่าช่วงใดที่ฟังก์ชันรับค่าบวก และช่วงใดที่ฟังก์ชันรับค่าลบ ฟังก์ชันศูนย์ที่พบในส่วนสุดท้ายจะช่วยให้เราทำสิ่งนี้ได้ ดังนั้น เราจำเป็นต้องสร้างเส้นตรง (แยกจากกราฟ) และกระจายศูนย์ของฟังก์ชันตามลำดับที่ถูกต้องจากน้อยไปหามาก ตอนนี้คุณต้องพิจารณาว่าช่วงผลลัพธ์ใดที่มีเครื่องหมาย "+" และช่วงใดที่มีเครื่องหมาย "-"

ในกรณีของเรา ฟังก์ชันรับค่าบวกตามช่วงเวลา:

• จาก 1 ถึง 4;
• จาก 9 ถึงอนันต์

ค่าลบ:

• จากลบอนันต์ถึง 1;
• จาก 4 ถึง 9

นี่ค่อนข้างง่ายที่จะกำหนด แทนตัวเลขใดๆ จากช่วงลงในฟังก์ชันแล้วดูว่าคำตอบที่ได้มีเครื่องหมายอะไร (ลบหรือบวก)

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ในการสำรวจและสร้างฟังก์ชัน เราจำเป็นต้องรู้ว่ากราฟจะเพิ่มขึ้นที่ใด (ขึ้นไปตามแกน Oy) และจะตกที่ใด (คลานลงไปตามแกน y)

ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่อค่าที่มากกว่าของตัวแปร x สอดคล้องกับค่า y ที่มากกว่า นั่นคือ x2 มากกว่า x1 และ f(x2) มากกว่า f(x1) และเราสังเกตปรากฏการณ์ที่ตรงกันข้ามอย่างสิ้นเชิงด้วยฟังก์ชันที่ลดลง (ยิ่ง x ยิ่ง y ยิ่งน้อยลง) ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงคุณต้องค้นหาสิ่งต่อไปนี้:

• ขอบเขตของคำจำกัดความ (เรามีอยู่แล้ว);
• อนุพันธ์ (ในกรณีของเรา: 1/3(3x^2-28x+49);
• แก้สมการ 1/3(3x^2-28x+49)=0

หลังจากการคำนวณเราจะได้ผลลัพธ์:

เราได้รับ: ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลาจากลบอนันต์เป็น 7/3 และจาก 7 เป็นอนันต์ และลดลงในช่วงเวลาจาก 7/3 เป็น 7

สุดขั้ว

ฟังก์ชันภายใต้การศึกษา y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอยู่สำหรับค่าใดๆ ของตัวแปร x จุดสุดขีดแสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีของเราไม่มีเลยซึ่งทำให้งานก่อสร้างง่ายขึ้นมาก มิฉะนั้นก็สามารถพบได้โดยใช้ฟังก์ชันอนุพันธ์ เมื่อพบแล้วอย่าลืมทำเครื่องหมายไว้บนแผนภูมิ

ความนูนและความเว้า

เรายังคงสำรวจฟังก์ชัน y(x) เพิ่มเติมต่อไป ตอนนี้เราต้องตรวจสอบความนูนและความเว้า คำจำกัดความของแนวคิดเหล่านี้ค่อนข้างยากที่จะเข้าใจ เป็นการดีกว่าที่จะวิเคราะห์ทุกสิ่งโดยใช้ตัวอย่าง สำหรับการทดสอบ: ฟังก์ชันจะนูนออกมาหากเป็นฟังก์ชันที่ไม่ลดลง เห็นด้วยนี่เป็นสิ่งที่เข้าใจยาก!

เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลำดับที่สอง เราได้: y=1/3(6x-28) ทีนี้ลองจัดด้านขวาให้เป็นศูนย์แล้วแก้สมการ คำตอบ: x=14/3 เราพบจุดเปลี่ยนเว้า ซึ่งก็คือจุดที่กราฟเปลี่ยนจากความนูนเป็นความเว้าหรือในทางกลับกัน ในช่วงเวลาตั้งแต่ลบอนันต์ถึง 14/3 ฟังก์ชันจะนูน และจาก 14/3 ถึงบวกอนันต์ ฟังก์ชันจะเว้า สิ่งสำคัญมากที่ต้องทราบก็คือจุดเปลี่ยนเว้าบนกราฟควรเรียบและนุ่มนวล และไม่ควรมีมุมที่แหลมคม

การกำหนดจุดเพิ่มเติม

หน้าที่ของเราคือตรวจสอบและสร้างกราฟของฟังก์ชัน เราศึกษาเสร็จแล้ว การสร้างกราฟของฟังก์ชันตอนนี้ไม่ใช่เรื่องยาก หากต้องการสร้างเส้นโค้งหรือเส้นตรงบนระนาบพิกัดที่แม่นยำและละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถค้นหาจุดเสริมได้หลายจุด พวกมันค่อนข้างง่ายในการคำนวณ ตัวอย่างเช่น เราใช้ x=3 แก้สมการผลลัพธ์แล้วหา y=4 หรือ x=5 และ y=-5 และอื่นๆ คุณสามารถใช้คะแนนเพิ่มเติมได้มากเท่าที่คุณต้องการสำหรับการก่อสร้าง พบอย่างน้อย 3-5 อัน

พล็อตกราฟ

เราจำเป็นต้องตรวจสอบฟังก์ชัน (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y เครื่องหมายที่จำเป็นทั้งหมดระหว่างการคำนวณถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัด สิ่งที่คุณต้องทำคือสร้างกราฟ ซึ่งก็คือ เชื่อมต่อจุดทั้งหมดเข้าด้วยกัน การเชื่อมต่อจุดต่างๆ ควรราบรื่นและแม่นยำ นี่เป็นเรื่องของทักษะ การฝึกฝนเพียงเล็กน้อยแล้วกำหนดการของคุณจะสมบูรณ์แบบ

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด