თუ დავალება მოითხოვს სრული შესწავლაფუნქციები f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 მისი გრაფიკის კონსტრუქციით, შემდეგ ამ პრინციპს დეტალურად განვიხილავთ.

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად უნდა გამოვიყენოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები. კვლევის ალგორითმი მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

Yandex.RTB R-A-339285-1

განსაზღვრების დომენის პოვნა

ვინაიდან კვლევა ტარდება ფუნქციის დომენზე, აუცილებელია ამ ნაბიჯით დავიწყოთ.

მაგალითი 1

მოცემული მაგალითი მოიცავს მნიშვნელის ნულების პოვნას, რათა გამოირიცხოს ისინი DPV-დან.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

შედეგად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. შემდეგ ODZ შეიძლება მოძებნოთ g (x) 4 ტიპის ლუწი ხარისხის ფესვი g (x) ≥ 0 , ლოგარითმისთვის log a g (x) უტოლობით g (x) > 0 .

ODZ-ის საზღვრების გამოკვლევა და ვერტიკალური ასიმპტოტების მოძიება

ფუნქციის საზღვრებზე არის ვერტიკალური ასიმპტოტები, როდესაც ასეთ წერტილებში ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა.

მაგალითი 2

მაგალითად, განვიხილოთ სასაზღვრო წერტილები x = ± 1 2-ის ტოლი.

შემდეგ საჭიროა ფუნქციის შესწავლა ცალმხრივი ლიმიტის მოსაძებნად. შემდეგ მივიღებთ, რომ: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

ეს გვიჩვენებს, რომ ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები x = ± 1 2 არის გრაფის ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ფუნქციის გამოკვლევა და ლუწი ან კენტი

როდესაც პირობა y (- x) = y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება ლუწი. ეს ვარაუდობს, რომ გრაფიკი განლაგებულია სიმეტრიულად O y-ის მიმართ. როდესაც პირობა y (- x) = - y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება კენტად. ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია მიდის კოორდინატების წარმოშობასთან მიმართებაში. თუ ერთი უტოლობა მაინც ვერ ხერხდება, ვიღებთ ზოგადი ფორმის ფუნქციას.

y (- x) = y (x) ტოლობის შესრულება მიუთითებს, რომ ფუნქცია ლუწია. აგებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ, რომ იქნება სიმეტრია O y-ის მიმართ.

უტოლობის ამოსახსნელად გამოიყენება ზრდისა და შემცირების ინტერვალები f "(x) ≥ 0 და f" (x) ≤ 0 პირობებით, შესაბამისად.

განმარტება 1

სტაციონარული წერტილებიარის წერტილები, რომლებიც წარმოებულს ნულს აქცევს.

კრიტიკული წერტილებიარის შიდა წერტილები დომენიდან, სადაც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ან არ არსებობს.

გადაწყვეტილების მიღებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი პუნქტები:

• f "(x) > 0 ფორმის უტოლობის ზრდისა და შემცირების არსებული ინტერვალებისთვის ამონახსნში არ შედის კრიტიკული წერტილები;
• წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია განისაზღვრება სასრული წარმოებულის გარეშე, უნდა იყოს ჩართული გაზრდისა და შემცირების ინტერვალებში (მაგალითად, y \u003d x 3, სადაც წერტილი x \u003d 0 განსაზღვრავს ფუნქციას, წარმოებულს აქვს უსასრულობის მნიშვნელობა. ამ ეტაპზე, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 შედის გაზრდის ინტერვალში);
• უთანხმოების თავიდან აცილების მიზნით რეკომენდებულია მათემატიკური ლიტერატურის გამოყენება, რომელსაც განათლების სამინისტრო გირჩევთ.

კრიტიკული წერტილების ჩართვა გაზრდისა და კლების ინტერვალებში იმ შემთხვევაში, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ფუნქციის დომენს.

განმარტება 2

ამისთვის ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების განსაზღვრისას აუცილებელია ვიპოვოთ:

• წარმოებული;
• კრიტიკული წერტილები;
• კრიტიკული წერტილების დახმარებით განსაზღვრის სფეროს ინტერვალებად დაყოფა;
• განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე, სადაც + არის ზრდა და - კლება.

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული f დომენზე "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

გამოსავალი

გადაჭრისთვის გჭირდებათ:

• იპოვეთ სტაციონარული წერტილები, ამ მაგალითს აქვს x = 0;
• იპოვეთ მნიშვნელის ნულები, მაგალითი იღებს ნულს x = ± 1 2-ზე.

ჩვენ გამოვყოფთ წერტილებს რიცხვით ღერძზე, რათა განვსაზღვროთ წარმოებული თითოეულ ინტერვალზე. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან და გააკეთოთ გამოთვლა. ზე დადებითი შედეგიგრაფიკზე გამოსახულია +, რაც ნიშნავს ფუნქციის ზრდას და - ნიშნავს მის შემცირებას.

მაგალითად, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, რაც ნიშნავს, რომ მარცხნივ პირველ ინტერვალს აქვს + ნიშანი. განვიხილოთ რიცხვი ხაზი.

პასუხი:

• ხდება ფუნქციის ზრდა ინტერვალზე - ∞ ; - 1 2 და (- 1 2 ; 0 ] ;
• არის კლება ინტერვალზე [0; 1 2) და 1 2 ; +∞.

დიაგრამაზე, + და - გამოყენებით, გამოსახულია ფუნქციის პოზიტივი და ნეგატივი, ხოლო ისრები მიუთითებს კლებასა და ზრდაზე.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის ის წერტილები, სადაც ფუნქცია განისაზღვრება და რომლის მეშვეობითაც წარმოებული ცვლის ნიშანს.

მაგალითი 4

თუ განვიხილავთ მაგალითს, სადაც x \u003d 0, მაშინ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა არის f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. როდესაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება +-დან --მდე და გადის x \u003d 0 წერტილში, მაშინ წერტილი კოორდინატებით (0; 0) ითვლება მაქსიმალურ წერტილად. როდესაც ნიშანი იცვლება -დან +-მდე, ვიღებთ მინიმალურ ქულას.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი განისაზღვრება f "" (x) ≥ 0 და f "" (x) ≤ 0 ფორმის უტოლობების ამოხსნით. ნაკლებად ხშირად იყენებენ სახელს bulge down ჩაზნექის ნაცვლად და bulge up-ის ნაცვლად.

განმარტება 3

ამისთვის ჩაზნექილისა და ამოზნექის ხარვეზების განსაზღვრასაჭირო:

• იპოვეთ მეორე წარმოებული;
• იპოვეთ მეორე წარმოებულის ფუნქციის ნულები;
• დაარღვიე განსაზღვრების სფერო იმ წერტილებით, რომლებიც ჩნდება ინტერვალებად;
• განსაზღვრეთ ხარვეზის ნიშანი.

მაგალითი 5

იპოვეთ მეორე წარმოებული განმარტების სფეროდან.

გამოსავალი

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნულებს, სადაც ჩვენი მაგალითის გამოყენებით გვაქვს, რომ x = ± 1 2 მნიშვნელის ნულები.

ახლა თქვენ უნდა დააყენოთ ქულები რიცხვით ხაზზე და დაადგინოთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეული ინტერვალიდან. ჩვენ ამას მივიღებთ

პასუხი:

• ფუნქცია ამოზნექილია ინტერვალიდან - 1 2 ; 12 ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია ხარვეზებიდან - ∞ ; - 1 2 და 1 2 ; +∞.

განმარტება 4

დახრის წერტილიარის x 0 ფორმის წერტილი; f(x0) . როდესაც მას აქვს ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე, მაშინ როდესაც ის გადის x 0-ზე, ფუნქცია ცვლის საპირისპირო ნიშანს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის ის წერტილი, რომლის მეშვეობითაც მეორე წარმოებული გადის და ცვლის ნიშანს, ხოლო თავად წერტილებში ნულის ტოლია ან არ არსებობს. ყველა წერტილი ითვლება ფუნქციის დომენად.

მაგალითში ჩანდა, რომ არ არსებობს დახრის წერტილები, ვინაიდან მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს x = ± 1 2 წერტილებში გავლისას. ისინი, თავის მხრივ, არ შედის განმარტების დომენში.

ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტების მოძიება

უსასრულობაში ფუნქციის განსაზღვრისას უნდა მოძებნოთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები.

განმარტება 5

ირიბი ასიმპტოტებიშედგენილია y = k x + b განტოლებით მოცემული ხაზების გამოყენებით, სადაც k = lim x → ∞ f (x) x და b = lim x → ∞ f (x) - k x .

k = 0-ისთვის და b-ისთვის, რომლებიც უსასრულობის ტოლი არ არის, აღმოვაჩენთ, რომ ირიბი ასიმპტოტი ხდება ჰორიზონტალური.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასიმპტოტები არის ხაზები, რომლებსაც ფუნქციის გრაფიკი უსასრულობაში უახლოვდება. ეს ხელს უწყობს ფუნქციის გრაფიკის სწრაფ აგებას.

თუ ასიმპტოტები არ არის, მაგრამ ფუნქცია ორივე უსასრულობაშია განსაზღვრული, აუცილებელია ამ უსასრულობებზე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა, რათა გავიგოთ, როგორ მოიქცევა ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი 6

მაგალითად, განიხილეთ ეს

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ფუნქციის შესწავლის შემდეგ შეგიძლიათ დაიწყოთ მისი აგება.

ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა შუალედურ წერტილებში

იმისათვის, რომ შედგენა მაქსიმალურად ზუსტი იყოს, რეკომენდებულია ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელობის პოვნა შუალედურ წერტილებში.

მაგალითი 7

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითიდან, აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 წერტილებში. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, მივიღებთ, რომ მნიშვნელობები ემთხვევა მნიშვნელობებს ამ წერტილებში, ანუ ვიღებთ x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

დავწეროთ და მოვაგვაროთ:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის დასადგენად, გადახრის წერტილები, შუალედური წერტილები, აუცილებელია ასიმპტოტების აგება. მოსახერხებელი აღნიშვნისთვის ფიქსირდება გაზრდის, შემცირების, ამოზნექის, ჩაზნექის ინტერვალები. განვიხილოთ ქვემოთ მოყვანილი ფიგურა.

მონიშნულ წერტილებში აუცილებელია გრაფიკული ხაზების დახატვა, რაც საშუალებას მოგცემთ მიუახლოვდეთ ასიმპტოტებს ისრებით.

ამით სრულდება ფუნქციის სრული შესწავლა. არის რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის აგების შემთხვევები, რისთვისაც გამოიყენება გეომეტრიული გარდაქმნები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

დიფერენციალური გამოთვლების ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანაა ფუნქციების ქცევის შესწავლის ზოგადი მაგალითების შემუშავება.

თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია ინტერვალზე, ხოლო მისი წარმოებული დადებითია ან 0-ის ტოლია ინტერვალზე (a, b), მაშინ y \u003d f (x) იზრდება (f "(x) 0). თუ ფუნქცია y \u003d f (x) უწყვეტია სეგმენტზე და მისი წარმოებული არის უარყოფითი ან 0-ის ტოლი ინტერვალზე (a,b), მაშინ y=f(x) მცირდება (f"( x)0)

ინტერვალებს, რომლებშიც ფუნქცია არ მცირდება ან არ იზრდება, ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალებს უწოდებენ. ფუნქციის ერთფეროვნების ბუნება შეიძლება შეიცვალოს მხოლოდ მისი განსაზღვრის სფეროს იმ წერტილებში, რომლებშიც იცვლება პირველი წარმოებულის ნიშანი. წერტილებს, რომლებზეც ფუნქციის პირველი წარმოებული ქრება ან იშლება, კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ.

თეორემა 1 (1 საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის).

მოდით ფუნქცია y=f(x) განისაზღვროს x 0 წერტილში და იყოს სამეზობლო δ>0 ისეთი, რომ ფუნქცია იყოს უწყვეტი სეგმენტზე, დიფერენცირებადი ინტერვალზე (x 0 -δ,x 0)u( x 0, x 0 +δ) და მისი წარმოებული ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს თითოეულ ამ ინტერვალზე. მაშინ თუ x 0 -δ, x 0) და (x 0, x 0 + δ) წარმოებულის ნიშნები განსხვავებულია, მაშინ x 0 არის უკიდურესი წერტილი, ხოლო თუ ისინი ემთხვევა, მაშინ x 0 არ არის უკიდურესი წერტილი. . უფრო მეტიც, თუ x0 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე (x 0-დან მარცხნივ შესრულებულია f"(x)> 0, მაშინ x 0 არის მაქსიმალური წერტილი; თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს. მინუსიდან პლუსამდე (x 0-ის მარჯვნივ შესრულებულია f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს ეწოდება ფუნქციის უკიდურესი წერტილები, ხოლო ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს - მის უკიდურეს მნიშვნელობებს.

თეორემა 2 (აუცილებელი კრიტერიუმი ლოკალური ექსტრემისთვის).

თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს ექსტრემი მიმდინარე x=x 0-ზე, მაშინ არც f'(x 0)=0 ან f'(x 0) არ არსებობს.
დიფერენცირებადი ფუნქციის უკიდურეს წერტილებში მისი გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად.

ექსტრემისთვის ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი:

1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
2) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები, ე.ი. წერტილები, სადაც ფუნქცია უწყვეტია და წარმოებული არის ნული ან არ არსებობს.
3) განვიხილოთ თითოეული წერტილის მეზობლობა და შეამოწმეთ წარმოებულის ნიშანი ამ წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ.
4) განსაზღვრეთ უკიდურესი წერტილების კოორდინატები, კრიტიკული წერტილების ამ მნიშვნელობისთვის, ჩაანაცვლეთ ამ ფუნქციაში. საკმარისი ექსტრემალური პირობების გამოყენებით, გამოიტანეთ შესაბამისი დასკვნები.

მაგალითი 18. გამოიკვლიეთ ფუნქცია y=x 3 -9x 2 +24x

გამოსავალი.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) წარმოებულის ნულის ტოლფასი ვპოულობთ x 1 =2, x 2 =4. ამ შემთხვევაში წარმოებული ყველგან არის განსაზღვრული; აქედან გამომდინარე, ორი ნაპოვნი წერტილის გარდა, სხვა კრიტიკული წერტილი არ არსებობს.
3) წარმოებულის ნიშანი y "=3(x-2)(x-4) იცვლება ინტერვალის მიხედვით, როგორც ნაჩვენებია სურათზე 1. x=2 წერტილში გავლისას წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე. ხოლო x=4 წერტილის გავლისას - მინუსიდან პლუსზე.
4) x=2 წერტილში ფუნქციას აქვს მაქსიმალური y max =20, ხოლო x=4 წერტილში - მინიმალური y min =16.

თეორემა 3. (მე-2 საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის).

ვთქვათ f "(x 0) და f "" (x 0) არსებობს x 0 წერტილში. მაშინ თუ f "" (x 0)> 0, მაშინ x 0 არის მინიმალური წერტილი და თუ f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

სეგმენტზე ფუნქცია y \u003d f (x) შეიძლება მიაღწიოს უმცირეს (მინიმუმ) ან უდიდეს (მაქსიმუმ) მნიშვნელობას ან ფუნქციის კრიტიკულ წერტილებში, რომელიც მდებარეობს ინტერვალში (a; b), ან ბოლოებში. სეგმენტის.

y=f(x) უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ალგორითმი სეგმენტზე:

1) იპოვეთ f "(x).
2) იპოვეთ წერტილები, რომლებშიც f "(x) = 0 ან f" (x) - არ არსებობს და მათგან შეარჩიეთ ის, რაც დევს სეგმენტის შიგნით.
3) გამოთვალეთ y \u003d f (x) ფუნქციის მნიშვნელობა მე-2 პუნქტში მიღებულ წერტილებში, ასევე სეგმენტის ბოლოებზე და აირჩიეთ მათგან ყველაზე დიდი და პატარა: ისინი, შესაბამისად, ყველაზე დიდია ( ყველაზე დიდი) და ყველაზე პატარა (ყველაზე პატარა) ფუნქციის მნიშვნელობები სეგმენტზე.

მაგალითი 19. იპოვეთ უწყვეტი ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა y=x 3 -3x 2 -45+225 სეგმენტზე.

1) ჩვენ გვაქვს y "=3x 2 -6x-45 სეგმენტზე
2) წარმოებული y" არსებობს ყველა x-ისთვის. ვიპოვოთ წერტილები, სადაც y"=0; ჩვენ ვიღებთ:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 წერტილებში.
სეგმენტს მხოლოდ წერტილი x=5 ეკუთვნის. ფუნქციის ნაპოვნი მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი არის 225, ხოლო ყველაზე პატარა არის რიცხვი 50. ასე რომ, max = 225, max = 50.

ფუნქციის გამოკვლევა ამოზნექილზე

ნახატზე ნაჩვენებია ორი ფუნქციის გრაფიკი. პირველი მათგანი ამობურცულია ზემოთ, მეორე - ამობურცული ქვემოთ.

ფუნქცია y=f(x) არის უწყვეტი სეგმენტზე და დიფერენცირებადია (a;b) ინტერვალში, ეწოდება ამოზნექილი ზემოთ (ქვემოთ) ამ სეგმენტზე, თუ axb-ისთვის მისი გრაფიკი არ არის უფრო მაღალი (არა დაბალი) ვიდრე ტანგენსი. შედგენილია ნებისმიერ წერტილში M 0 (x 0 ;f(x 0)), სადაც axb.

თეორემა 4. y=f(x) ფუნქციას ჰქონდეს მეორე წარმოებული სეგმენტის ნებისმიერ შიდა წერტილში და იყოს უწყვეტი ამ სეგმენტის ბოლოებში. მაშინ თუ f""(x)0 უტოლობა დაკმაყოფილებულია (a;b) ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია ქვევით ამოზნექილია სეგმენტზე; თუ უტოლობა f""(x)0 დაკმაყოფილებულია (а;b) ინტერვალზე, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ.

თეორემა 5. თუ ფუნქციას y=f(x) აქვს მეორე წარმოებული (a;b) ინტერვალზე და თუ ის იცვლის ნიშანს x 0 პუნქტში გავლისას, მაშინ M(x 0 ;f(x 0)) არის გადახრის წერტილი.

დახრის წერტილების პოვნის წესი:

1) იპოვეთ წერტილები, სადაც f""(x) არ არსებობს ან ქრება.
2) შეამოწმეთ ნიშანი f""(x) მარცხნივ და მარჯვნივ პირველ საფეხურზე ნაპოვნი თითოეული წერტილიდან.
3) თეორემა 4-ზე დაყრდნობით გამოიტანე დასკვნა.

მაგალითი 20. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის უკიდურესი წერტილები და გადახრის წერტილები y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

გვაქვს f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ცხადია, f"(x)=0 x 1 =0-ისთვის, x 2 =1. წარმოებული x=0 წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს მინუსდან პლუსზე, ხოლო x=1 წერტილში გავლისას არ იცვლის ნიშანს. ეს ნიშნავს, რომ x=0 არის მინიმალური წერტილი (y min =12), და არ არის ექსტრემი x=1 წერტილში. შემდეგი, ჩვენ ვიპოვით . მეორე წარმოებული ქრება x 1 =1, x 2 =1/3 წერტილებში. მეორე წარმოებულის ნიშნები ასე იცვლება: სხივზე (-∞;) გვაქვს f""(x)>0, (;1) ინტერვალზე გვაქვს f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. მაშასადამე, x= არის ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი (გადახვევა ამოზნექილიდან ქვევით ამოზნექილზე ზევით) და x=1 ასევე არის დახრის წერტილი (გადასასვლელიდან ამოზნექილობიდან ქვევით). თუ x=, მაშინ y= ; თუ, მაშინ x=1, y=13.

გრაფის ასიმპტოტის პოვნის ალგორითმი

I. თუ y=f(x) x → a , მაშინ x=a არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
II. თუ y=f(x) x → ∞ ან x → -∞ მაშინ y=A არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
III. ირიბი ასიმპტოტის საპოვნელად ვიყენებთ შემდეგ ალგორითმს:
1) გამოთვალეთ. თუ ზღვარი არსებობს და უდრის b-ს, მაშინ y=b არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი; თუ , მაშინ გადადით მეორე საფეხურზე.
2) გამოთვალეთ. თუ ეს ზღვარი არ არსებობს, მაშინ არ არსებობს ასიმპტოტი; თუ ის არსებობს და უდრის k-ს, გადადით მესამე საფეხურზე.
3) გამოთვალეთ. თუ ეს ზღვარი არ არსებობს, მაშინ არ არსებობს ასიმპტოტი; თუ ის არსებობს და უდრის b-ს, გადადით მეოთხე საფეხურზე.
4) ჩაწერეთ ირიბი ასიმპტოტის განტოლება y=kx+b.

მაგალითი 21: იპოვეთ ასიმპტოტი ფუნქციისთვის

1)
2)
3)
4) ირიბი ასიმპტოტის განტოლებას აქვს ფორმა

ფუნქციის შესწავლის სქემა და მისი გრაფიკის აგება

I. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.
II. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან.
III. იპოვნეთ ასიმპტოტები.
IV. იპოვნეთ შესაძლო ექსტრემის წერტილები.
V. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები.
VI. დამხმარე ნახაზის გამოყენებით გამოიკვლიეთ პირველი და მეორე წარმოებულის ნიშანი. განსაზღვრეთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების არეები, იპოვეთ გრაფიკის ამოზნექის მიმართულება, უკიდურესი წერტილები და დახრის წერტილები.
VII. ააგეთ გრაფიკი 1-6 პუნქტებში ჩატარებული კვლევის გათვალისწინებით.

მაგალითი 22: დახაზეთ ფუნქციის გრაფიკი ზემოაღნიშნული სქემის მიხედვით

გამოსავალი.
I. ფუნქციის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა x=1.
II. ვინაიდან განტოლებას x 2 +1=0 არ აქვს რეალური ფესვები, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან, არამედ კვეთს Oy ღერძს (0; -1) წერტილში.
III. მოდით განვმარტოთ ასიმპტოტების არსებობის საკითხი. ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციის ქცევას უწყვეტობის წერტილთან x=1. ვინაიდან y → ∞ x → -∞-ისთვის, y → +∞ x → 1+-ისთვის, მაშინ წრფე x=1 არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.
თუ x → +∞(x → -∞), მაშინ y → +∞(y → -∞); შესაბამისად, გრაფიკს არ აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. გარდა ამისა, ლიმიტების არსებობიდან

x 2 -2x-1=0 განტოლების ამოხსნით, მივიღებთ შესაძლო უკიდურესობის ორ წერტილს:
x 1 =1-√2 და x 2 =1+√2

V. კრიტიკული წერტილების საპოვნელად გამოვთვლით მეორე წარმოებულს:

ვინაიდან f""(x) არ ქრება, არ არსებობს კრიტიკული წერტილები.
VI. ჩვენ ვიკვლევთ პირველი და მეორე წარმოებულების ნიშანს. გასათვალისწინებელი შესაძლო უკიდურესი წერტილები: x 1 =1-√2 და x 2 =1+√2, დაყავით ფუნქციის არსებობის არეალი ინტერვალებად (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) და (1+√2;+∞).

თითოეულ ამ ინტერვალში წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს: პირველში - პლუს, მეორეში - მინუს, მესამეში - პლუს. პირველი წარმოებულის ნიშნების თანმიმდევრობა დაიწერება შემდეგნაირად: +, -, +.
მივიღებთ, რომ ფუნქცია (-∞;1-√2)-ზე იზრდება, (1-√2;1+√2)-ზე მცირდება და (1+√2;+∞) კვლავ იზრდება. ექსტრემალური წერტილები: მაქსიმუმი x=1-√2-ზე, მეტიც f(1-√2)=2-2√2 მინიმალური x=1+√2-ზე, მეტიც f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1)-ზე გრაფიკი ამოზნექილია ზემოთ, ხოლო (1;+∞)-ზე - ქვემოთ.
VII შევადგინოთ მიღებული მნიშვნელობების ცხრილი

VIII მიღებული მონაცემების საფუძველზე ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკის ჩანახატს

გარკვეული პერიოდის განმავლობაში, TheBat-ში (გაურკვეველია, რა მიზეზით), SSL-ისთვის ჩაშენებული სერთიფიკატების მონაცემთა ბაზა სწორად შეწყვეტს მუშაობას.

პოსტის შემოწმებისას ჩნდება შეცდომა:

უცნობი CA სერთიფიკატი
სერვერმა არ წარმოადგინა root სერტიფიკატი სესიაზე და შესაბამისი root სერთიფიკატი ვერ მოიძებნა მისამართების წიგნში.
ეს კავშირი არ შეიძლება იყოს საიდუმლო. გთხოვთ
დაუკავშირდით თქვენი სერვერის ადმინისტრატორს.

და მას სთავაზობენ პასუხების არჩევანს - დიახ / არა. და ასე ყოველ ჯერზე, როცა ფოსტას ისვრით.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ S/MIME და TLS განხორციელების სტანდარტი Microsoft CryptoAPI-ით TheBat-ში!

ვინაიდან მჭირდებოდა ყველა ფაილის ერთში გაერთიანება, ჯერ ყველა doc ფაილი გადავაკეთე ერთ pdf ფაილად (Acrobat პროგრამის გამოყენებით), შემდეგ კი გადავეცი fb2-ზე ონლაინ კონვერტორის საშუალებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკონვერტიროთ ფაილები ინდივიდუალურად. ფორმატები შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი (წყარო) და doc, და jpg, და თუნდაც zip არქივი!

საიტის სახელწოდება შეესაბამება არსს:) Online Photoshop.

განახლებულია 2015 წლის მაისი

ვიპოვე კიდევ ერთი შესანიშნავი საიტი! კიდევ უფრო მოსახერხებელი და ფუნქციონალური სრულიად თვითნებური კოლაჟის შესაქმნელად! ეს საიტი არის http://www.fotor.com/ru/collage/. გამოიყენეთ ჯანმრთელობაზე. და მე თვითონ გამოვიყენებ.

ცხოვრებაში შეექმნა ელექტრო ღუმელების შეკეთება. მე უკვე ბევრი რამ გავაკეთე, ბევრი ვისწავლე, მაგრამ რატომღაც ცოტა კრამიტი მქონდა. საჭირო იყო რეგულატორებისა და სანთურების კონტაქტების შეცვლა. გაჩნდა კითხვა - როგორ განვსაზღვროთ სანთურის დიამეტრი ელექტრო ღუმელზე?

პასუხი მარტივი აღმოჩნდა. არაფრის გაზომვა არ არის საჭირო, შეგიძლიათ მშვიდად განსაზღვროთ თვალით რა ზომა გჭირდებათ.

ყველაზე პატარა სანთურაარის 145 მილიმეტრი (14,5 სანტიმეტრი)

საშუალო სანთურაარის 180 მილიმეტრი (18 სანტიმეტრი).

და ბოლოს ყველაზე მეტი დიდი სანთურაარის 225 მილიმეტრი (22,5 სანტიმეტრი).

საკმარისია ზომის დადგენა თვალით და იმის გაგება, თუ რა დიამეტრის გჭირდებათ სანთურა. როცა ეს არ ვიცოდი, ამ ზომებით ვფრენდი, არ ვიცოდი როგორ გამეზომა, რომელ კიდეზე გამეტარებინა და ა.შ. ახლა გონიერი ვარ :) იმედია შენც დაგეხმარე!

ჩემს ცხოვრებაში ასეთი პრობლემა შემექმნა. მგონი მარტო მე არ ვარ.

დღეს გეპატიჟებით ჩვენთან ერთად შეისწავლოთ და შეადგინოთ ფუნქციის გრაფიკი. ამ სტატიის გულდასმით შესწავლის შემდეგ, ამ სახის ამოცანის შესასრულებლად დიდი ხნის განმავლობაში არ მოგიწევთ ოფლი. ფუნქციის გრაფიკის შესწავლა და აგება ადვილი არ არის, ნამუშევარი მოცულობითია, საჭიროებს მაქსიმალურ ყურადღებას და გამოთვლების სიზუსტეს. მასალის აღქმის გასაადვილებლად ჩვენ ეტაპობრივად შევისწავლით იგივე ფუნქციას, ავხსნით ყველა ჩვენს მოქმედებას და გამოთვლას. კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება მათემატიკის გასაოცარ და მომხიბვლელ სამყაროში! წადი!

დომენი

იმისათვის, რომ გამოიკვლიოთ და შეადგინოთ ფუნქცია, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე განმარტება. ფუნქცია მათემატიკაში ერთ-ერთი ძირითადი (ძირითადი) ცნებაა. იგი ასახავს დამოკიდებულებას რამდენიმე ცვლადს შორის (ორი, სამი ან მეტი) ცვლილებებით. ფუნქცია ასევე აჩვენებს კომპლექტების დამოკიდებულებას.

წარმოიდგინეთ, რომ გვაქვს ორი ცვლადი, რომლებსაც აქვთ ცვლილების გარკვეული დიაპაზონი. ამრიგად, y არის x-ის ფუნქცია, იმ პირობით, რომ მეორე ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება მეორის ერთ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, y ცვლადი არის დამოკიდებული და მას ფუნქცია ეწოდება. ჩვეულებრივად უნდა ითქვას, რომ x და y ცვლადები არიან ამ დამოკიდებულების მეტი სიცხადისთვის, აგებულია ფუნქციის გრაფიკი. რა არის ფუნქციის გრაფიკი? ეს არის წერტილების ნაკრები კოორდინატულ სიბრტყეზე, სადაც x-ის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის ერთ მნიშვნელობას. გრაფიკები შეიძლება იყოს განსხვავებული - სწორი ხაზი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა, სინუსოიდი და ა.შ.

ფუნქციის გრაფიკის დახატვა შეუძლებელია კვლევის გარეშე. დღეს ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ჩავატაროთ კვლევა და დავხატოთ ფუნქციის გრაფიკი. სწავლის დროს ძალიან მნიშვნელოვანია შენიშვნების გაკეთება. ასე რომ, ბევრად უფრო ადვილი იქნება დავალების შესრულება. ყველაზე მოსახერხებელი სასწავლო გეგმა:

1. დომენი.
2. უწყვეტობა.
3. Ლუწი თუ კენტი.
4. პერიოდულობა.
5. ასიმპტოტები.
6. ნულები.
7. მუდმივობა.
8. აღმავალი და დაღმავალი.
9. უკიდურესობები.
10. ამოზნექილი და ჩაზნექილი.

დავიწყოთ პირველი პუნქტით. მოდით ვიპოვოთ განმარტების დომენი, ანუ რა ინტერვალებზე არსებობს ჩვენი ფუნქცია: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია არსებობს x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ანუ განმარტების დომენი არის R. ეს შეიძლება დაიწეროს როგორც xОR.

უწყვეტობა

ახლა ჩვენ ვაპირებთ შევისწავლოთ შეწყვეტის ფუნქცია. მათემატიკაში ტერმინი „განგრძობა“ გაჩნდა მოძრაობის კანონების შესწავლის შედეგად. რა არის უსასრულო? სივრცე, დრო, ზოგიერთი დამოკიდებულება (მაგალითად არის S და t ცვლადების დამოკიდებულება მოძრაობის ამოცანებში), გახურებული ობიექტის ტემპერატურა (წყალი, ტაფა, თერმომეტრი და ა.შ.), უწყვეტი ხაზი (ანუ ერთი. რომლის დახატვა შესაძლებელია ფურცლის ფანქრიდან ამოღების გარეშე).

გრაფიკი ითვლება უწყვეტად, თუ ის არ იშლება რაღაც მომენტში. ასეთი გრაფიკის ერთ-ერთი ყველაზე თვალსაჩინო მაგალითია სინუსური ტალღა, რომელიც შეგიძლიათ იხილოთ სურათზე ამ განყოფილებაში. ფუნქცია უწყვეტია რაღაც წერტილში x0, თუ დაკმაყოფილებულია მთელი რიგი პირობები:

• ფუნქცია განისაზღვრება მოცემულ წერტილში;
• მარჯვენა და მარცხენა საზღვრები წერტილში ტოლია;
• ლიმიტი უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას x0 წერტილში.

თუ ერთი პირობა მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, ამბობენ, რომ ფუნქცია იშლება. და წერტილებს, რომლებზეც ფუნქცია იშლება, ეწოდება შესვენების წერტილები. ფუნქციის მაგალითი, რომელიც „გაფუჭდება“ გრაფიკულად გამოსახვისას არის: y=(x+4)/(x-3). უფრო მეტიც, y არ არსებობს x = 3 წერტილში (რადგან შეუძლებელია ნულზე გაყოფა).

ფუნქციაში, რომელსაც ჩვენ ვსწავლობთ (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) ყველაფერი მარტივი აღმოჩნდა, რადგან გრაფიკი იქნება უწყვეტი.

ლუწი, კენტი

ახლა შეამოწმეთ ფუნქცია პარიტეტისათვის. დავიწყოთ პატარა თეორიით. ლუწი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას f (-x) = f (x) x ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის (მნიშვნელობების დიაპაზონიდან). მაგალითებია:

• მოდული x (გრაფიკი გარეგნულად ჯაყდას ჰგავს, გრაფიკის პირველი და მეორე მეოთხედის ბისექტორი);
• x კვადრატი (პარაბოლა);
• კოსინუსი x (კოსინუსური ტალღა).

გაითვალისწინეთ, რომ ყველა ეს გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ განხილვისას.

რას ჰქვია კენტი ფუნქცია? ეს არის ის ფუნქციები, რომლებიც აკმაყოფილებს პირობას: f (-x) \u003d - f (x) x ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაგალითები:

• ჰიპერბოლა;
• კუბური პარაბოლა;
• სინუსოიდი;
• ტანგენსი და ასე შემდეგ.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს ფუნქციები სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0:0), ანუ საწყისი. სტატიის ამ ნაწილში ნათქვამიდან გამომდინარე, ლუწი და კენტი ფუნქციას უნდა ჰქონდეს თვისება: x მიეკუთვნება განსაზღვრების სიმრავლეს და -x ასევე.

მოდით შევამოწმოთ ფუნქცია პარიტეტისთვის. ჩვენ ვხედავთ, რომ იგი არ შეესაბამება არცერთ აღწერილობას. ამიტომ ჩვენი ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

ასიმპტოტები

დავიწყოთ განმარტებით. ასიმპტოტი არის მრუდი, რომელიც რაც შეიძლება ახლოსაა გრაფიკთან, ანუ მანძილი რაღაც წერტილიდან ნულისკენ მიისწრაფვის. არსებობს სამი სახის ასიმპტოტები:

• ვერტიკალური, ანუ y ღერძის პარალელურად;
• ჰორიზონტალური, ანუ x-ღერძის პარალელურად;
• ირიბი.

რაც შეეხება პირველ ტიპს, ეს ხაზები უნდა მოძებნოთ ზოგიერთ წერტილში:

• უფსკრული;
• დომენის ბოლოები.

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია უწყვეტია, ხოლო განსაზღვრების დომენი არის R. შესაბამისად, ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს.

ფუნქციის გრაფიკს აქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნას: თუ x მიდრეკილია უსასრულობისკენ ან მინუს უსასრულობისკენ, ხოლო ზღვარი უდრის გარკვეულ რიცხვს (მაგალითად, a). ამ შემთხვევაში y=a არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ჩვენ მიერ შესწავლილ ფუნქციაში არ არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

ირიბი ასიმპტოტა არსებობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

შემდეგ ის შეიძლება მოიძებნოს ფორმულით: y=kx+b. ისევ და ისევ, ჩვენს შემთხვევაში არ არსებობს ირიბი ასიმპტოტები.

ფუნქცია ნულები

შემდეგი ნაბიჯი არის ფუნქციის გრაფიკის შემოწმება ნულებისთვის. ასევე ძალიან მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ამოცანა, რომელიც დაკავშირებულია ფუნქციის ნულების პოვნასთან, ხდება არა მხოლოდ ფუნქციის გრაფიკის შესწავლასა და მშენებლობაში, არამედ როგორც დამოუკიდებელი ამოცანა და როგორც უტოლობების ამოხსნის გზა. შეიძლება დაგჭირდეთ გრაფიკზე ფუნქციის ნულების პოვნა ან მათემატიკური აღნიშვნის გამოყენება.

ამ მნიშვნელობების პოვნა დაგეხმარებათ ფუნქციის უფრო ზუსტად დახატვაში. მარტივი სიტყვებით, ფუნქციის ნული არის x ცვლადის მნიშვნელობა, რომელზეც y \u003d 0. თუ თქვენ ეძებთ ფუნქციის ნულებს გრაფიკზე, მაშინ ყურადღება უნდა მიაქციოთ იმ წერტილებს, სადაც გრაფიკი კვეთს x-ღერძს.

ფუნქციის ნულების საპოვნელად უნდა ამოხსნათ შემდეგი განტოლება: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. საჭირო გამოთვლების გაკეთების შემდეგ ვიღებთ შემდეგ პასუხს:

მუდმივობის ნიშანი

ფუნქციის (გრაფიკის) შესწავლისა და აგების შემდეგი ეტაპი არის ნიშნების მუდმივობის ინტერვალების პოვნა. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ, რომელ ინტერვალებზე იღებს ფუნქციას დადებითი მნიშვნელობა და რომელ ინტერვალებზე იღებს უარყოფით მნიშვნელობას. ამაში დაგვეხმარება წინა ნაწილში ნაპოვნი ფუნქციების ნულები. ასე რომ, ჩვენ უნდა ავაგოთ სწორი ხაზი (გრაფიკისაგან განცალკევებით) და გავანაწილოთ ფუნქციის ნულები მის გასწვრივ სწორი თანმიმდევრობით უმცირესიდან დიდამდე. ახლა თქვენ უნდა დაადგინოთ, რომელ ინტერვალს აქვს "+" ნიშანი და რომელს აქვს "-".

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობას ინტერვალებზე:

• 1-დან 4-მდე;
• 9-დან უსასრულობამდე.

უარყოფითი მნიშვნელობა:

• მინუს უსასრულობიდან 1-მდე;
• 4-დან 9-მდე.

ამის დადგენა საკმაოდ მარტივია. ჩაანაცვლეთ ნებისმიერი რიცხვი ინტერვალიდან ფუნქციაში და ნახეთ რა ნიშანია პასუხი (მინუს ან პლუს).

აღმავალი და კლებადი ფუნქცია

იმისათვის, რომ გამოვიკვლიოთ და ავაშენოთ ფუნქცია, უნდა ვიცოდეთ, სად გაიზრდება გრაფიკი (Oy-ზე მაღლა ასვლა) და სად დაეცემა (ქვემოთ y-ღერძის გასწვრივ).

ფუნქცია იზრდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ცვლადის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება y-ის უფრო დიდ მნიშვნელობას. ანუ x2 მეტია x1-ზე და f(x2) მეტია f(x1). ჩვენ კი სრულიად საპირისპირო მოვლენას ვაკვირდებით კლებად ფუნქციაში (რაც მეტი x, მით ნაკლები y). ზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ შემდეგი:

• ფარგლები (ეს უკვე გვაქვს);
• წარმოებული (ჩვენს შემთხვევაში: 1/3(3x^2-28x+49);
• ამოხსენით განტოლება 1/3(3x^2-28x+49)=0.

გამოთვლების შემდეგ მივიღებთ შედეგს:

ვიღებთ: ფუნქცია იზრდება მინუს უსასრულობამდე 7/3-მდე და 7-დან უსასრულობამდე და მცირდება ინტერვალზე 7/3-დან 7-მდე.

უკიდურესობები

გამოკვლეული ფუნქცია y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) არის უწყვეტი და არსებობს x ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. ექსტრემალური წერტილი აჩვენებს ამ ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს. ჩვენს შემთხვევაში, არცერთი არ არსებობს, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს სამშენებლო ამოცანას. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ისინი ასევე გვხვდება წარმოებული ფუნქციის გამოყენებით. პოვნის შემდეგ არ დაგავიწყდეთ მათი მონიშვნა სქემაზე.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი

ვაგრძელებთ y(x) ფუნქციის შესწავლას. ახლა ჩვენ უნდა შევამოწმოთ ის ამოზნექილი და ჩაზნექილი. ამ ცნებების დეფინიციები საკმაოდ რთული აღქმაა, უმჯობესია ყველაფერი გავაანალიზოთ მაგალითებით. ტესტისთვის: ფუნქცია ამოზნექილია, თუ ის არაკლებად ფუნქციაა. დამეთანხმებით, ეს გაუგებარია!

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მეორე რიგის ფუნქციის წარმოებული. ვიღებთ: y=1/3(6x-28). ახლა ჩვენ ვატოლებთ მარჯვენა მხარეს ნულს და ვხსნით განტოლებას. პასუხი: x=14/3. ჩვენ ვიპოვეთ დახრის წერტილი, ანუ ადგილი, სადაც გრაფიკი იცვლება ამოზნექილიდან ჩაზნექილში ან პირიქით. მინუს უსასრულობიდან 14/3-მდე ინტერვალზე ფუნქცია ამოზნექილია, ხოლო 14/3-დან პლუს უსასრულობამდე ჩაზნექილი. ასევე ძალიან მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ გრაფიკზე დახრის წერტილი უნდა იყოს გლუვი და რბილი, არ უნდა იყოს მკვეთრი კუთხეები.

დამატებითი ქულების განსაზღვრა

ჩვენი ამოცანაა ფუნქციის გრაფიკის შესწავლა და გამოსახვა. კვლევა დავასრულეთ, ფუნქციის დახატვა ახლა არ გაგვიჭირდება. კოორდინატულ სიბრტყეზე მრუდის ან სწორი ხაზის უფრო ზუსტი და დეტალური რეპროდუქციისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ რამდენიმე დამხმარე წერტილი. მათი გამოთვლა საკმაოდ მარტივია. მაგალითად, ვიღებთ x=3, ვხსნით მიღებულ განტოლებას და ვპოულობთ y=4. ან x=5 და y=-5 და ასე შემდეგ. თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ იმდენი დამატებითი ქულა, რამდენიც გჭირდებათ ასაშენებლად. მათგან 3-5 მაინც გვხვდება.

შეთქმულება

დაგვჭირდა ფუნქციის გამოკვლევა (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. გამოთვლების დროს ყველა საჭირო ნიშანი გაკეთდა კოორდინატულ სიბრტყეზე. გასაკეთებელი რჩება მხოლოდ გრაფის აგება, ანუ ყველა წერტილის ერთმანეთთან დაკავშირება. წერტილების დაკავშირება გლუვი და ზუსტია, ეს ოსტატობის საკითხია - ცოტა ვარჯიში და თქვენი განრიგი სრულყოფილი იქნება.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.