Εάν η εργασία απαιτεί πλήρη μελέτησυναρτήσεις f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 με την κατασκευή του γραφήματος του, τότε θα εξετάσουμε λεπτομερώς αυτήν την αρχή.

Για την επίλυση ενός προβλήματος αυτού του τύπου, θα πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει τις ιδιότητες και τα γραφήματα των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων. Ο αλγόριθμος έρευνας περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Εύρεση του πεδίου ορισμού

Εφόσον διεξάγεται έρευνα στον τομέα της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να ξεκινήσετε με αυτό το βήμα.

Παράδειγμα 1

Το συγκεκριμένο παράδειγμα περιλαμβάνει την εύρεση των μηδενικών του παρονομαστή προκειμένου να εξαιρεθούν από το DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να λάβετε ρίζες, λογάριθμους και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, το ODZ μπορεί να αναζητηθεί για τη ρίζα ενός ζυγού βαθμού του τύπου g (x) 4 με την ανισότητα g (x) ≥ 0 , για τον λογάριθμο log a g (x) με την ανισότητα g (x) > 0 .

Διερεύνηση ορίων ΟΔΖ και εύρεση κάθετων ασυμπτωμάτων

Υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες στα όρια της συνάρτησης, όταν τα μονόπλευρα όρια σε τέτοια σημεία είναι άπειρα.

Παράδειγμα 2

Για παράδειγμα, θεωρήστε τα σημεία συνόρων ίσα με x = ± 1 2 .

Τότε είναι απαραίτητο να μελετηθεί η συνάρτηση για να βρεθεί το μονόπλευρο όριο. Τότε παίρνουμε ότι: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Αυτό δείχνει ότι τα μονόπλευρα όρια είναι άπειρα, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες x = ± 1 2 είναι οι κατακόρυφες ασύμπτωτες του γραφήματος.

Διερεύνηση της συνάρτησης και για άρτιο ή περιττό

Όταν πληρούται η συνθήκη y (- x) = y (x), η συνάρτηση θεωρείται άρτια. Αυτό υποδηλώνει ότι το γράφημα βρίσκεται συμμετρικά ως προς το O y. Όταν πληρούται η συνθήκη y (- x) = - y (x), η συνάρτηση θεωρείται περιττή. Αυτό σημαίνει ότι η συμμετρία πηγαίνει σε σχέση με την αρχή των συντεταγμένων. Αν τουλάχιστον μία ανισότητα αποτύχει, λαμβάνουμε μια συνάρτηση γενικής μορφής.

Η εκπλήρωση της ισότητας y (- x) = y (x) δείχνει ότι η συνάρτηση είναι άρτια. Κατά την κατασκευή, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι θα υπάρχει συμμετρία ως προς το O y.

Για την επίλυση της ανισότητας, χρησιμοποιούνται διαστήματα αύξησης και μείωσης με τις συνθήκες f "(x) ≥ 0 και f" (x) ≤ 0, αντίστοιχα.

Ορισμός 1

Σταθερά σημείαείναι σημεία που μηδενίζουν την παράγωγο.

Κρίσιμα σημείαείναι εσωτερικά σημεία από το πεδίο όπου η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

Κατά τη λήψη μιας απόφασης, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη τα ακόλουθα σημεία:

• για τα υπάρχοντα διαστήματα αύξησης και μείωσης της ανισότητας της μορφής f "(x) > 0, τα κρίσιμα σημεία δεν περιλαμβάνονται στη λύση.
• Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση ορίζεται χωρίς πεπερασμένη παράγωγο πρέπει να περιλαμβάνονται στα διαστήματα αύξησης και μείωσης (για παράδειγμα, y \u003d x 3, όπου το σημείο x \u003d 0 καθορίζει τη συνάρτηση, η παράγωγος έχει την τιμή του άπειρου σε αυτό το σημείο, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 περιλαμβάνεται στο διάστημα αύξησης).
• για την αποφυγή διαφωνιών προτείνεται η χρήση μαθηματικής βιβλιογραφίας, η οποία προτείνεται από το Υπουργείο Παιδείας.

Η συμπερίληψη κρίσιμων σημείων στα διαστήματα αύξησης και μείωσης σε περίπτωση που ικανοποιούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός 2

Για προσδιορίζοντας τα διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, είναι απαραίτητο να βρεθεί:

• παράγωγο;
• κρίσιμα σημεία?
• σπάστε το πεδίο ορισμού με τη βοήθεια κρίσιμων σημείων σε διαστήματα.
• προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου σε καθένα από τα διαστήματα, όπου + είναι αύξηση και - μείωση.

Παράδειγμα 3

Βρείτε την παράγωγο στον τομέα f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Λύση

Για να λύσετε χρειάζεστε:

• βρείτε σταθερά σημεία, αυτό το παράδειγμα έχει x = 0 ;
• βρείτε τα μηδενικά του παρονομαστή, το παράδειγμα παίρνει την τιμή μηδέν στο x = ± 1 2 .

Εκθέτουμε σημεία στον αριθμητικό άξονα για να προσδιορίσουμε την παράγωγο σε κάθε διάστημα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πάρετε οποιοδήποτε σημείο από το διάστημα και να κάνετε έναν υπολογισμό. Στο θετικό αποτέλεσμαστο γράφημα, απεικονίζουμε +, που σημαίνει αύξηση της συνάρτησης, και - σημαίνει μείωσή της.

Για παράδειγμα, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, που σημαίνει ότι το πρώτο διάστημα στα αριστερά έχει σύμβολο +. Σκεφτείτε τον αριθμό γραμμή.

Απάντηση:

• υπάρχει μια αύξηση στη συνάρτηση στο διάστημα - ∞ ; - 1 2 και (- 1 2 ; 0 ] ;
• υπάρχει μείωση στο διάστημα [ 0 ; 1 2) και 1 2 ; +∞ .

Στο διάγραμμα, χρησιμοποιώντας + και -, απεικονίζονται η θετικότητα και η αρνητικότητα της συνάρτησης και τα βέλη υποδεικνύουν μείωση και αύξηση.

Τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι τα σημεία όπου ορίζεται η συνάρτηση και μέσω των οποίων η παράγωγος αλλάζει πρόσημο.

Παράδειγμα 4

Αν εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου x \u003d 0, τότε η τιμή της συνάρτησης σε αυτό είναι f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Όταν το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από + σε - και διέρχεται από το σημείο x \u003d 0, τότε το σημείο με συντεταγμένες (0; 0) θεωρείται το μέγιστο σημείο. Όταν το πρόσημο αλλάξει από - σε +, παίρνουμε το ελάχιστο σημείο.

Η κυρτότητα και η κοιλότητα προσδιορίζονται με την επίλυση ανισώσεων της μορφής f "" (x) ≥ 0 και f "" (x) ≤ 0 . Λιγότερο συχνά χρησιμοποιούν το όνομα διόγκωση προς τα κάτω αντί για κοιλότητα και διόγκωση προς τα πάνω αντί για διόγκωση.

Ορισμός 3

Για προσδιορίζοντας τα κενά κοιλότητας και κυρτότηταςαπαραίτητη:

• βρείτε τη δεύτερη παράγωγο?
• Να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης της δεύτερης παραγώγου.
• σπάστε το πεδίο ορισμού από τα σημεία που εμφανίζονται σε διαστήματα.
• προσδιορίστε το πρόσημο του κενού.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο από το πεδίο ορισμού.

Λύση

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Βρίσκουμε τα μηδενικά του αριθμητή και του παρονομαστή, όπου, χρησιμοποιώντας το παράδειγμά μας, έχουμε ότι τα μηδενικά του παρονομαστή x = ± 1 2

Τώρα πρέπει να βάλετε σημεία στην αριθμητική γραμμή και να προσδιορίσετε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου από κάθε διάστημα. Το καταλαβαίνουμε

Απάντηση:

• η συνάρτηση είναι κυρτή από το διάστημα - 1 2 ; 12 ;
• η συνάρτηση είναι κοίλη από τα κενά - ∞ ; - 1 2 και 1 2 ; +∞ .

Ορισμός 4

σημείο καμπήςείναι ένα σημείο της μορφής x 0 ; f(x0) . Όταν έχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε όταν διέρχεται από το x 0, η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.

Με άλλα λόγια, αυτό είναι ένα τέτοιο σημείο από το οποίο περνά η δεύτερη παράγωγος και αλλάζει πρόσημο, και στα ίδια τα σημεία είναι ίσο με μηδέν ή δεν υπάρχει. Όλα τα σημεία θεωρούνται το πεδίο της συνάρτησης.

Στο παράδειγμα, φάνηκε ότι δεν υπάρχουν σημεία καμπής, αφού η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο περνώντας από τα σημεία x = ± 1 2 . Αυτοί, με τη σειρά τους, δεν περιλαμβάνονται στον τομέα του ορισμού.

Εύρεση οριζόντιων και πλάγιων ασυμπτωμάτων

Όταν ορίζουμε μια συνάρτηση στο άπειρο, πρέπει να αναζητήσουμε οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.

Ορισμός 5

Πλάγιες ασύμπτωτεςσχεδιάζονται χρησιμοποιώντας γραμμές που δίνονται από την εξίσωση y = k x + b, όπου k = lim x → ∞ f (x) x και b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Για k = 0 και b που δεν ισούται με το άπειρο, βρίσκουμε ότι η πλάγια ασύμπτωτη γίνεται οριζόντιος.

Με άλλα λόγια, οι ασύμπτωτες είναι οι γραμμές που η γραφική παράσταση της συνάρτησης προσεγγίζει στο άπειρο. Αυτό συμβάλλει στην ταχεία κατασκευή του γραφήματος της συνάρτησης.

Εάν δεν υπάρχουν ασύμπτωτες, αλλά η συνάρτηση ορίζεται και στα δύο άπειρα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το όριο της συνάρτησης σε αυτά τα άπειρα για να κατανοήσουμε πώς θα συμπεριφέρεται το γράφημα της συνάρτησης.

Παράδειγμα 6

Ως παράδειγμα, σκεφτείτε το

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

είναι μια οριζόντια ασύμπτωτη. Αφού ερευνήσετε τη λειτουργία, μπορείτε να ξεκινήσετε τη δημιουργία της.

Υπολογισμός της τιμής μιας συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία

Για να γίνει η γραφική παράσταση όσο το δυνατόν πιο ακριβής, συνιστάται να βρείτε πολλές τιμές της συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία.

Παράδειγμα 7

Από το παράδειγμα που εξετάσαμε, είναι απαραίτητο να βρούμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι άρτια, παίρνουμε ότι οι τιμές συμπίπτουν με τις τιμές σε αυτά τα σημεία, δηλαδή παίρνουμε x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Για να προσδιοριστούν τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης, τα σημεία καμπής, τα ενδιάμεσα σημεία, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν ασύμπτωτες. Για βολικό προσδιορισμό, καθορίζονται διαστήματα αύξησης, μείωσης, κυρτότητας, κοιλότητας. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε γραμμές γραφήματος μέσα από τα σημειωμένα σημεία, τα οποία θα σας επιτρέψουν να πλησιάσετε πιο κοντά στις ασύμπτωτες, ακολουθώντας τα βέλη.

Αυτό ολοκληρώνει την πλήρη μελέτη της συνάρτησης. Υπάρχουν περιπτώσεις κατασκευής κάποιων στοιχειωδών συναρτήσεων για τις οποίες χρησιμοποιούνται γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ένα από τα πιο σημαντικά καθήκοντα του διαφορικού λογισμού είναι η ανάπτυξη γενικών παραδειγμάτων μελέτης της συμπεριφοράς των συναρτήσεων.

Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) είναι συνεχής στο διάστημα και η παράγωγός της είναι θετική ή ίση με 0 στο διάστημα (a, b), τότε το y \u003d f (x) αυξάνεται κατά (f "(x) 0). Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) είναι συνεχής στο τμήμα , και η παράγωγός της είναι αρνητική ή ίση με 0 στο διάστημα (a,b), τότε το y=f(x) μειώνεται κατά (f"( x)0)

Τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση δεν μειώνεται ή αυξάνεται ονομάζονται διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. Η φύση της μονοτονίας μιας συνάρτησης μπορεί να αλλάξει μόνο σε εκείνα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία αλλάζει το πρόσημο της πρώτης παραγώγου. Τα σημεία στα οποία η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης εξαφανίζεται ή διακόπτεται ονομάζονται κρίσιμα σημεία.

Θεώρημα 1 (1η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη άκρου).

Έστω η συνάρτηση y=f(x) να οριστεί στο σημείο x 0 και έστω μια γειτονιά δ>0 τέτοια ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο τμήμα , διαφοροποιήσιμη στο διάστημα (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , και η παράγωγός του διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Τότε αν στα x 0 -δ, x 0) και (x 0, x 0 + δ) τα πρόσημα της παραγώγου είναι διαφορετικά, τότε το x 0 είναι ακραίο σημείο και αν ταιριάζουν, τότε το x 0 δεν είναι ακραίο σημείο . Επιπλέον, εάν, όταν διέρχεται από το σημείο x0, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (στα αριστερά του x 0, εκτελείται f "(x)> 0, τότε το x 0 είναι το μέγιστο σημείο· εάν η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από το μείον στο συν (στα δεξιά του x 0 εκτελείται από το f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία ονομάζονται ακραία σημεία της συνάρτησης και τα μέγιστα και ελάχιστα της συνάρτησης ονομάζονται ακραίες τιμές της.

Θεώρημα 2 (απαραίτητο κριτήριο για τοπικό άκρο).

Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει άκρο στο ρεύμα x=x 0, τότε είτε f'(x 0)=0 είτε f'(x 0) δεν υπάρχει.
Στα ακραία σημεία μιας διαφορίσιμης συνάρτησης, η εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox.

Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ένα άκρο:

1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
2) Βρείτε κρίσιμα σημεία, δηλ. σημεία όπου η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος είναι μηδέν ή δεν υπάρχει.
3) Εξετάστε τη γειτονιά καθενός από τα σημεία και εξετάστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά αυτού του σημείου.
4) Προσδιορίστε τις συντεταγμένες των ακραίων σημείων, για αυτήν την τιμή των κρίσιμων σημείων, αντικαταστήστε τη συνάρτηση αυτή. Χρησιμοποιώντας επαρκείς ακραίες συνθήκες, βγάλτε τα κατάλληλα συμπεράσματα.

Παράδειγμα 18. Διερευνήστε τη συνάρτηση y=x 3 -9x 2 +24x

Λύση.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Εξισώνοντας την παράγωγο με το μηδέν, βρίσκουμε x 1 =2, x 2 =4. Σε αυτή την περίπτωση, η παράγωγος ορίζεται παντού. Ως εκ τούτου, εκτός από τα δύο σημεία που βρέθηκαν, δεν υπάρχουν άλλα κρίσιμα σημεία.
3) Το πρόσημο της παραγώγου y "=3(x-2)(x-4) αλλάζει ανάλογα με το διάστημα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Όταν διέρχεται από το σημείο x=2, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, και κατά τη διέλευση από το σημείο x=4 - από μείον στο συν.
4) Στο σημείο x=2, η συνάρτηση έχει μέγιστο y max =20 και στο σημείο x=4 - ελάχιστο y min =16.

Θεώρημα 3. (2η επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη ακρότατου).

Έστω f "(x 0) και f "" (x 0) υπάρχουν στο σημείο x 0. Τότε αν f "" (x 0)> 0, τότε x 0 είναι το ελάχιστο σημείο, και αν f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Στο τμήμα, η συνάρτηση y \u003d f (x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη (τουλάχιστον) ή τη μεγαλύτερη (το πολύ) τιμή είτε στα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης που βρίσκονται στο διάστημα (a; b) είτε στα άκρα του τμήματος.

Ο αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνεχούς συνάρτησης y=f(x) στο τμήμα:

1) Βρείτε το f "(x).
2) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει f "(x) = 0 ή f" (x) - και επιλέξτε από αυτά αυτά που βρίσκονται μέσα στο τμήμα.
3) Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης y \u003d f (x) στα σημεία που λαμβάνονται στην παράγραφο 2), καθώς και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε το μεγαλύτερο και το μικρότερο από αυτά: είναι, αντίστοιχα, τα μεγαλύτερα ( για τη μεγαλύτερη) και τη μικρότερη (για τη μικρότερη) τιμές συναρτήσεων στο τμήμα .

Παράδειγμα 19. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης y=x 3 -3x 2 -45+225 στο τμήμα .

1) Έχουμε y "=3x 2 -6x-45 στο τμήμα
2) Η παράγωγος y" υπάρχει για όλα τα x. Ας βρούμε τα σημεία όπου y"=0; παίρνουμε:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Να υπολογίσετε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Μόνο το σημείο x=5 ανήκει στο τμήμα. Η μεγαλύτερη από τις τιμές της συνάρτησης που βρέθηκαν είναι 225 και η μικρότερη είναι ο αριθμός 50. Άρα, στο max = 225, στο max = 50.

Διερεύνηση συνάρτησης κυρτότητας

Το σχήμα δείχνει τα γραφήματα δύο συναρτήσεων. Το πρώτο από αυτά είναι γυρισμένο με μια διόγκωση προς τα πάνω, το δεύτερο - με μια διόγκωση προς τα κάτω.

Η συνάρτηση y=f(x) είναι συνεχής στο τμήμα και διαφορίσιμη στο διάστημα (a;b), ονομάζεται κυρτή προς τα πάνω (κάτω) σε αυτό το τμήμα, εάν για το axb η γραφική παράσταση της δεν βρίσκεται υψηλότερη (όχι χαμηλότερη) από την εφαπτομένη σχεδιασμένο σε οποιοδήποτε σημείο M 0 (x 0 ;f(x 0)), όπου axb.

Θεώρημα 4. Έστω η συνάρτηση y=f(x) να έχει δεύτερη παράγωγο σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο x του τμήματος και να είναι συνεχής στα άκρα αυτού του τμήματος. Τότε αν η ανισότητα f""(x)0 ικανοποιείται στο διάστημα (a;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω στο τμήμα ; αν η ανισότητα f""(x)0 ικανοποιείται στο διάστημα (а;b), τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω στο .

Θεώρημα 5. Αν η συνάρτηση y=f(x) έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα (a;b) και αν αλλάξει πρόσημο όταν διέρχεται από το σημείο x 0 , τότε το M(x 0 ;f(x 0)) είναι ένα σημείο καμπής.

Κανόνας για την εύρεση σημείων καμπής:

1) Βρείτε σημεία όπου η f""(x) δεν υπάρχει ή εξαφανίζεται.
2) Εξετάστε το σύμβολο f""(x) αριστερά και δεξιά από κάθε σημείο που βρίσκεται στο πρώτο βήμα.
3) Με βάση το Θεώρημα 4, βγάλτε ένα συμπέρασμα.

Παράδειγμα 20. Να βρείτε ακραία σημεία και σημεία καμπής της γραφικής παράστασης συνάρτησης y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Έχουμε f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Προφανώς, f"(x)=0 για x 1 =0, x 2 =1. Η παράγωγος, όταν διέρχεται από το σημείο x=0, αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, και όταν περνά από το σημείο x=1, δεν αλλάζει πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι x=0 είναι το ελάχιστο σημείο (y min =12), και δεν υπάρχει άκρο στο σημείο x=1. Στη συνέχεια, βρίσκουμε . Η δεύτερη παράγωγος εξαφανίζεται στα σημεία x 1 =1, x 2 =1/3. Τα πρόσημα της δεύτερης παραγώγου αλλάζουν ως εξής: Στην ακτίνα (-∞;) έχουμε f""(x)>0, στο διάστημα (;1) έχουμε f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Επομένως, x= είναι το σημείο καμπής του γραφήματος συνάρτησης (μετάβαση από την κυρτότητα προς τα κάτω στην κυρτότητα προς τα πάνω) και το x=1 είναι επίσης σημείο καμπής (μετάβαση από κυρτότητα προς τα πάνω στην κυρτότητα προς τα κάτω). Αν x=, τότε y= ; αν, τότε x=1, y=13.

Ένας αλγόριθμος για την εύρεση της ασύμπτοτης ενός γραφήματος

I. Αν y=f(x) ως x → a , τότε το x=a είναι κάθετη ασύμπτωτη.
II. Αν y=f(x) ως x → ∞ ή x → -∞ τότε y=A είναι η οριζόντια ασύμπτωτη.
III. Για να βρούμε την πλάγια ασύμπτωτη, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο αλγόριθμο:
1) Υπολογίστε. Αν το όριο υπάρχει και είναι ίσο με b, τότε το y=b είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. αν , τότε μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.
2) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και είναι ίσο με k, τότε πηγαίνετε στο τρίτο βήμα.
3) Υπολογίστε. Αν αυτό το όριο δεν υπάρχει, τότε δεν υπάρχει ασύμπτωτο. αν υπάρχει και ισούται με b, τότε πηγαίνετε στο τέταρτο βήμα.
4) Να γράψετε την εξίσωση της πλάγιας ασύμπτωτης y=kx+b.

Παράδειγμα 21: Βρείτε μια ασύμπτωτη για μια συνάρτηση

1)
2)
3)
4) Η πλάγια ασυμπτωτική εξίσωση έχει τη μορφή

Το σχήμα της μελέτης της συνάρτησης και η κατασκευή του γραφήματος της

I. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
II. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες συντεταγμένων.
III. Βρείτε ασύμπτωτες.
IV. Βρείτε σημεία πιθανού άκρου.
V. Βρείτε κρίσιμα σημεία.
VI. Χρησιμοποιώντας το βοηθητικό σχέδιο, διερευνήστε το πρόσημο της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου. Προσδιορίστε τα εμβαδά αύξησης και μείωσης της συνάρτησης, βρείτε την κατεύθυνση της κυρτότητας της γραφικής παράστασης, τα ακραία σημεία και τα σημεία καμπής.
VII. Κατασκευάστε ένα γράφημα, λαμβάνοντας υπόψη τη μελέτη που έγινε στις παραγράφους 1-6.

Παράδειγμα 22: Σχεδιάστε ένα γράφημα συνάρτησης σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα

Λύση.
I. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών, εκτός από το x=1.
II. Εφόσον η εξίσωση x 2 +1=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Ox, αλλά τέμνει τον άξονα Oy στο σημείο (0; -1).
III. Ας διευκρινίσουμε το ζήτημα της ύπαρξης ασυμπτωτών. Διερευνούμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο σημείο ασυνέχειας x=1. Εφόσον y → ∞ για x → -∞, y → +∞ για x → 1+, τότε η ευθεία x=1 είναι κάθετη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
Αν x → +∞(x → -∞), τότε y → +∞(y → -∞); Επομένως, το γράφημα δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη. Περαιτέρω, από την ύπαρξη ορίων

Λύνοντας την εξίσωση x 2 -2x-1=0, παίρνουμε δύο σημεία ενός πιθανού άκρου:
x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2

V. Για να βρούμε τα κρίσιμα σημεία, υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο:

Εφόσον η f""(x) δεν εξαφανίζεται, δεν υπάρχουν κρίσιμα σημεία.
VI. Ερευνούμε το πρόσημο της πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Πιθανά ακραία σημεία που πρέπει να ληφθούν υπόψη: x 1 =1-√2 και x 2 =1+√2, διαιρέστε την περιοχή ύπαρξης της συνάρτησης σε διαστήματα (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) και (1+√2;+∞).

Σε καθένα από αυτά τα διαστήματα, η παράγωγος διατηρεί το πρόσημά της: στο πρώτο - συν, στο δεύτερο - μείον, στο τρίτο - συν. Η ακολουθία των σημείων της πρώτης παραγώγου θα γραφεί ως εξής: +, -, +.
Παίρνουμε ότι η συνάρτηση στο (-∞;1-√2) αυξάνεται, στο (1-√2;1+√2) μειώνεται και στο (1+√2;+∞) αυξάνεται ξανά. Ακραία σημεία: μέγιστο στο x=1-√2, επιπλέον f(1-√2)=2-2√2 ελάχιστο στο x=1+√2, επιπλέον f(1+√2)=2+2√2. Στο (-∞;1) το γράφημα είναι κυρτό προς τα πάνω και στο (1;+∞) - προς τα κάτω.
VII Ας κάνουμε έναν πίνακα με τις τιμές που λαμβάνονται

VIII Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζουμε ένα σκίτσο του γραφήματος της συνάρτησης

Εδώ και αρκετό καιρό, στο TheBat (δεν είναι ξεκάθαρο για ποιο λόγο), η ενσωματωμένη βάση δεδομένων πιστοποιητικών για SSL έπαψε να λειτουργεί σωστά.

Κατά τον έλεγχο της ανάρτησης, εμφανίζεται ένα σφάλμα:

Άγνωστο πιστοποιητικό CA
Ο διακομιστής δεν παρουσίασε πιστοποιητικό ρίζας στη συνεδρία και το αντίστοιχο πιστοποιητικό ρίζας δεν βρέθηκε στο βιβλίο διευθύνσεων.
Αυτή η σύνδεση δεν μπορεί να είναι μυστική. Σας παρακαλούμε
επικοινωνήστε με τον διαχειριστή του διακομιστή σας.

Και προσφέρεται μια επιλογή απαντήσεων - ΝΑΙ / ΟΧΙ. Και έτσι κάθε φορά που πυροβολείτε αλληλογραφία.

Λύση

Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να αντικαταστήσετε το πρότυπο υλοποίησης S/MIME και TLS με το Microsoft CryptoAPI στο TheBat!

Εφόσον χρειαζόταν να συγχωνεύσω όλα τα αρχεία σε ένα, πρώτα μετέτρεψα όλα τα αρχεία doc σε ένα ενιαίο αρχείο pdf (χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα Acrobat) και στη συνέχεια το μετέφερα στο fb2 μέσω ενός διαδικτυακού μετατροπέα. Μπορείτε επίσης να μετατρέψετε αρχεία μεμονωμένα. Οι μορφές μπορεί να είναι απολύτως οποιαδήποτε (πηγή) και doc, και jpg, ακόμα και αρχείο zip!

Το όνομα του ιστότοπου αντιστοιχεί στην ουσία:) Online Photoshop.

Ενημέρωση Μάιος 2015

Βρήκα άλλο ένα υπέροχο site! Ακόμα πιο βολικό και λειτουργικό για τη δημιουργία ενός εντελώς αυθαίρετου κολάζ! Αυτός ο ιστότοπος είναι http://www.fotor.com/ru/collage/. Χρήση για την υγεία. Και θα το χρησιμοποιήσω μόνος μου.

Αντιμέτωποι στη ζωή με την επισκευή ηλεκτρικών εστιών. Έκανα ήδη πολλά πράγματα, έμαθα πολλά, αλλά κατά κάποιο τρόπο είχα λίγη σχέση με τα πλακάκια. Ήταν απαραίτητο να αντικατασταθούν οι επαφές στους ρυθμιστές και τους καυστήρες. Προέκυψε το ερώτημα - πώς να προσδιορίσετε τη διάμετρο του καυστήρα στην ηλεκτρική κουζίνα;

Η απάντηση αποδείχθηκε απλή. Δεν χρειάζεται να μετρήσετε τίποτα, μπορείτε να προσδιορίσετε ήρεμα με το μάτι τι μέγεθος χρειάζεστε.

Ο μικρότερος καυστήραςείναι 145 χιλιοστά (14,5 εκατοστά)

Μεσαίος καυστήραςείναι 180 χιλιοστά (18 εκατοστά).

Και τέλος τα περισσότερα μεγάλος καυστήραςείναι 225 χιλιοστά (22,5 εκατοστά).

Αρκεί να προσδιορίσετε το μέγεθος με το μάτι και να καταλάβετε ποια διάμετρο χρειάζεστε έναν καυστήρα. Όταν δεν το ήξερα αυτό, ήμουν στα ύψη με αυτά τα μεγέθη, δεν ήξερα πώς να μετρήσω, σε ποια άκρη να πλοηγηθώ κ.λπ. Τώρα είμαι σοφός :) Ελπίζω να σε βοήθησε και εσένα!

Στη ζωή μου αντιμετώπισα ένα τέτοιο πρόβλημα. Νομίζω ότι δεν είμαι ο μόνος.

Σήμερα σας προσκαλούμε να εξερευνήσετε και να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης μαζί μας. Αφού μελετήσετε προσεκτικά αυτό το άρθρο, δεν θα χρειαστεί να ιδρώνετε για μεγάλο χρονικό διάστημα για να ολοκληρώσετε αυτό το είδος εργασίας. Δεν είναι εύκολο να εξερευνήσετε και να δημιουργήσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, η εργασία είναι ογκώδης, απαιτεί μέγιστη προσοχή και ακρίβεια των υπολογισμών. Για να διευκολύνουμε την αντίληψη του υλικού, θα μελετήσουμε σταδιακά την ίδια λειτουργία, θα εξηγήσουμε όλες τις ενέργειες και τους υπολογισμούς μας. Καλώς ήρθατε στον εκπληκτικό και συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών! Πηγαίνω!

Τομέα

Για να εξερευνήσετε και να σχεδιάσετε μια συνάρτηση, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς ορισμούς. Η συνάρτηση είναι μια από τις βασικές (βασικές) έννοιες στα μαθηματικά. Αντικατοπτρίζει την εξάρτηση μεταξύ πολλών μεταβλητών (δύο, τρεις ή περισσότερες) με αλλαγές. Η συνάρτηση δείχνει επίσης την εξάρτηση των συνόλων.

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο μεταβλητές που έχουν ένα συγκεκριμένο εύρος μεταβολών. Άρα, το y είναι συνάρτηση του x, με την προϋπόθεση ότι κάθε τιμή της δεύτερης μεταβλητής αντιστοιχεί σε μία τιμή της δεύτερης. Σε αυτή την περίπτωση, η μεταβλητή y είναι εξαρτημένη και ονομάζεται συνάρτηση. Συνηθίζεται να λέμε ότι οι μεταβλητές x και y βρίσκονται σε Για μεγαλύτερη σαφήνεια αυτής της εξάρτησης, δημιουργείται ένα γράφημα της συνάρτησης. Τι είναι ένα γράφημα συνάρτησης; Αυτό είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων, όπου κάθε τιμή του x αντιστοιχεί σε μία τιμή του y. Τα γραφήματα μπορεί να είναι διαφορετικά - μια ευθεία γραμμή, υπερβολή, παραβολή, ημιτονοειδής και ούτω καθεξής.

Ένα γράφημα συνάρτησης δεν μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς εξερεύνηση. Σήμερα θα μάθουμε πώς να διεξάγουμε έρευνα και να σχεδιάζουμε ένα γράφημα συνάρτησης. Είναι πολύ σημαντικό να κρατάτε σημειώσεις κατά τη διάρκεια της μελέτης. Έτσι θα είναι πολύ πιο εύκολο να αντιμετωπίσετε το έργο. Το πιο βολικό σχέδιο μελέτης:

1. Τομέα.
2. Συνέχεια.
3. Ζυγά η μονά.
4. Περιοδικότης.
5. Ασύμπτωτοι.
6. Μηδενικά.
7. Σταθερότητα.
8. Αύξουσα και καθοδική.
9. Ακρα.
10. Κυρτότητα και κοιλότητα.

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο σημείο. Ας βρούμε τον τομέα ορισμού, δηλαδή σε ποια διαστήματα υπάρχει η συνάρτησή μας: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές του x, δηλαδή ο τομέας ορισμού είναι R. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως xОR.

Συνέχεια

Τώρα θα εξερευνήσουμε τη συνάρτηση ασυνέχειας. Στα μαθηματικά, ο όρος «συνέχεια» εμφανίστηκε ως αποτέλεσμα της μελέτης των νόμων της κίνησης. Τι είναι το άπειρο; Χώρος, χρόνος, ορισμένες εξαρτήσεις (ένα παράδειγμα είναι η εξάρτηση των μεταβλητών S και t σε προβλήματα κίνησης), η θερμοκρασία του θερμαινόμενου αντικειμένου (νερό, τηγάνι, θερμόμετρο κ.λπ.), μια συνεχής γραμμή (δηλαδή, ένα που μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να το αφαιρέσετε από το μολύβι του φύλλου).

Ένα γράφημα θεωρείται συνεχές αν δεν σπάσει κάποια στιγμή. Ένα από τα πιο προφανή παραδείγματα ενός τέτοιου γραφήματος είναι ένα ημιτονοειδές κύμα, το οποίο μπορείτε να δείτε στην εικόνα σε αυτήν την ενότητα. Η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο x0 εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις:

• μια συνάρτηση ορίζεται σε ένα δεδομένο σημείο.
• τα δεξιά και τα αριστερά όρια σε ένα σημείο είναι ίσα.
• το όριο είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x0.

Εάν δεν πληρούται τουλάχιστον μία προϋπόθεση, η λειτουργία λέγεται ότι διακόπτεται. Και τα σημεία στα οποία διακόπτεται η συνάρτηση ονομάζονται σημεία διακοπής. Ένα παράδειγμα συνάρτησης που θα "σπάσει" όταν εμφανίζεται γραφικά είναι: y=(x+4)/(x-3). Επιπλέον, το y δεν υπάρχει στο σημείο x = 3 (αφού είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν).

Στη συνάρτηση που μελετάμε (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) όλα αποδείχθηκαν απλά, αφού το γράφημα θα είναι συνεχές.

Ζυγά μονά

Τώρα εξετάστε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Ας ξεκινήσουμε με μια μικρή θεωρία. Μια άρτια συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη f (-x) = f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x (από το εύρος τιμών). Παραδείγματα είναι:

• ενότητα x (το γράφημα μοιάζει με τσαμπουκά, η διχοτόμος του πρώτου και του δεύτερου τετάρτου του γραφήματος).
• x τετράγωνο (παραβολή);
• συνημίτονο x (συνημιτονικό κύμα).

Σημειώστε ότι όλα αυτά τα γραφήματα είναι συμμετρικά όταν τα βλέπουμε ως προς τον άξονα y.

Τι ονομάζεται λοιπόν περιττή συνάρτηση; Αυτές είναι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την συνθήκη: f (-x) \u003d - f (x) για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής x. Παραδείγματα:

• υπερβολή;
• κυβική παραβολή?
• ημιτονοειδής?
• εφαπτομένη και ούτω καθεξής.

Σημειώστε ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς το σημείο (0:0), δηλαδή την αρχή. Με βάση όσα ειπώθηκαν σε αυτήν την ενότητα του άρθρου, μια άρτια και περιττή συνάρτηση πρέπει να έχει την ιδιότητα: το x ανήκει στο σύνολο ορισμού και το -x επίσης.

Ας εξετάσουμε τη συνάρτηση για ισοτιμία. Μπορούμε να δούμε ότι δεν ταιριάζει σε καμία από τις περιγραφές. Επομένως, η συνάρτησή μας δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

Ασύμπτωτοι

Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ασύμπτωτη είναι μια καμπύλη που είναι όσο το δυνατόν πιο κοντά στο γράφημα, δηλαδή η απόσταση από κάποιο σημείο τείνει στο μηδέν. Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων:

• κατακόρυφη, δηλαδή παράλληλη στον άξονα y.
• οριζόντια, δηλαδή παράλληλα με τον άξονα x.
• λοξός.

Όσον αφορά τον πρώτο τύπο, αυτές οι γραμμές θα πρέπει να αναζητηθούν σε ορισμένα σημεία:

• χάσμα;
• άκρα του τομέα.

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση είναι συνεχής και το πεδίο ορισμού είναι το R. Επομένως, δεν υπάρχουν κάθετες ασύμπτωτες.

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει μια οριζόντια ασύμπτωτη, η οποία πληροί την ακόλουθη απαίτηση: αν το x τείνει στο άπειρο ή μείον το άπειρο, και το όριο είναι ίσο με έναν ορισμένο αριθμό (για παράδειγμα, a). Στην περίπτωση αυτή, y=a είναι η οριζόντια ασύμπτωτη. Δεν υπάρχουν οριζόντιες ασύμπτωτες στη συνάρτηση που μελετάμε.

Μια λοξή ασύμπτωτη υπάρχει μόνο εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Τότε μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: y=kx+b. Και πάλι, στην περίπτωσή μας δεν υπάρχουν πλάγιες ασύμπτωτες.

Συναρτήσεις μηδενικά

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε το γράφημα της συνάρτησης για μηδενικά. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι η εργασία που σχετίζεται με την εύρεση των μηδενικών μιας συνάρτησης εμφανίζεται όχι μόνο στη μελέτη και κατασκευή ενός γραφήματος συνάρτησης, αλλά και ως ανεξάρτητη εργασία και ως τρόπος επίλυσης ανισώσεων. Μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα ή να χρησιμοποιήσετε μαθηματικούς συμβολισμούς.

Η εύρεση αυτών των τιμών θα σας βοηθήσει να σχεδιάσετε τη συνάρτηση με μεγαλύτερη ακρίβεια. Με απλά λόγια, το μηδέν της συνάρτησης είναι η τιμή της μεταβλητής x, στην οποία y \u003d 0. Αν ψάχνετε για τα μηδενικά μιας συνάρτησης σε ένα γράφημα, τότε θα πρέπει να προσέξετε τα σημεία όπου το γράφημα τέμνεται με τον άξονα x.

Για να βρείτε τα μηδενικά της συνάρτησης, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Αφού κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς, παίρνουμε την εξής απάντηση:

σημάδι σταθερότητας

Το επόμενο στάδιο στη μελέτη και κατασκευή μιας συνάρτησης (γραφικά) είναι η εύρεση διαστημάτων σταθερότητας πρόσημου. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να προσδιορίσουμε σε ποια διαστήματα η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή και σε ποια διαστήματα παίρνει αρνητική τιμή. Τα μηδενικά των συναρτήσεων που βρέθηκαν στην προηγούμενη ενότητα θα μας βοηθήσουν να το κάνουμε αυτό. Άρα, πρέπει να δημιουργήσουμε μια ευθεία γραμμή (ξεχωριστά από το γράφημα) και να κατανείμουμε τα μηδενικά της συνάρτησης κατά μήκος της με τη σωστή σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο. Τώρα πρέπει να προσδιορίσετε ποια από τα διαστήματα που προκύπτουν έχει σύμβολο "+" και ποιο έχει "-".

Στην περίπτωσή μας, η συνάρτηση παίρνει θετική τιμή στα διαστήματα:

• από 1 έως 4?
• από το 9 στο άπειρο.

Αρνητική σημασία:

• από μείον άπειρο έως 1.
• από 4 έως 9.

Αυτό είναι αρκετά εύκολο να προσδιοριστεί. Αντικαταστήστε οποιονδήποτε αριθμό από το διάστημα στη συνάρτηση και δείτε ποιο πρόσημο είναι η απάντηση (μείον ή συν).

Λειτουργία Αύξουσα και Φθίνουσα

Για να εξερευνήσουμε και να δημιουργήσουμε μια συνάρτηση, πρέπει να ξέρουμε πού θα αυξηθεί το γράφημα (ανεβαίνει στο Oy) και πού θα πέσει (έρπουσα προς τα κάτω κατά μήκος του άξονα y).

Η συνάρτηση αυξάνεται μόνο εάν η μεγαλύτερη τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή του y. Δηλαδή, το x2 είναι μεγαλύτερο από το x1 και το f(x2) είναι μεγαλύτερο από το f(x1). Και παρατηρούμε ένα εντελώς αντίθετο φαινόμενο σε μια φθίνουσα συνάρτηση (όσο περισσότερο x, τόσο λιγότερο y). Για να προσδιορίσετε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να βρείτε τα ακόλουθα:

• πεδίο εφαρμογής (το έχουμε ήδη)
• παράγωγο (στην περίπτωσή μας: 1/3(3x^2-28x+49);
• λύστε την εξίσωση 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Μετά τους υπολογισμούς, παίρνουμε το αποτέλεσμα:

Παίρνουμε: η συνάρτηση αυξάνεται στα διαστήματα από το μείον άπειρο στο 7/3 και από το 7 στο άπειρο και μειώνεται στο διάστημα από 7/3 στο 7.

Ακρα

Η συνάρτηση που διερευνήθηκε y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) είναι συνεχής και υπάρχει για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής x. Το ακραίο σημείο δείχνει το μέγιστο και το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης. Στην περίπτωσή μας, δεν υπάρχουν, κάτι που απλοποιεί πολύ το έργο κατασκευής. Διαφορετικά, βρίσκονται επίσης χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση παραγώγου. Μετά την εύρεση, μην ξεχάσετε να τα σημειώσετε στο διάγραμμα.

Κυρτότητα και κοιλότητα

Συνεχίζουμε να μελετάμε τη συνάρτηση y(x). Τώρα πρέπει να το ελέγξουμε για κυρτότητα και κοιλότητα. Οι ορισμοί αυτών των εννοιών είναι αρκετά δύσκολο να γίνουν αντιληπτοί, είναι καλύτερο να αναλύσουμε τα πάντα με παραδείγματα. Για τη δοκιμή: μια συνάρτηση είναι κυρτή αν είναι μη φθίνουσα συνάρτηση. Συμφωνώ, αυτό είναι ακατανόητο!

Πρέπει να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης δεύτερης τάξης. Παίρνουμε: y=1/3(6x-28). Τώρα εξισώνουμε τη δεξιά πλευρά με το μηδέν και λύνουμε την εξίσωση. Απάντηση: x=14/3. Βρήκαμε το σημείο καμπής, δηλαδή το σημείο όπου το γράφημα αλλάζει από κυρτό σε κοίλο ή αντίστροφα. Στο διάστημα από μείον άπειρο έως 14/3, η συνάρτηση είναι κυρτή και από 14/3 έως συν άπειρο, είναι κοίλη. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να σημειωθεί ότι το σημείο καμπής στο γράφημα πρέπει να είναι ομαλό και απαλό, δεν πρέπει να υπάρχουν αιχμηρές γωνίες.

Ορισμός πρόσθετων σημείων

Το καθήκον μας είναι να εξερευνήσουμε και να σχεδιάσουμε το γράφημα συνάρτησης. Έχουμε ολοκληρώσει τη μελέτη, δεν θα είναι δύσκολο να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση τώρα. Για πιο ακριβή και λεπτομερή αναπαραγωγή μιας καμπύλης ή μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων, μπορείτε να βρείτε πολλά βοηθητικά σημεία. Είναι πολύ εύκολο να τα υπολογίσεις. Για παράδειγμα, παίρνουμε x=3, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και βρίσκουμε y=4. Ή x=5 και y=-5 και ούτω καθεξής. Μπορείτε να πάρετε όσους επιπλέον πόντους χρειάζεστε για να δημιουργήσετε. Βρίσκονται τουλάχιστον 3-5 από αυτά.

Κατασκευή διαγράμματος

Χρειάστηκε να διερευνήσουμε τη συνάρτηση (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Όλα τα απαραίτητα σημάδια κατά τη διάρκεια των υπολογισμών έγιναν στο επίπεδο συντεταγμένων. Το μόνο που μένει να γίνει είναι να φτιάξουμε ένα γράφημα, δηλαδή να συνδέσουμε όλα τα σημεία μεταξύ τους. Η σύνδεση των κουκκίδων είναι ομαλή και ακριβής, αυτό είναι θέμα δεξιότητας - λίγη εξάσκηση και το πρόγραμμά σας θα είναι τέλειο.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.