Εκτελέστε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης και δημιουργήστε ένα γράφημα. Πλήρες Παράδειγμα Έρευνας Συναρτήσεων στο Διαδίκτυο

Εντολή

Βρείτε το εύρος της συνάρτησης. Για παράδειγμα, η συνάρτηση sin(x) ορίζεται σε ολόκληρο το διάστημα από -∞ έως +∞ και η συνάρτηση 1/x ορίζεται από -∞ έως +∞, εκτός από το σημείο x = 0.

Ορίστε περιοχές συνέχειας και σημεία διακοπής. Συνήθως μια συνάρτηση είναι συνεχής στον ίδιο τομέα όπου ορίζεται. Για να ανιχνεύσετε ασυνέχειες, πρέπει να υπολογίσετε πότε το όρισμα προσεγγίζει μεμονωμένα σημεία εντός του τομέα ορισμού. Για παράδειγμα, η συνάρτηση 1/x τείνει στο άπειρο όταν x→0+ και στο μείον άπειρο όταν x→0-. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο x = 0 έχει ασυνέχεια δεύτερου είδους.
Εάν τα όρια στο σημείο ασυνέχειας είναι πεπερασμένα αλλά όχι ίσα, τότε πρόκειται για ασυνέχεια πρώτου είδους. Αν είναι ίσες, τότε η συνάρτηση θεωρείται συνεχής, αν και δεν ορίζεται σε απομονωμένο σημείο.

Βρείτε τις κάθετες ασύμπτωτες, εάν υπάρχουν. Οι υπολογισμοί από το προηγούμενο βήμα θα σας βοηθήσουν εδώ, αφού η κατακόρυφη ασύμπτωτη βρίσκεται σχεδόν πάντα στο σημείο ασυνέχειας του δεύτερου είδους. Ωστόσο, μερικές φορές δεν εξαιρούνται μεμονωμένα σημεία από το πεδίο ορισμού, αλλά ολόκληρα διαστήματα σημείων και, στη συνέχεια, οι κάθετες ασύμπτωτες μπορούν να εντοπιστούν στα άκρα αυτών των διαστημάτων.

Ελέγξτε εάν η συνάρτηση έχει ειδικές ιδιότητες: ζυγές, περιττές και περιοδικές.
Η συνάρτηση θα είναι άρτια αν για οποιοδήποτε x στον τομέα f(x) = f(-x). Για παράδειγμα, οι cos(x) και x^2 είναι ζυγές συναρτήσεις.

Η περιοδικότητα είναι μια ιδιότητα που λέει ότι υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός Τ που ονομάζεται περίοδος, ο οποίος για κάθε x f(x) = f(x + T). Για παράδειγμα, όλες οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη) είναι περιοδικές.

Βρείτε σημεία. Για να το κάνετε αυτό, υπολογίστε την παράγωγο της δεδομένης συνάρτησης και βρείτε αυτές τις τιμές x όπου εξαφανίζεται. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x^3 + 9x^2 -15 έχει μια παράγωγο g(x) = 3x^2 + 18x που εξαφανίζεται στο x = 0 και x = -6.

Για να προσδιορίσετε ποια ακραία σημεία είναι μέγιστα και ποια ελάχιστα, ανιχνεύστε την αλλαγή στα πρόσημα της παραγώγου στα μηδενικά που βρέθηκαν. Η g(x) αλλάζει πρόσημο από συν στο x = -6 και πίσω από μείον σε συν στο x = 0. Επομένως, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστο στο πρώτο σημείο και ελάχιστο στο δεύτερο.

Έτσι, βρήκατε επίσης περιοχές μονοτονίας: η f(x) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα -∞;-6, μειώνεται μονοτονικά στο -6;0 και αυξάνεται ξανά στο 0;+∞.

Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο. Οι ρίζες της θα δείχνουν πού θα είναι κυρτή η γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης και πού θα είναι κοίλη. Για παράδειγμα, η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης f(x) θα είναι h(x) = 6x + 18. Εξαφανίζεται στο x = -3, αλλάζοντας το πρόσημά της από μείον σε συν. Επομένως, το γράφημα f (x) πριν από αυτό το σημείο θα είναι κυρτό, μετά από αυτό - κοίλο, και αυτό το ίδιο το σημείο θα είναι ένα σημείο καμπής.

Μια συνάρτηση μπορεί να έχει άλλες ασύμπτωτες, εκτός από κάθετες, αλλά μόνο εάν ο τομέας ορισμού της περιλαμβάνει . Για να τα βρείτε, υπολογίστε το όριο της f(x) όταν x→∞ ή x→-∞. Αν είναι πεπερασμένο, τότε έχετε βρει την οριζόντια ασύμπτωτη.

Η πλάγια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία της μορφής kx + b. Για να βρείτε το k, υπολογίστε το όριο της f(x)/x ως x→∞. Να βρείτε το b - όριο (f(x) – kx) με το ίδιο x→∞.

Η μελέτη της συνάρτησης πραγματοποιείται σύμφωνα με ένα σαφές σχήμα και απαιτεί από τον μαθητή να έχει στέρεη γνώση βασικών μαθηματικών εννοιών όπως το πεδίο ορισμού και τιμών, η συνέχεια της συνάρτησης, η ασύμπτωτη, τα ακραία σημεία, η ισοτιμία, η περιοδικότητα, και τα λοιπά. Ο μαθητής πρέπει να διαφοροποιεί ελεύθερα συναρτήσεις και να λύνει εξισώσεις, που μερικές φορές είναι πολύ περίπλοκες.

Δηλαδή, αυτή η εργασία δοκιμάζει ένα σημαντικό επίπεδο γνώσης, κάθε κενό στο οποίο θα γίνει εμπόδιο για την απόκτηση της σωστής λύσης. Ιδιαίτερα συχνά προκύπτουν δυσκολίες με την κατασκευή γραφημάτων συναρτήσεων. Αυτό το λάθος τραβάει αμέσως το μάτι του δασκάλου και μπορεί να καταστρέψει πολύ τον βαθμό σας, ακόμα κι αν όλα τα άλλα έγιναν σωστά. Εδώ μπορείτε να βρείτε εργασίες για τη μελέτη της συνάρτησης στο διαδίκτυο: μελέτη παραδειγμάτων, λήψη λύσεων, παραγγελία εργασιών.

Διερευνήστε μια συνάρτηση και μια γραφική παράσταση: Παραδείγματα και λύσεις στο Διαδίκτυο

Έχουμε ετοιμάσει για εσάς πολλές έτοιμες μελέτες χαρακτηριστικών, τόσο με πληρωμή στο βιβλίο λύσεων όσο και δωρεάν στην ενότητα Παραδείγματα Έρευνας Χαρακτηριστικών. Με βάση αυτές τις λυμένες εργασίες, θα μπορείτε να εξοικειωθείτε λεπτομερώς με τη μεθοδολογία για την εκτέλεση τέτοιων εργασιών, κατ' αναλογία, να εκτελέσετε τη δική σας έρευνα.

Προσφέρουμε έτοιμα παραδείγματαπλήρης έρευνα και γραφική απεικόνιση της συνάρτησης των πιο κοινών τύπων: πολυώνυμα, κλασματικές-ορθολογικές, ανορθολογικές, εκθετικές, λογαριθμικές, τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Κάθε λυμένο πρόβλημα συνοδεύεται από ένα έτοιμο γράφημα με επιλεγμένα βασικά σημεία, ασύμπτωτες, μέγιστα και ελάχιστα, η λύση πραγματοποιείται σύμφωνα με τον αλγόριθμο για τη μελέτη της συνάρτησης.

Τα λυμένα παραδείγματα, σε κάθε περίπτωση, θα σας βοηθήσουν καλά, καθώς καλύπτουν τους πιο δημοφιλείς τύπους συναρτήσεων. Σας προσφέρουμε εκατοντάδες ήδη λυμένα προβλήματα, αλλά, όπως γνωρίζετε, υπάρχει άπειρος αριθμός μαθηματικών συναρτήσεων στον κόσμο και οι δάσκαλοι είναι εξαιρετικοί ειδικοί στο να εφευρίσκουν όλο και πιο περίπλοκες εργασίες για φτωχούς μαθητές. Λοιπόν, αγαπητοί μαθητές, η εξειδικευμένη βοήθεια δεν θα σας βλάψει.

Επίλυση προβλημάτων για τη μελέτη μιας συνάρτησης κατά παραγγελία

Σε αυτήν την περίπτωση, οι συνεργάτες μας θα σας προσφέρουν μια άλλη υπηρεσία - πλήρη μελέτηδιαδικτυακές λειτουργίεςνα παραγγείλετε. Η εργασία θα ολοκληρωθεί για εσάς σύμφωνα με όλες τις απαιτήσεις για τον αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, κάτι που θα ευχαριστήσει πολύ τον δάσκαλό σας.

Θα κάνουμε μια πλήρη μελέτη της συνάρτησης για εσάς: θα βρούμε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών, θα εξετάσουμε τη συνέχεια και την ασυνέχεια, θα ορίσουμε την ισοτιμία, θα ελέγξουμε τη συνάρτησή σας για περιοδικότητα, θα βρούμε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων . Και, φυσικά, περαιτέρω με τη βοήθεια του διαφορικού λογισμού: θα βρούμε ασύμπτωτες, θα υπολογίσουμε ακρότατα, σημεία καμπής και θα φτιάξουμε το ίδιο το γράφημα.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε στους υπαλλήλους μας πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.