გაუსის მეთოდით წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის წესი. გაუსის მეთოდი დუმებისთვის: ლუკმის ადვილად ამოხსნა

ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გამოსავალი (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელი ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.

2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ რიცხვზე ნულის გარდა.

5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსნებს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (სვლა ზემოდან ქვევით. ). მაგალითად, ამ ტიპის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვცვლით შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) ვყოფთ უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე ტრანსფორმირებულ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას პირველის გარდა, უცნობი x 1-ით, არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნულები.

3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე ვაგრძელებთ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" მომდევნო განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის არავინ, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ ძალაუნებურად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა "მინუს ერთი", რომელიც შესანიშნავად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).

2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო სვლას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". შეგახსენებთ, საპირისპირო მოძრაობა მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0,4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამგვარად გადაჭრით, გამოთვლებში არასოდეს დაიბნევით და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.

წარმატებებს გისურვებთ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი დიმიტრი აისტრახანოვი.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გაუსის მეთოდი მარტივია!რატომ? ცნობილმა გერმანელმა მათემატიკოსმა იოჰან კარლ ფრიდრიხ გაუსმა სიცოცხლეშივე მიიღო აღიარება ყველა დროის უდიდეს მათემატიკოსად, გენიოსად და მეტსახელად კი „მათემატიკის მეფე“. და ყველაფერი გენიალური, როგორც მოგეხსენებათ, მარტივია!სხვათა შორის, ფულში არა მარტო მწოვრები, არამედ გენიოსებიც ხვდებიან - გაუსის პორტრეტი 10 გერმანული მარკის კუპიურზე იყო გაშლილი (ევროს შემოღებამდე) და გაუსი ჯერ კიდევ იდუმალ ეღიმება გერმანელებს ჩვეულებრივი საფოსტო მარკებიდან.

გაუსის მეთოდი მარტივია იმით, რომ საკმარისია მეხუთე კლასის მოსწავლის ცოდნა მის დასაუფლებლად. უნდა შეეძლოს დამატება და გამრავლება!შემთხვევითი არ არის, რომ უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდს მასწავლებლები ხშირად განიხილავენ სკოლის მათემატიკურ არჩევით გაკვეთილებზე. პარადოქსია, მაგრამ გაუსის მეთოდი უდიდეს სირთულეებს უქმნის სტუდენტებს. არაფერია გასაკვირი - ეს ყველაფერი მეთოდოლოგიას ეხება და მე შევეცდები ხელმისაწვდომი ფორმით გითხრათ მეთოდის ალგორითმის შესახებ.

პირველ რიგში, ჩვენ მცირედით სისტემატიზაციას ვუწევთ ცოდნას წრფივი განტოლებების სისტემების შესახებ. წრფივი განტოლებათა სისტემას შეუძლია:

1) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) არ აქვს გადაწყვეტილებები (იყოს შეუთავსებელი).

გაუსის მეთოდი არის ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი გამოსავლის მოსაძებნად ნებისმიერიწრფივი განტოლებათა სისტემები. როგორც გვახსოვს კრამერის წესი და მატრიცის მეთოდიისინი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი მაინცმიგვიყვანეთ პასუხამდე! ამ გაკვეთილზე კვლავ განვიხილავთ გაუსის მეთოდს No1 შემთხვევისთვის (სისტემის ერთადერთი გამოსავალი), სტატია დაცულია No2-3 წერტილების სიტუაციებისთვის. აღვნიშნავ, რომ თავად მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს.

გაკვეთილიდან უმარტივეს სისტემას დავუბრუნდეთ როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?
და ამოხსნას გაუსის მეთოდით.

პირველი ნაბიჯი არის დაწერა გაფართოებული მატრიცული სისტემა:
. რა პრინციპით იწერება კოეფიციენტები, მგონი ყველა ხედავს. მატრიცის შიგნით ვერტიკალურ ხაზს არავითარი მათემატიკური მნიშვნელობა არ აქვს - ეს უბრალოდ გადაკვეთაა დიზაინის გასაადვილებლად.

მითითება :გირჩევთ გახსოვდეთ ვადებიწრფივი ალგებრა. სისტემის მატრიცაარის მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, ამ მაგალითში, სისტემის მატრიცა: . გაფართოებული სისტემის მატრიცაარის სისტემის იგივე მატრიცა პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი, ამ შემთხვევაში: . ნებისმიერ მატრიცას მოკლედ შეიძლება ეწოდოს უბრალოდ მატრიცა.

სისტემის გაფართოებული მატრიცის ჩაწერის შემდეგ აუცილებელია მასთან რამდენიმე მოქმედების შესრულება, რომელსაც ასევე ე.წ. ელემენტარული გარდაქმნები.

არსებობს შემდეგი ელემენტარული გარდაქმნები:

1) სიმებიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები. მაგალითად, განხილულ მატრიცაში შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გადააწყოთ პირველი და მეორე რიგები:

2) თუ მატრიცაში არის (ან გამოჩნდა) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა . ამ მატრიცაში ბოლო სამი მწკრივი პროპორციულია, ამიტომ საკმარისია მხოლოდ ერთი მათგანის დატოვება: .

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა. არ დავხატავ, რა თქმა უნდა, ნულოვანი ხაზი არის ის ხაზი, რომელშიც მხოლოდ ნულები.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება იყოს გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერი ნომრისთვის არანულოვანი. განვიხილოთ, მაგალითად, მატრიცა. აქ მიზანშეწონილია პირველი ხაზი გავყოთ -3-ზე, ხოლო მეორე ხაზი გავამრავლოთ 2-ზე: . ეს ქმედებაძალიან სასარგებლოა, რადგან ამარტივებს მატრიცის შემდგომ ტრანსფორმაციას.

5) ეს ტრანსფორმაცია იწვევს ყველაზე დიდ სირთულეებს, მაგრამ სინამდვილეში არც არაფერია რთული. მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან. განვიხილოთ ჩვენი მატრიცა საწყისიდან საქმის შესწავლა: . პირველ რიგში, მე დეტალურად აღვწერ ტრანსფორმაციას. გავამრავლოთ პირველი რიგი -2-ზე: , და მეორე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე გამრავლებულს: . ახლა პირველი ხაზი შეიძლება დაიყოს "უკან" -2: . როგორც ხედავთ, ხაზი, რომელიც დამატებულია LI – არ შეცვლილა. Ყოველთვის არისხაზი შეიცვალა, რომელსაც დაემატა UT.

პრაქტიკაში, რა თქმა უნდა, ისინი არ ხატავენ ასე დეტალურად, მაგრამ უფრო მოკლედ წერენ:

კიდევ ერთხელ: მეორე ხაზამდე დაამატა პირველი რიგი გამრავლებული -2-ზე. ხაზი ჩვეულებრივ მრავლდება ზეპირად ან მონახაზზე, ხოლო გამოთვლების გონებრივი კურსი დაახლოებით ასეთია:

”მე გადავწერ მატრიცას და თავიდან ვწერ პირველ რიგს: »

პირველი სვეტი ჯერ. ქვემოთ უნდა მივიღო ნული. ამიტომ, ზემოთ მოცემულ ერთეულს ვამრავლებ -2:-ზე და პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 2 + (-2) = 0. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

„ახლა მეორე სვეტი. ზემოთ -1-ჯერ -2: . პირველს ვამატებ მეორე სტრიქონს: 1 + 2 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონზე ვწერ: »

„და მესამე სვეტი. ზემოთ -5-ჯერ -2: . მეორე სტრიქონს ვამატებ პირველ სტრიქონს: -7 + 10 = 3. შედეგს მეორე სტრიქონში ვწერ: »

გთხოვთ, კარგად დაფიქრდეთ ამ მაგალითზე და გაიგოთ თანმიმდევრული გამოთვლის ალგორითმი, თუ ეს გესმით, მაშინ გაუსის მეთოდი პრაქტიკულად "ჯიბეშია". მაგრამ, რა თქმა უნდა, ჩვენ კვლავ ვმუშაობთ ამ ტრანსფორმაციაზე.

ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამოხსნას

! ყურადღება: განიხილება მანიპულაციები ვერ გამოიყენებს, თუ შემოგთავაზებთ დავალებას, სადაც მატრიცები მოცემულია „თვითონ“. მაგალითად, "კლასიკით" მატრიცებიარავითარ შემთხვევაში არ უნდა გადააწყოთ რაიმე მატრიცების შიგნით!

დავუბრუნდეთ ჩვენს სისტემას. ის პრაქტიკულად ნაწილებად არის გატეხილი.

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით შევიყვანოთ იგი საფეხურიანი ხედი:

(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. და კიდევ: რატომ ვამრავლებთ პირველ მწკრივს -2-ზე? იმისათვის, რომ მივიღოთ ნული ბოლოში, რაც ნიშნავს მეორე სტრიქონში ერთი ცვლადის მოშორებას.

(2) გაყავით მეორე რიგი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების მიზანი – გადაიყვანეთ მატრიცა ნაბიჯ ფორმაში: . დავალების დიზაინში ისინი პირდაპირ ხაზს უსვამენ უბრალო ფანქრით"კიბე", ასევე შემოხაზეთ რიცხვები, რომლებიც მდებარეობს "საფეხურებზე". თავად ტერმინი „საფეხურიანი ხედვა“ მთლად თეორიული არ არის; სამეცნიერო და საგანმანათლებლო ლიტერატურაში მას ხშირად უწოდებენ. ტრაპეციული ხედიან სამკუთხა ხედი.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ ექვივალენტიგანტოლების ორიგინალური სისტემა:

ახლა სისტემას საპირისპირო მიმართულებით „გადახვევა“ სჭირდება - ქვემოდან ზევით, ეს პროცესი ე.წ საპირისპირო გაუსის მეთოდი.

ქვედა განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს დასრულებული შედეგი: .

განვიხილოთ სისტემის პირველი განტოლება და ჩაანაცვლეთ მასში უკვე ცნობილი "y" მნიშვნელობა:

განვიხილოთ ყველაზე გავრცელებული სიტუაცია, როდესაც გაუსის მეთოდია საჭირო სამი უცნობის მქონე სამი წრფივი განტოლების სისტემის ამოსახსნელად.

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით:

მოდით დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ახლა მე დაუყოვნებლივ დავხატავ შედეგს, რომელსაც გადაწყვეტის პროცესში მივალთ:

და ვიმეორებ, ჩვენი მიზანია მივიყვანოთ მატრიცა საფეხურზე ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით. სად უნდა დაიწყოს მოქმედება?

პირველ რიგში, გადახედეთ ზედა მარცხენა ნომერს:

თითქმის ყოველთვის აქ უნდა იყოს ერთეული. ზოგადად რომ ვთქვათ, -1 (და ზოგჯერ სხვა რიცხვები) ასევე ჯდება, მაგრამ რატომღაც ტრადიციულად ხდება, რომ ერთეული ჩვეულებრივ იქ არის განთავსებული. როგორ მოვაწყოთ ერთეული? ჩვენ ვუყურებთ პირველ სვეტს - ჩვენ გვაქვს დასრულებული ერთეული! ტრანსფორმაცია პირველი: შეცვალეთ პირველი და მესამე სტრიქონები:

ახლა პირველი ხაზი უცვლელი დარჩება ხსნარის დასრულებამდე. ახლა კარგად.

განყოფილება ზედა მარცხენა მხარეს არის ორგანიზებული. ახლა თქვენ უნდა მიიღოთ ნულები ამ ადგილებში:

ნულები მიიღება მხოლოდ "რთული" ტრანსფორმაციის დახმარებით. პირველ რიგში, საქმე გვაქვს მეორე ხაზთან (2, -1, 3, 13). რა უნდა გაკეთდეს პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად? საჭიროება მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -2-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს -2-ზე: (-2, -4, 2, -18). და ჩვენ თანმიმდევრულად ვახორციელებთ (ისევ გონებრივად ან პროექტზე) დამატებას, მეორე სტრიქონს ვამატებთ პირველ სტრიქონს, უკვე გამრავლებული -2-ზე:

შედეგი იწერება მეორე სტრიქონში:

ანალოგიურად, საქმე გვაქვს მესამე ხაზთან (3, 2, -5, -1). პირველ პოზიციაზე ნულის მისაღებად საჭიროა მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -3-ზე. გონებრივად ან მონახაზზე ვამრავლებთ პირველ სტრიქონს -3-ზე: (-3, -6, 3, -27). და მესამე სტრიქონს ვუმატებთ პირველ სტრიქონს -3-ზე გამრავლებულს:

შედეგი იწერება მესამე სტრიქონში:

პრაქტიკაში, ეს მოქმედებები ჩვეულებრივ შესრულებულია სიტყვიერად და იწერება ერთი ნაბიჯით:

არ არის საჭირო ყველაფრის დათვლა ერთდროულად და ერთდროულად. გამოთვლების თანმიმდევრობა და შედეგების „ჩასმა“. თანმიმდევრულიდა ჩვეულებრივ ასეა: ჯერ გადავწერთ პირველ სტრიქონს და ჩუმად ვიფუჭებით - თანმიმდევრულად და ფრთხილად:


და მე უკვე განვიხილეთ თავად გამოთვლების გონებრივი კურსი ზემოთ.

ამ მაგალითში ამის გაკეთება ადვილია, ჩვენ ვყოფთ მეორე ხაზს -5-ზე (რადგან ყველა რიცხვი იყოფა 5-ზე ნაშთის გარეშე). ამავდროულად, მესამე ხაზს ვყოფთ -2-ზე, რადგან რაც უფრო მცირეა რიცხვი, მით უფრო მარტივია გამოსავალი:

ელემენტარული გარდაქმნების დასკვნით ეტაპზე აქ უნდა მივიღოთ კიდევ ერთი ნული:

Ამისთვის მესამე სტრიქონს ვამატებთ მეორე ხაზს, გამრავლებული -2-ზე:


შეეცადეთ თავად გააანალიზოთ ეს მოქმედება - გონებრივად გაამრავლეთ მეორე ხაზი -2-ზე და შეასრულეთ შეკრება.

ბოლო შესრულებული მოქმედება არის შედეგის ვარცხნილობა, გაყავით მესამე ხაზი 3-ზე.

ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად მიღებული იქნა წრფივი განტოლებების ეკვივალენტური საწყისი სისტემა:

მაგარია.

ახლა ამოქმედდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი. განტოლებები „იხსნება“ ქვემოდან ზევით.

მესამე განტოლებაში ჩვენ უკვე გვაქვს დასრულებული შედეგი:

ვნახოთ მეორე განტოლება: . "ზ"-ის მნიშვნელობა უკვე ცნობილია, ასე რომ:

და ბოლოს, პირველი განტოლება: . "Y" და "Z" ცნობილია, საქმე მცირეა:

უპასუხე:

როგორც არაერთხელ აღინიშნა, განტოლებათა ნებისმიერი სისტემისთვის შესაძლებელია და აუცილებელია ნაპოვნი ამოხსნის შემოწმება, საბედნიეროდ, ეს არ არის რთული და სწრაფი.

მაგალითი 2

ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება, დასრულების ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ თქვენი მოქმედების კურსიშეიძლება არ ემთხვეოდეს ჩემს მოქმედებებს, და ეს არის გაუსის მეთოდის თავისებურება. მაგრამ პასუხები იგივე უნდა იყოს!

მაგალითი 3

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის არავინ, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. Მე გავაკეთე ეს:
(1) პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ ძალაუნებურად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა "მინუს ერთი", რომელიც შესანიშნავად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი ჟესტი: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალეთ მისი ნიშანი).

(2) 5-ზე გამრავლებული პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს.პირველი 3-ზე გამრავლებული მესამე რიგს.

(3) პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში, ეს არის სილამაზისთვის. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

(4) მეორე სტრიქონი გამრავლებული 2-ზე დაემატა მესამე სტრიქონს.

(5) მესამე რიგი იყოფა 3-ზე.

ცუდი ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გაანგარიშების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ მივიღეთ მსგავსი რამ ქვემოთ და, შესაბამისად, , მაშინ დიდი ალბათობით შეიძლება ითქვას, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარული გარდაქმნების დროს.

ჩვენ ვამუხტავთ საპირისპირო მოძრაობას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია უშუალოდ მოცემული მატრიციდან". საპირისპირო მოძრაობა, შეგახსენებთ, მუშაობს ქვემოდან ზევით. დიახ, აქ არის საჩუქარი:

უპასუხე: .

მაგალითი 4

ამოხსენით წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, ის გარკვეულწილად უფრო რთულია. კარგია, თუ ვინმე დაიბნევა. სრული გამოსავალიდა დიზაინის ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს. შენი გამოსავალი შეიძლება განსხვავდებოდეს ჩემისგან.

ბოლო ნაწილში განვიხილავთ გაუსის ალგორითმის ზოგიერთ მახასიათებელს.
პირველი თვისება ის არის, რომ ზოგჯერ ზოგიერთი ცვლადი აკლია სისტემის განტოლებებში, მაგალითად:

როგორ სწორად დავწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა? ამ მომენტზე უკვე ვისაუბრე გაკვეთილზე. კრამერის წესი. მატრიცული მეთოდი. სისტემის გაფართოებულ მატრიცაში გამოტოვებული ცვლადების ნაცვლად ნულებს ვათავსებთ:

სხვათა შორის, ეს საკმაოდ მარტივი მაგალითია, რადგან პირველ სვეტში უკვე არის ერთი ნული და ნაკლები ელემენტარული გარდაქმნებია შესასრულებელი.

მეორე თვისება არის ეს. ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ დავაყენეთ ან –1 ან +1 „საფეხურებზე“. სხვა ნომრები შეიძლება იყოს? ზოგიერთ შემთხვევაში მათ შეუძლიათ. განვიხილოთ სისტემა: .

აქ ზედა მარცხენა "საფეხურზე" გვაქვს დუი. მაგრამ ჩვენ ვამჩნევთ იმ ფაქტს, რომ პირველი სვეტის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე ნაშთის გარეშე - და კიდევ ორზე და ექვსზე. და ზედა მარცხნივ დუსი მოგვწონს! პირველ საფეხურზე თქვენ უნდა შეასრულოთ შემდეგი გარდაქმნები: მეორე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი -1-ზე გამრავლებული; მესამე სტრიქონს დაამატეთ პირველი სტრიქონი გამრავლებული -3-ზე. ამრიგად, ჩვენ მივიღებთ სასურველ ნულებს პირველ სვეტში.

ან კიდევ ასე პირობითი მაგალითი: . აი, მეორე „საფეხურზე“ სამეულიც გვიწყობს, ვინაიდან 12 (ადგილი, სადაც უნდა მივიღოთ ნული) ნაშთების გარეშე იყოფა სამზე. აუცილებელია შემდეგი ტრანსფორმაციის განხორციელება: მესამე სტრიქონს დავუმატოთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული -4-ზე, რის შედეგადაც მიიღება ჩვენთვის საჭირო ნული.

გაუსის მეთოდი უნივერსალურია, მაგრამ არის ერთი თავისებურება. თქვენ შეგიძლიათ თავდაჯერებულად ისწავლოთ როგორ ამოხსნათ სისტემები სხვა მეთოდებით (კრამერის მეთოდი, მატრიცის მეთოდი) სიტყვასიტყვით პირველად - არსებობს ძალიან ხისტი ალგორითმი. მაგრამ იმისათვის, რომ თავი დარწმუნებული იყოთ გაუსის მეთოდში, თქვენ უნდა "აავსოთ ხელი" და გადაჭრათ მინიმუმ 5-10 სისტემა. ამიტომ, თავიდან შეიძლება იყოს დაბნეულობა, შეცდომები გამოთვლებში და ამაში არაფერია უჩვეულო ან ტრაგიკული.

წვიმიანი შემოდგომის ამინდი ფანჯრის მიღმა .... ამიტომ, ყველასთვის მეტი რთული მაგალითიდამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 5

ამოხსენით ოთხი წრფივი განტოლების სისტემა ოთხი უცნობით გაუსის მეთოდით.

პრაქტიკაში ასეთი დავალება არც ისე იშვიათია. ვფიქრობ, ჩაიდანსაც კი, რომელმაც ეს გვერდი დეტალურად შეისწავლა, ესმის ასეთი სისტემის ინტუიციურად გადაჭრის ალგორითმი. ძირითადად იგივე - უბრალოდ მეტი მოქმედება.

გაკვეთილზე განიხილება შემთხვევები, როდესაც სისტემას არ აქვს ამონახსნები (არათანმიმდევრული) ან აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი. აქ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ გაუსის მეთოდის განხილული ალგორითმი.

წარმატებებს გისურვებთ!

გადაწყვეტილებები და პასუხები:

მაგალითი 2: გამოსავალი : მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაფართოებული მატრიცა და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივიყვანოთ იგი საფეხურზე.


შეასრულა ელემენტარული გარდაქმნები:
(1) პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს, გამრავლებული -2-ზე. პირველი ხაზი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ყურადღება!აქ შეიძლება მაცდური იყოს პირველის გამოკლება მესამე სტრიქონიდან, კატეგორიულად არ გირჩევთ გამოკლებას - შეცდომის რისკი მნიშვნელოვნად იზრდება. ჩვენ უბრალოდ ვკეცავთ!
(2) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული -1-ზე). მეორე და მესამე ხაზი გაცვალეს. შენიშვნარომ „საფეხურებზე“ ვკმაყოფილდებით არა მხოლოდ ერთით, არამედ -1-ითაც, რაც კიდევ უფრო მოსახერხებელია.
(3) მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 5-ზე.
(4) შეიცვალა მეორე ხაზის ნიშანი (გამრავლებული -1-ზე). მესამე ხაზი იყოფა 14-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

უპასუხე: .

მაგალითი 4: გამოსავალი : ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

შესრულებული კონვერტაციები:
(1) მეორე სტრიქონი დაემატა პირველ სტრიქონს. ამრიგად, სასურველი ერთეული ორგანიზებულია ზედა მარცხენა "ნაბიჯზე".
(2) 7-ზე გამრავლებული პირველი რიგი დაემატა მეორე რიგს.პირველი 6-ზე გამრავლებული მესამე მწკრივს.

მეორე „ნაბიჯით“ ყველაფერი უარესია , მისთვის "კანდიდატებად" 17 და 23 რიცხვებია და ჩვენ გვჭირდება ან ერთი ან -1. ტრანსფორმაციები (3) და (4) მიმართული იქნება სასურველი ერთეულის მისაღებად

(3) მეორე სტრიქონი დაემატა მესამე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე.
(4) მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -3-ზე, დაემატა მეორე სტრიქონს.
(3) მესამე სტრიქონს დაემატა 4-ზე გამრავლებული მეორე სტრიქონი, მეოთხე სტრიქონს დაემატა -1-ზე გამრავლებული მეორე სტრიქონი.
(4) მეორე ხაზის ნიშანი შეიცვალა. მეოთხე ხაზი იყოფა 3-ზე და მოთავსდა მესამე ხაზის ნაცვლად.
(5) მეოთხე სტრიქონს დაემატა მესამე სტრიქონი, გამრავლებული -5-ზე.

საპირისპირო მოძრაობა:

ნება მიეცეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა, რომელიც უნდა ამოხსნას (იპოვეთ хi უცნობის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც სისტემის თითოეულ განტოლებას ტოლობაში აქცევს).

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემას შეუძლია:

1) არ აქვს გამოსავალი (იყოს შეუთავსებელი).
2) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.
3) გქონდეთ უნიკალური გადაწყვეტა.

როგორც გვახსოვს, კრამერის წესი და მატრიცული მეთოდი შეუფერებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი ან არათანმიმდევრულია. გაუსის მეთოდი – ყველაზე მძლავრი და მრავალმხრივი ინსტრუმენტი ნებისმიერი წრფივი განტოლების სისტემის ამოხსნის საპოვნელად, რომელი ყოველ შემთხვევაშიმიგვიყვანეთ პასუხამდე! მეთოდის ალგორითმი სამივე შემთხვევაში ერთნაირად მუშაობს. თუ კრამერის და მატრიცული მეთოდები მოითხოვს დეტერმინანტების ცოდნას, მაშინ გაუსის მეთოდის გამოყენება მოითხოვს მხოლოდ არითმეტიკული მოქმედებების ცოდნას, რაც მას ხელმისაწვდომს ხდის დაწყებითი სკოლის მოსწავლეებისთვისაც კი.

გაფართოებული მატრიცის გარდაქმნები ( ეს არის სისტემის მატრიცა - მატრიცა, რომელიც შედგება მხოლოდ უცნობის კოეფიციენტებისგან, პლუს თავისუფალი ტერმინების სვეტი)წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემები გაუსის მეთოდით:

1) თან ტროკიმატრიცები შეუძლია გადაწყობაადგილები.

2) თუ მატრიცაში არის (ან არის) პროპორციული (როგორც განსაკუთრებული შემთხვევა - იდენტური) რიგები, მაშინ ის მოჰყვება წაშლამატრიციდან, ყველა ეს მწკრივი ერთის გარდა.

3) თუ გარდაქმნების დროს მატრიცაში გამოჩნდა ნულოვანი მწკრივი, მაშინ ის ასევე მოჰყვება წაშლა.

4) მატრიცის მწკრივი შეიძლება გამრავლება (გაყოფა)ნებისმიერ რიცხვზე ნულის გარდა.

5) მატრიცის მწკრივამდე შეგიძლიათ დაამატეთ კიდევ ერთი სტრიქონი, გამრავლებული რიცხვით, განსხვავდება ნულიდან.

გაუსის მეთოდში ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის განტოლებათა სისტემის ამონახსნებს.

გაუსის მეთოდი შედგება ორი ეტაპისგან:

1. "პირდაპირი მოძრაობა" - ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის გაფართოებული მატრიცა "სამკუთხა" საფეხურზე: ძირითადი დიაგონალის ქვემოთ მდებარე გაფართოებული მატრიცის ელემენტები ნულის ტოლია (სვლა ზემოდან ქვევით. ). მაგალითად, ამ ტიპის:

ამისათვის შეასრულეთ შემდეგი ნაბიჯები:

1) განვიხილოთ წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება და კოეფიციენტი x 1-ზე უდრის K. მეორე, მესამე და ა.შ. განტოლებებს ვცვლით შემდეგნაირად: თითოეულ განტოლებას (კოეფიციენტები უცნობისთვის, თავისუფალი ტერმინების ჩათვლით) ვყოფთ უცნობი x 1-ის კოეფიციენტზე, რომელიც არის თითოეულ განტოლებაში და ვამრავლებთ K-ზე. ამის შემდეგ, პირველს გამოვაკლებთ მეორე განტოლებას ( კოეფიციენტები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის). მეორე განტოლებაში x 1-ზე ვიღებთ კოეფიციენტს 0. მესამე ტრანსფორმირებულ განტოლებას გამოვაკლებთ პირველ განტოლებას, ასე რომ სანამ ყველა განტოლებას პირველის გარდა, უცნობი x 1-ით, არ ექნება კოეფიციენტი 0.

2) გადადით შემდეგ განტოლებაზე. მოდით ეს იყოს მეორე განტოლება და კოეფიციენტი x 2-ზე უდრის M-ს. ყველა "ქვემდებარე" განტოლებით ვაგრძელებთ ზემოთ აღწერილი განტოლების მოქმედებას. ამრიგად, უცნობის ქვეშ x 2 ყველა განტოლებაში იქნება ნულები.

3) გადავდივართ შემდეგ განტოლებაზე და ასე ვაგრძელებთ, სანამ არ დარჩება ბოლო უცნობი და გარდაქმნილი თავისუფალი წევრი.

1. გაუსის მეთოდის „უკუ სვლა“ არის წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიღება (სვლა „ქვემოდან ზევით“). ბოლო "ქვედა" განტოლებიდან ვიღებთ ერთ პირველ ამონახს - უცნობი x n. ამისათვის ჩვენ ვხსნით ელემენტარულ განტოლებას A * x n \u003d B. ზემოთ მოცემულ მაგალითში x 3 \u003d 4. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი მნიშვნელობას "ზედა" მომდევნო განტოლებაში და ვხსნით მას შემდეგი უცნობის მიმართ. მაგალითად, x 2 - 4 \u003d 1, ე.ი. x 2 \u003d 5. და ასე შემდეგ სანამ არ ვიპოვით ყველა უცნობს.

მაგალითი.

ჩვენ ვხსნით წრფივი განტოლებების სისტემას გაუსის მეთოდით, როგორც ზოგიერთი ავტორი გვირჩევს:

ჩვენ ვწერთ სისტემის გაფართოებულ მატრიცას და ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით მივყავართ მას საფეხურზე:

ჩვენ ვუყურებთ ზედა მარცხენა "ნაბიჯს". იქ უნდა გვქონდეს ერთეული. პრობლემა ისაა, რომ პირველ სვეტში საერთოდ არ არის არავინ, ასე რომ რიგების გადალაგებით ვერაფერი გადაწყდება. ასეთ შემთხვევებში, დანაყოფი უნდა იყოს ორგანიზებული ელემენტარული ტრანსფორმაციის გამოყენებით. ეს ჩვეულებრივ შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე გზით. მოდით გავაკეთოთ ეს ასე:
1 ნაბიჯი . პირველ სტრიქონს ვამატებთ მეორე სტრიქონს, გამრავლებული -1-ზე. ანუ ძალაუნებურად გავამრავლეთ მეორე სტრიქონი -1-ზე და შევასრულეთ პირველი და მეორე სტრიქონების შეკრება, ხოლო მეორე ხაზი არ შეცვლილა.

ახლა ზედა მარცხენა "მინუს ერთი", რომელიც შესანიშნავად გვერგება. ვისაც სურს მიიღოს +1, შეუძლია შეასრულოს დამატებითი მოქმედება: გაამრავლოს პირველი ხაზი -1-ზე (შეცვალოს მისი ნიშანი).

2 ნაბიჯი . მეორე სტრიქონს დაემატა 5-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი, მესამე სტრიქონს დაემატა 3-ზე გამრავლებული პირველი სტრიქონი.

3 ნაბიჯი . პირველი ხაზი გამრავლდა -1-ზე, პრინციპში ეს სილამაზისთვისაა. შეიცვალა მესამე ხაზის ნიშანიც და გადავიდა მეორე ადგილზე, რითაც მეორე „საფეხურზე გვქონდა სასურველი ერთეული.

4 ნაბიჯი . მესამე სტრიქონს დაამატეთ მეორე სტრიქონი, გამრავლებული 2-ზე.

5 ნაბიჯი . მესამე ხაზი იყოფა 3-ზე.

ნიშანი, რომელიც მიუთითებს გამოთვლების შეცდომაზე (ნაკლებად ხშირად ბეჭდვითი შეცდომა) არის "ცუდი" ქვედა ხაზი. ანუ, თუ ქვემოთ მივიღებთ რაღაცას (0 0 11 | 23) და, შესაბამისად, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, მაშინ დიდი ალბათობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ შეცდომა დაშვებულია ელემენტარულ პერიოდში. გარდაქმნები.

ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო სვლას, მაგალითების დიზაინში, თავად სისტემა ხშირად არ იწერება და განტოლებები "მიღებულია პირდაპირ მოცემული მატრიციდან". შეგახსენებთ, საპირისპირო მოძრაობა მუშაობს "ქვემოდან ზემოდან". ამ მაგალითში საჩუქარი აღმოჩნდა:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, შესაბამისად x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

უპასუხე:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

მოდით გადავჭრათ იგივე სისტემა შემოთავაზებული ალგორითმის გამოყენებით. ვიღებთ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

მეორე განტოლება გავყოთ 5-ზე და მესამე 3-ზე. მივიღებთ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

გავამრავლოთ მეორე და მესამე განტოლება 4-ზე, მივიღებთ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

გამოვაკლოთ პირველი განტოლება მეორე და მესამე განტოლებებს, გვაქვს:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

მესამე განტოლება გავყოთ 0,64-ზე:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

გავამრავლოთ მესამე განტოლება 0,4-ზე

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

გამოვაკლოთ მეორე განტოლება მესამე განტოლებას, მივიღებთ "ნაბიჯ" გაძლიერებულ მატრიცას:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ამრიგად, მას შემდეგ, რაც გამოთვლების პროცესში დაგროვდა შეცდომა, ვიღებთ x 3 \u003d 0.96, ან დაახლოებით 1.

x 2 \u003d 3 და x 1 \u003d -1.

ამგვარად გადაჭრით, გამოთვლებში არასოდეს დაიბნევით და, მიუხედავად გაანგარიშების შეცდომებისა, მიიღებთ შედეგს.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნის ეს მეთოდი ადვილად პროგრამირებადია და არ ითვალისწინებს უცნობის კოეფიციენტების სპეციფიკურ მახასიათებლებს, რადგან პრაქტიკაში (ეკონომიკურ და ტექნიკურ გამოთვლებში) საქმე გვაქვს არა მთელი რიცხვების კოეფიციენტებთან.

წარმატებებს გისურვებთ! შევხვდებით კლასში! დამრიგებელი.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ერთ-ერთი უმარტივესი გზაა დეტერმინანტების გამოთვლაზე დაფუძნებული მეთოდი ( კრამერის წესი). მისი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ გამოსავალი, განსაკუთრებით მოსახერხებელია იმ შემთხვევებში, როდესაც სისტემის კოეფიციენტები არ არის რიცხვები, არამედ გარკვეული სახის პარამეტრები. მისი ნაკლი არის გამოთვლების სიმძიმე განტოლებების დიდი რაოდენობის შემთხვევაში, უფრო მეტიც, კრამერის წესი პირდაპირ არ ვრცელდება სისტემებზე, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობის რაოდენობას. ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ გამოიყენება გაუსის მეთოდი.

წრფივი განტოლებათა სისტემებს, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების ერთნაირი ნაკრები ეწოდება ექვივალენტი. აშკარაა, რომ წრფივი სისტემის ამონახსნების სიმრავლე არ შეიცვლება, თუ რომელიმე განტოლება ერთმანეთს ცვლის, ან თუ ერთ-ერთი განტოლება გამრავლდება რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ან თუ ერთი განტოლება დაემატება მეორეს.

გაუსის მეთოდი (უცნობების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი) მდგომარეობს იმაში, რომ ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით სისტემა მცირდება ეკვივალენტურ ეტაპობრივ სისტემამდე. პირველი, პირველი განტოლების დახმარებით, xსისტემის ყველა შემდგომი განტოლების 1. შემდეგ, მე-2 განტოლების გამოყენებით, ჩვენ აღმოვფხვრით xმე-3 განტოლების 2 და ყველა შემდგომი განტოლება. ამ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი, გრძელდება მანამ, სანამ მხოლოდ ერთი უცნობი დარჩება ბოლო განტოლების მარცხენა მხარეს x n. ამის შემდეგ მზადდება გაუსიანი რევერსი– ბოლო განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ x n; ამის შემდეგ, ამ მნიშვნელობის გამოყენებით, ჩვენ ვიანგარიშებთ ბოლო განტოლებიდან x n-1 და ა.შ. ბოლოს ვიპოვით x 1 პირველი განტოლებიდან.

მოსახერხებელია გაუსის გარდაქმნების განხორციელება გარდაქმნების შესრულებით არა თავად განტოლებებით, არამედ მათი კოეფიციენტების მატრიცებით. განვიხილოთ მატრიცა:

დაურეკა გაფართოებული მატრიცული სისტემა,რადგან სისტემის მთავარი მატრიცის გარდა იგი მოიცავს თავისუფალი წევრების სვეტს. გაუსის მეთოდი ეფუძნება სისტემის ძირითადი მატრიცის სამკუთხა ფორმამდე მიყვანას (ან ტრაპეციულ ფორმას არაკვადრატული სისტემების შემთხვევაში) სისტემის გაფართოებული მატრიცის ელემენტარული მწკრივის გარდაქმნების (!) გამოყენებით.

მაგალითი 5.1.ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდით:

გამოსავალი. მოდით ჩამოვწეროთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა და პირველი რიგის გამოყენებით, ამის შემდეგ დავაყენებთ დანარჩენ ელემენტებს ნულზე:

ჩვენ ვიღებთ ნულებს პირველი სვეტის მე-2, მე-3 და მე-4 სტრიქონებში:

ახლა ჩვენ გვჭირდება ყველა ელემენტი მეორე სვეტის მე-2 რიგის ქვემოთ, რომ იყოს ნულის ტოლი. ამისათვის შეგიძლიათ მეორე სტრიქონი გაამრავლოთ -4/7-ზე და დაამატოთ მე-3 სტრიქონი. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან საქმე არ გვქონდეს, ჩვენ შევქმნით ერთეულს მეორე სვეტის მე-2 რიგში და მხოლოდ

ახლა, სამკუთხა მატრიცის მისაღებად, საჭიროა მე-3 სვეტის მეოთხე რიგის ელემენტის ნულოვანი გამორთვა, ამისთვის შეგიძლიათ მესამე მწკრივი გაამრავლოთ 8/54-ზე და დაამატოთ ის მეოთხეზე. თუმცა, იმისთვის, რომ წილადებთან არ გვქონდეს საქმე, გავცვლით მე-3 და მე-4 სტრიქონებს და მე-3 და მე-4 სვეტებს და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავაყენებთ მითითებულ ელემენტს. გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც სვეტები გადანაწილებულია, შესაბამისი ცვლადები იცვლება და ეს უნდა დაიმახსოვროთ; სხვა ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებით (შეკრება და რიცხვით გამრავლება) შეუძლებელია!

ბოლო გამარტივებული მატრიცა შეესაბამება განტოლებათა სისტემას, რომელიც ექვივალენტურია ორიგინალის:

აქედან, გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსის გამოყენებით, ვხვდებით მეოთხე განტოლებიდან x 3 = -1; მესამედან x 4 = -2, მეორედან x 2 = 2 და პირველი განტოლებიდან x 1 = 1. მატრიცის სახით პასუხი იწერება როგორც

ჩვენ განვიხილეთ შემთხვევა, როდესაც სისტემა განსაზღვრულია, ე.ი. როდესაც გამოსავალი მხოლოდ ერთია. ვნახოთ, რა მოხდება, თუ სისტემა არათანმიმდევრული ან განუსაზღვრელია.

მაგალითი 5.2.გამოიკვლიეთ სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაძლიერებულ მატრიცას

ჩვენ ვწერთ განტოლებათა გამარტივებულ სისტემას:

აი, ბოლო განტოლებაში აღმოჩნდა, რომ 0=4, ე.ი. წინააღმდეგობა. ამიტომ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ე.ი. ის არის შეუთავსებელი. à

მაგალითი 5.3.შეისწავლეთ და ამოხსენით სისტემა გაუსის მეთოდის გამოყენებით:

გამოსავალი. ჩვენ ვწერთ და გარდაქმნით სისტემის გაფართოებულ მატრიცას:

გარდაქმნების შედეგად ბოლო სტრიქონში მხოლოდ ნულები მიიღეს. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებების რაოდენობა შემცირდა ერთით:

ამრიგად, გამარტივების შემდეგ რჩება ორი განტოლება, ხოლო ოთხი უცნობი, ე.ი. ორი უცნობი „დამატებითი“. დაე, "ზედმეტი", ან, როგორც ამბობენ, უფასო ცვლადები, იქნება x 3 და xოთხი . მაშინ

ვარაუდით x 3 = 2ადა x 4 = ბ, ვიღებთ x 2 = 1–ადა x 1 = 2ბ–ა; ან მატრიცის სახით

ამ გზით დაწერილ ამოხსნას ეწოდება გენერალი, ვინაიდან, პარამეტრების მიცემით ადა ბსხვადასხვა მნიშვნელობით, ყველაფრის აღწერა შეგიძლია შესაძლო გადაწყვეტილებებისისტემები. ა

1. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

1.1 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის კონცეფცია

განტოლებათა სისტემა არის მდგომარეობა, რომელიც შედგება რამდენიმე განტოლების ერთდროულად შესრულებაში რამდენიმე ცვლადში. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა (შემდგომში SLAE), რომელიც შეიცავს m განტოლებებს და n უცნობებს არის სისტემის ფორმა:

სადაც a ij რიცხვებს სისტემის კოეფიციენტები ეწოდება, b i რიცხვები თავისუფალი წევრებია, აიჯდა ბ ი(i=1,…, m; b=1,…, n) არის ზოგიერთი ცნობილი რიცხვი და x 1,…, x n- უცნობი. კოეფიციენტების აღნიშვნაში აიჯპირველი ინდექსი i აღნიშნავს განტოლების რაოდენობას, ხოლო მეორე ინდექსი j არის უცნობის რიცხვი, რომელზეც დგას ეს კოეფიციენტი. ექვემდებარება პოვნის რიცხვს x n. მოსახერხებელია ასეთი სისტემის დაწერა კომპაქტური მატრიცის სახით: AX=B.აქ A არის სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა, რომელსაც ეწოდება მთავარი მატრიცა;

არის უცნობი xj-ის სვეტის ვექტორი.
არის bi-ს თავისუფალი წევრების სვეტის ვექტორი.

A * X მატრიცების ნამრავლი განისაზღვრება, რადგან A მატრიცაში იმდენი სვეტია, რამდენი მწკრივია X მატრიცაში (n ცალი).

სისტემის გაფართოებული მატრიცა არის სისტემის A მატრიცა, რომელსაც ავსებს თავისუფალი ტერმინების სვეტი

1.2 წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის რიცხვების მოწესრიგებული სიმრავლე (ცვლადების მნიშვნელობები), ცვლადების ნაცვლად მათი ჩანაცვლებისას, სისტემის თითოეული განტოლება იქცევა ნამდვილ ტოლობაში.

სისტემის ამონახსნი არის უცნობი მნიშვნელობები x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, რომელთა ჩანაცვლებაც სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლებად. სისტემის ნებისმიერი ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს მატრიცა-სვეტის სახით

განტოლებათა სისტემას ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს ამონახსნები.

ერთობლივ სისტემას ეწოდება განსაზღვრული, თუ მას აქვს უნიკალური ამონახსნი და განუსაზღვრელი, თუ მას აქვს ერთზე მეტი ამონახსნი. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში, მის თითოეულ გადაწყვეტას სისტემის კონკრეტული გადაწყვეტა ეწოდება. ყველა კონკრეტული ამოხსნის ერთობლიობას ზოგადი ამონახსნები ეწოდება.

სისტემის ამოხსნა ნიშნავს იმის გარკვევას, არის თუ არა ის თანმიმდევრული თუ არათანმიმდევრული. თუ სისტემა თავსებადია, იპოვეთ იგი საერთო გადაწყვეტილება.

ორ სისტემას ეწოდება ეკვივალენტი (ექვივალენტი), თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ზოგადი ამონახსნები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სისტემები ექვივალენტურია, თუ ერთი მათგანის ყველა გამოსავალი არის მეორე გამოსავალი და პირიქით.

ტრანსფორმაცია, რომლის გამოყენებაც სისტემას აქცევს ახალი სისტემა, ორიგინალის ეკვივალენტს, ექვივალენტურ ან ეკვივალენტურ ტრანსფორმაციას უწოდებენ. შემდეგი გარდაქმნები შეიძლება იყოს ეკვივალენტური გარდაქმნების მაგალითები: სისტემის ორი განტოლების შეცვლა, ორი უცნობის შეცვლა ყველა განტოლების კოეფიციენტებთან ერთად, სისტემის ნებისმიერი განტოლების ორივე ნაწილის გამრავლება არანულოვანი რიცხვით.

წრფივი განტოლებათა სისტემას ეწოდება ერთგვაროვანი, თუ ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია:

ერთგვაროვანი სისტემა ყოველთვის თანმიმდევრულია, რადგან x1=x2=x3=…=xn=0 არის სისტემის ამონახსნი. ამ გადაწყვეტას ეწოდება ნულოვანი ან ტრივიალური.

2. გაუსის ელიმინაციის მეთოდი

2.1 გაუსის ელიმინაციის მეთოდის არსი

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის კლასიკური მეთოდია უცნობის თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი - გაუსის მეთოდი(მას ასევე უწოდებენ გაუსის ელიმინაციის მეთოდს). ეს არის ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი, როდესაც, ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით, განტოლებათა სისტემა მცირდება საფეხურიანი (ან სამკუთხა) ფორმის ეკვივალენტურ სისტემამდე, საიდანაც ყველა სხვა ცვლადი თანმიმდევრულად გვხვდება, დაწყებული ბოლო (რიცხვის მიხედვით) ცვლადები.

გაუსის გადაწყვეტის პროცესი შედგება ორი ეტაპისგან: წინ და უკან სვლები.

1. პირდაპირი მოძრაობა.

პირველ ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული პირდაპირი მოძრაობა, როდესაც მწკრივებზე ელემენტარული გარდაქმნების საშუალებით სისტემა მიდის ეტაპობრივად ან სამკუთხა ფორმისან დაადგინეთ, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია. კერძოდ, მატრიცის პირველი სვეტის ელემენტებს შორის არჩეულია არანულოვანი ერთი, იგი გადაინაცვლებს უმაღლეს პოზიციაზე სტრიქონების გადაცვლის გზით, ხოლო პერმუტაციის შემდეგ მიღებული პირველი მწკრივი აკლდება დარჩენილ მწკრივებს, ამრავლებს მას. მნიშვნელობა უდრის თითოეული ამ მწკრივის პირველი ელემენტის შეფარდებას პირველი რიგის პირველ ელემენტთან, რითაც ნულდება მის ქვემოთ სვეტი.

მითითებული გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ, პირველი რიგი და პირველი სვეტი გონებრივად გადაიკვეთება და გრძელდება მანამ, სანამ არ დარჩება ნულოვანი ზომის მატრიცა. თუ პირველი სვეტის ელემენტებს შორის ზოგიერთ გამეორებაზე არ მოიძებნა არა ნულოვანი, მაშინ გადადით შემდეგ სვეტზე და შეასრულეთ მსგავსი ოპერაცია.

პირველ ეტაპზე (წინ გაშვება) სისტემა მცირდება საფეხურზე (კერძოდ, სამკუთხა) ფორმამდე.

ქვემოთ მოყვანილი სისტემა არის ეტაპობრივი:

,

aii კოეფიციენტებს სისტემის მთავარ (წამყვან) ელემენტებს უწოდებენ.

(თუ a11=0, გადააწყვეთ მატრიცის რიგები ისე, რომ ა 11 არ იყო 0-ის ტოლი. ეს ყოველთვის შესაძლებელია, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში მატრიცა შეიცავს ნულოვან სვეტს, მისი განმსაზღვრელი უდრის ნულს და სისტემა არათანმიმდევრულია).

ჩვენ გარდაქმნით სისტემას უცნობი x1-ის აღმოფხვრით ყველა განტოლებაში პირველის გარდა (სისტემის ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით). ამისათვის გაამრავლეთ პირველი განტოლების ორივე მხარე

და ვამატებთ ტერმინით სისტემის მეორე განტოლებას (ან მეორე განტოლებას ვაკლებთ ტერმინით პირველს გამრავლებული ). შემდეგ ვამრავლებთ პირველი განტოლების ორივე ნაწილს და ვამატებთ სისტემის მესამე განტოლებას (ან პირველს ვაკლებთ მესამე წევრზე გამრავლებულს). ამრიგად, ჩვენ ზედიზედ ვამრავლებთ პირველ რიგს რიცხვზე და ვამატებთ მე-მე ხაზი, ამისთვის i= 2, 3, …,ნ.

ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ ვიღებთ ექვივალენტურ სისტემას:

- კოეფიციენტების ახალი მნიშვნელობები უცნობი და თავისუფალი ტერმინებისთვის სისტემის ბოლო m-1 განტოლებებში, რომლებიც განისაზღვრება ფორმულებით:

ამრიგად, პირველ საფეხურზე ნადგურდება ყველა კოეფიციენტი პირველი წამყვანი ელემენტის a 11-ის ქვეშ

0, მეორე ნაბიჯი ანადგურებს ელემენტებს მეორე წამყვანი ელემენტის ქვეშ a 22 (1) (თუ 22 (1) 0) და ა.შ. ამ პროცესის შემდგომი გაგრძელებით, ჩვენ საბოლოოდ შევამცირებთ თავდაპირველ სისტემას სამკუთხა სისტემამდე (m-1) საფეხურზე.

თუ სისტემის ეტაპობრივ ფორმამდე დაყვანის პროცესში გამოჩნდება ნულოვანი განტოლებები, ე.ი. 0=0 ფორმის ტოლობები, ისინი უგულებელყოფილია. თუ არსებობს ფორმის განტოლება

ეს მიუთითებს სისტემის შეუთავსებლობაზე.

ეს ასრულებს გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს.

2. საპირისპირო მოძრაობა.

მეორე ეტაპზე ხორციელდება ეგრეთ წოდებული საპირისპირო მოძრაობა, რომლის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ გამოვხატოთ ყველა მიღებული ძირითადი ცვლადი არაძირითადი ცვლადების თვალსაზრისით და ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის აგება, ან, თუ ყველა ცვლადი ძირითადია, შემდეგ რიცხობრივად გამოხატეთ წრფივი განტოლებათა სისტემის ერთადერთი ამონახსნი.

ეს პროცედურა იწყება ბოლო განტოლებით, საიდანაც გამოიხატება შესაბამისი ძირითადი ცვლადი (მასში მხოლოდ ერთია) და ჩანაცვლებულია წინა განტოლებებით და ა.შ. „საფეხურებით“ ზევით ასვლა.

თითოეული ხაზი შეესაბამება ზუსტად ერთ ძირითად ცვლადს, ასე რომ, ყოველ საფეხურზე, გარდა უკანასკნელისა (უმაღლესი), სიტუაცია ზუსტად იმეორებს ბოლო ხაზის შემთხვევას.

შენიშვნა: პრაქტიკაში უფრო მოსახერხებელია მუშაობა არა სისტემასთან, არამედ მის გაფართოებულ მატრიცთან, მის რიგებზე ყველა ელემენტარული გარდაქმნის შესრულება. მოსახერხებელია, რომ კოეფიციენტი a11 იყოს 1-ის ტოლი (გადააწყვეთ განტოლებები, ან გაყავით განტოლების ორივე მხარე a11-ზე).

2.2 გაუსის მეთოდით SLAE ამოხსნის მაგალითები

ამ განყოფილებაში, სამი განსხვავებული მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება გამოვიყენოთ გაუსის მეთოდი SLAE-ის ამოსახსნელად.

მაგალითი 1. ამოხსენით მე-3 რიგის SLAE.

დააყენეთ კოეფიციენტები ნულზე

მეორე და მესამე სტრიქონებში. ამისათვის გაამრავლეთ ისინი შესაბამისად 2/3 და 1-ზე და დაამატეთ ისინი პირველ სტრიქონში: