¿Puede la cotangente ser mayor que 1? Identidades trigonométricas básicas, sus formulaciones y derivaciones. Gráfica de la función cotangente, y = ctg x

Se encuentra la fuente original. Alfa denota un número real. El signo igual en las expresiones anteriores indica que si sumas un número o infinito a infinito, nada cambiará, el resultado será el mismo infinito. Si tomamos un conjunto infinito de números naturales como ejemplo, entonces los ejemplos considerados se pueden representar de la siguiente manera:

Para probar visualmente su caso, los matemáticos han ideado muchos métodos diferentes. Personalmente, veo todos estos métodos como las danzas de los chamanes con panderetas. En esencia, todo se reduce a que, o bien algunas de las habitaciones no están ocupadas y se instalan nuevos huéspedes en ellas, o bien, algunos de los visitantes son arrojados al pasillo para dejar sitio a los invitados (muy humanamente). Presenté mi punto de vista sobre tales decisiones en forma de una historia fantástica sobre la Rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? Mover un número infinito de visitantes requiere una cantidad infinita de tiempo. Después de que hayamos desalojado la primera habitación de invitados, uno de los visitantes siempre caminará por el pasillo desde su habitación hasta la siguiente hasta el final de los tiempos. Por supuesto, el factor tiempo puede ignorarse estúpidamente, pero esto ya será de la categoría de "la ley no está escrita para tontos". Todo depende de lo que estemos haciendo: ajustar la realidad a las teorías matemáticas o viceversa.

¿Qué es un "hotel infinito"? Una posada infinita es una posada que siempre tiene cualquier cantidad de vacantes, sin importar cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del pasillo sin fin "para visitantes" están ocupadas, hay otro pasillo sin fin con habitaciones para "invitados". Habrá un número infinito de tales corredores. Al mismo tiempo, el "hotel infinito" tiene un número infinito de pisos en un número infinito de edificios en un número infinito de planetas en un número infinito de universos creados por un número infinito de Dioses. Los matemáticos, en cambio, no son capaces de alejarse de los banales problemas cotidianos: Dios-Alá-Buda es siempre uno solo, el hotel es uno, el pasillo es uno solo. Entonces, los matemáticos están tratando de hacer malabarismos con los números de serie de las habitaciones de hotel, convenciéndonos de que es posible "empujar a los no empujados".

Te demostraré la lógica de mi razonamiento usando el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero debe responder una pregunta muy simple: ¿cuántos conjuntos de números naturales existen, uno o muchos? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que nosotros mismos inventamos los números, no hay números en la Naturaleza. Sí, la Naturaleza sabe contar perfectamente, pero para ello utiliza otras herramientas matemáticas que no nos son familiares. Como piensa la Naturaleza, te lo diré en otro momento. Como nosotros inventamos los números, nosotros mismos decidiremos cuántos conjuntos de números naturales existen. Considere ambas opciones, como corresponde a un verdadero científico.

Opcion uno. "Démonos" un solo conjunto de números naturales, que yace serenamente en un estante. Tomamos este conjunto del estante. Eso es todo, no quedan otros números naturales en el estante y no hay dónde llevarlos. No podemos añadir uno a este conjunto, ya que ya lo tenemos. ¿Qué pasa si realmente quieres? No hay problema. Podemos tomar una unidad del conjunto que ya hemos tomado y devolverla a la estantería. Después de eso, podemos tomar una unidad del estante y agregarla a lo que nos queda. Como resultado, nuevamente obtenemos un conjunto infinito de números naturales. Puedes escribir todas nuestras manipulaciones así:

He escrito las operaciones en notación algebraica y en notación de teoría de conjuntos, enumerando los elementos del conjunto en detalle. El subíndice indica que tenemos un único conjunto de números naturales. Resulta que el conjunto de números naturales permanecerá sin cambios solo si se le resta uno y se suma el mismo.

Opción dos. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en el estante. Enfatizo: DIFERENTES, a pesar de que son prácticamente indistinguibles. Tomamos uno de estos conjuntos. Luego tomamos uno de otro conjunto de números naturales y lo sumamos al conjunto que ya hemos tomado. Incluso podemos sumar dos conjuntos de números naturales. Esto es lo que obtenemos:

Los subíndices "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a conjuntos diferentes. Sí, si sumas uno a un conjunto infinito, el resultado también será un conjunto infinito, pero no será igual al conjunto original. Si se agrega otro conjunto infinito a un conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consta de los elementos de los dos primeros conjuntos.

El conjunto de números naturales se usa para contar de la misma manera que una regla para medir. Ahora imagina que has añadido un centímetro a la regla. Esta ya será una línea diferente, no igual a la original.

Puede aceptar o no mi razonamiento: es asunto suyo. Pero si alguna vez te encuentras con problemas matemáticos, considera si estás en el camino del falso razonamiento, recorrido por generaciones de matemáticos. Después de todo, las clases de matemáticas, en primer lugar, forman un estereotipo estable de pensamiento en nosotros, y solo luego nos agregan habilidades mentales (o viceversa, nos privan del pensamiento libre).

pozg.ru

domingo, 4 de agosto de 2019

Estaba escribiendo una posdata a un artículo sobre y vi este maravilloso texto en Wikipedia:

Leemos: "... rico bases teóricas Las matemáticas de Babilonia no tenían un carácter holístico y se reducían a un conjunto de técnicas dispares, desprovistas de sistema común y base de pruebas.

¡Guau! Qué inteligentes somos y qué bien podemos ver las deficiencias de los demás. ¿Es débil para nosotros mirar las matemáticas modernas en el mismo contexto? Parafraseando ligeramente el texto anterior, personalmente obtuve lo siguiente:

La rica base teórica de las matemáticas modernas no tiene un carácter holístico y se reduce a un conjunto de secciones dispares, desprovistas de un sistema común y una base de pruebas.

No iré muy lejos para confirmar mis palabras: tiene un lenguaje y convenciones que son diferentes del lenguaje y las convenciones de muchas otras ramas de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes ramas de las matemáticas pueden tener diferentes significados. Quiero dedicar todo un ciclo de publicaciones a los errores garrafales más evidentes de las matemáticas modernas. Te veo pronto.

sábado, 3 de agosto de 2019

¿Cómo dividir un conjunto en subconjuntos? Para ello, debe introducir una nueva unidad de medida, que está presente en algunos de los elementos del conjunto seleccionado. Considere un ejemplo.

Que tengamos muchos PERO compuesto por cuatro personas. Este conjunto se forma a base de "personas" Designemos los elementos de este conjunto a través de la letra a, el subíndice con un número indicará el número ordinal de cada persona en este conjunto. Introduzcamos una nueva unidad de medida "característica sexual" y denotémosla con la letra b. Dado que las características sexuales son inherentes a todas las personas, multiplicamos cada elemento del conjunto PERO sobre género b. Observe que nuestro conjunto de "personas" ahora se ha convertido en el conjunto de "personas con género". Después de eso, podemos dividir las características sexuales en macho b.m. y de mujer peso corporal características de género. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: seleccionamos una de estas características sexuales, no importa si es hombre o mujer. Si está presente en una persona, lo multiplicamos por uno, si no hay tal signo, lo multiplicamos por cero. Y luego aplicamos las matemáticas escolares habituales. Mira lo que pasó.

Después de multiplicaciones, reducciones y reordenamientos, obtuvimos dos subconjuntos: el subconjunto masculino b.m. y un subconjunto de mujeres peso corporal. Aproximadamente de la misma manera que razonan los matemáticos cuando aplican la teoría de conjuntos en la práctica. Pero no nos dejan entrar en los detalles, sino que nos dan el resultado final: "mucha gente consiste en un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, puede tener una pregunta, ¿cómo se aplicaron correctamente las matemáticas en las transformaciones anteriores? Me atrevo a asegurarte que en efecto las transformaciones se hacen correctamente, basta con conocer la justificación matemática de la aritmética, el álgebra booleana y otras secciones de las matemáticas. ¿Lo que es? En otra ocasión te lo contaré.

En cuanto a los superconjuntos, es posible combinar dos conjuntos en un superconjunto eligiendo una unidad de medida que esté presente en los elementos de estos dos conjuntos.

Como puede ver, las unidades de medida y las matemáticas comunes hacen que la teoría de conjuntos sea cosa del pasado. Una señal de que no todo va bien con la teoría de conjuntos es que los matemáticos han ideado su propio lenguaje y notación para la teoría de conjuntos. Los matemáticos hicieron lo que alguna vez hicieron los chamanes. Sólo los chamanes saben aplicar "correctamente" sus "saberes". Este "conocimiento" que nos enseñan.

Finalmente, quiero mostrarles cómo manipulan los matemáticos.

lunes, 7 de enero de 2019

En el siglo V a.C. filósofo griego antiguo Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así es como suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que Aquiles corre esta distancia, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El susto fue tan fuerte que" ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se convirtió en una solución universalmente aceptada para el problema...“[Wikipedia, “Aporias de Zeno”]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende cuál es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición del valor a. Esta transición implica aplicar en lugar de constantes. Según tengo entendido, el aparato matemático para aplicar unidades de medida variables o aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. La aplicación de nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por la inercia del pensamiento, aplicamos unidades constantes de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece como si el tiempo se detuviera por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si le damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a una velocidad constante. Cada segmento subsiguiente de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo empleado en superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápido a la tortuga".

¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a valores recíprocos. En el lenguaje de Zeno, se ve así:

En el tiempo que tarda Aquiles en correr mil pasos, la tortuga se arrastra cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero no lo es solución completa Problemas. La afirmación de Einstein sobre la insuperabilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón "Aquiles y la tortuga". Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución hay que buscarla no en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.

Otra interesante aporía de Zenón habla de una flecha voladora:

Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento del tiempo está en reposo, y como está en reposo en cada momento del tiempo, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora reposa en diferentes puntos del espacio, lo que, en realidad, es movimiento. Hay otro punto a señalar aquí. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar el hecho de su movimiento o la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos, pero no pueden usarse para determinar la distancia. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no puede determinar el hecho del movimiento a partir de ellas (naturalmente, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). en que me quiero enfocar Atención especial, es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades de exploración.

miércoles, 4 de julio de 2018

Ya te dije eso, con la ayuda de los cuales los chamanes intentan ordenar "" realidades. ¿Cómo lo hicieron? ¿Cómo se produce realmente la formación del conjunto?

Echemos un vistazo más de cerca a la definición de un conjunto: "una colección de diferentes elementos, concebidos como un todo único". Ahora siente la diferencia entre las dos frases: "pensable como un todo" y "pensable como un todo". La primera frase es el resultado final, la multitud. La segunda frase es preparación preliminar a la formación de una multitud. En esta etapa, la realidad se divide en elementos separados ("todo") a partir de los cuales se formará una multitud ("todo único"). Al mismo tiempo, el factor que le permite combinar el "todo" en un "todo único" se controla cuidadosamente, de lo contrario, los chamanes no tendrán éxito. Después de todo, los chamanes saben de antemano exactamente qué conjunto quieren demostrarnos.

Voy a mostrar el proceso con un ejemplo. Seleccionamos "sólido rojo en un grano": este es nuestro "todo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas son con arco, y las hay sin arco. Después de eso, seleccionamos una parte del "todo" y formamos un conjunto "con un arco". Así es como los chamanes se alimentan vinculando su teoría de conjuntos a la realidad.

Ahora hagamos un pequeño truco. Tomemos "sólido en un grano con un lazo" y unámoslos "entero" por color, seleccionando elementos rojos. Tenemos mucho "rojo". Ahora una pregunta difícil: ¿los conjuntos recibidos "con un lazo" y "rojo" son el mismo conjunto o dos conjuntos diferentes? Solo los chamanes saben la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero como dicen, que así sea.

Este simple ejemplo muestra que la teoría de conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. ¿Cuál es el secreto? Formamos un conjunto de "rojo sólido granujiento con un lazo". La formación se llevó a cabo según cuatro unidades de medida diferentes: color (rojo), fuerza (sólido), rugosidad (en un bulto), decoraciones (con un lazo). Solo un conjunto de unidades de medida hace posible describir adecuadamente los objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.. Esto es lo que parece.

La letra "a" con diferentes índices denota diferentes unidades de medida. Entre paréntesis, se destacan las unidades de medida, según las cuales el "todo" se asigna en la etapa preliminar. La unidad de medida, según la cual se forma el conjunto, se quita entre paréntesis. La última línea muestra el resultado final: un elemento del conjunto. Como puede ver, si usamos unidades para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto es matemática, y no las danzas de los chamanes con panderetas. Los chamanes pueden llegar “intuitivamente” al mismo resultado, argumentándolo con “obviedad”, porque las unidades de medida no están incluidas en su arsenal “científico”.

Con la ayuda de las unidades de medida, es muy fácil dividir una
Es hoy que todo lo que no tomamos pertenece a algún conjunto (como nos aseguran los matemáticos). Por cierto, ¿viste en el espejo de tu frente una lista de esos conjuntos a los que perteneces? Y no he visto tal lista. Diré más: ni una sola cosa en realidad tiene una etiqueta con una lista de conjuntos a los que pertenece esta cosa. Los conjuntos son todos inventos de los chamanes. ¿Cómo lo hicieron? Profundicemos un poco más en la historia y veamos cómo se veían los elementos del conjunto antes de que los matemáticos-chamanes los separaran en sus conjuntos.

Hace mucho tiempo, cuando nadie había oído hablar de las matemáticas todavía, y solo los árboles y Saturno tenían anillos, enormes manadas de elementos salvajes de conjuntos vagaban por los campos físicos (después de todo, los chamanes aún no habían inventado los campos matemáticos). Se veían así.

Sí, no se sorprenda, desde el punto de vista de las matemáticas, todos los elementos de los conjuntos son más similares a erizos de mar- de un punto, como agujas, las unidades de medida sobresalen en todas direcciones. Para los que, les recuerdo que cualquier unidad de medida se puede representar geométricamente como un segmento de longitud arbitraria, y un número como un punto. Geométricamente, cualquier cantidad se puede representar como un conjunto de segmentos que sobresalen en lados diferentes desde un punto Este punto es el punto cero. No dibujaré esta obra de arte geométrico (sin inspiración), pero pueden imaginarla fácilmente.

¿Qué unidades de medida forman un elemento del conjunto? Cualquiera que describa este elemento desde diferentes puntos de vista. Estas son las antiguas unidades de medida utilizadas por nuestros antepasados ​​y que todos han olvidado hace mucho tiempo. Estas son las unidades de medida modernas que usamos ahora. Son unidades de medida desconocidas para nosotros, que nuestros descendientes inventarán y que utilizarán para describir la realidad.

Descubrimos la geometría: el modelo propuesto de los elementos del conjunto tiene una representación geométrica clara. ¿Y la física? Unidades de medida: esta es la conexión directa entre las matemáticas y la física. Si los chamanes no reconocen las unidades de medida como un elemento completo de las teorías matemáticas, este es su problema. Personalmente, no puedo imaginar una verdadera ciencia de las matemáticas sin unidades de medida. Por eso, al comienzo mismo de la historia sobre la teoría de conjuntos, hablé de ella como la Edad de Piedra.

Pero pasemos a lo más interesante: al álgebra de elementos de conjuntos. Algebraicamente, cualquier elemento del conjunto es un producto (el resultado de la multiplicación) de diferentes cantidades.Se ve así.

Deliberadamente no utilicé las convenciones adoptadas en la teoría de conjuntos, ya que estamos considerando un elemento de un conjunto en un hábitat natural antes del advenimiento de la teoría de conjuntos. Cada par de letras entre paréntesis denota un valor separado, que consiste en el número indicado por la letra " norte" y unidades de medida, indicadas por la letra " a". Los índices cerca de las letras indican que los números y las unidades de medida son diferentes. Un elemento del conjunto puede consistir en un número infinito de valores (siempre que nosotros y nuestros descendientes tengamos suficiente imaginación). Cada El soporte está representado geométricamente por un segmento separado. En el ejemplo con el erizo de mar, un soporte es una aguja.

¿Cómo forman conjuntos los chamanes a partir de diferentes elementos? De hecho, por unidades de medida o por números. Sin entender nada de matemáticas, toman diferentes erizos de mar y los examinan cuidadosamente en busca de esa única aguja con la que forman un conjunto. Si existe tal aguja, entonces este elemento pertenece al conjunto; si no existe tal aguja, este elemento no es de este conjunto. Los chamanes nos cuentan fábulas sobre procesos de pensamiento y un todo único.

Como habrás adivinado, un mismo elemento puede pertenecer a una variedad de conjuntos. A continuación, les mostraré cómo se forman conjuntos, subconjuntos y otras tonterías chamánicas.

|BD| - la longitud del arco de un círculo con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.

tangente ( tga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
cotangente ( ctga) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .

Tangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.

Gráfica de la función tangente, y = tg x

Cotangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se ha adoptado la siguiente notación:
;
;
.

Gráfica de la función cotangente, y = ctg x

Propiedades de tangente y cotangente

Periodicidad

Funciones y= tgx y y= control x son periódicas con periodo π.

Paridad

Las funciones tangente y cotangente son impares.

Dominios de definición y valores, ascendente, descendente

Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver la prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).

	y= tgx	y= control x
Alcance y continuidad
Rango de valores	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
ascendente		-
Descendente	-
extremos	-	-
ceros, y= 0
Puntos de intersección con el eje y, x = 0	y= 0	-

fórmulas

Expresiones en términos de seno y coseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente y cotangente de suma y diferencia

El resto de fórmulas son fáciles de obtener, por ejemplo

Producto de tangentes

La formula de la suma y diferencia de tangentes

Esta tabla muestra los valores de tangentes y cotangentes para algunos valores del argumento.

Expresiones en términos de números complejos

Expresiones en términos de funciones hiperbólicas

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de orden n con respecto a la variable x de la función:
.
Derivación de fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrales

Expansiones en serie

Para obtener la expansión de la tangente en potencias de x, necesitas tomar varios términos de la expansión en una serie de potencias para las funciones pecado x y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto da como resultado las siguientes fórmulas.

A .

a .
dónde segundo norte- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
dónde .
O según la fórmula de Laplace:

funciones inversas

Las funciones inversas a tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.

Arcotangente, arctg

, dónde norte- entero.

Arco tangente, arcctg

, dónde norte- entero.

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de Matemáticas para Investigadores e Ingenieros, 2012.

Ver también:

Conferencia: Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo arbitrario

Seno, coseno de un ángulo arbitrario

Para entender qué son las funciones trigonométricas, volvamos a un círculo con una unidad de radio. Este círculo está centrado en el origen en el plano de coordenadas. Para determinar las funciones dadas, usaremos el radio vector O, que comienza en el centro del círculo, y el punto R es un punto en el círculo. Este radio vector forma un ángulo alfa con el eje OH. Como el círculo tiene un radio igual a uno, entonces O = R = 1.

Si desde el punto R dejar caer una perpendicular sobre el eje OH, entonces obtenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a uno.

Si el vector radio se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, entonces esta direccion llamó negativo, pero si se mueve en sentido antihorario - positivo.

El seno de un ángulo O, es la ordenada del punto R vectores en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del seno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada A en la superficie.

¿Cómo se obtuvo este valor? Como sabemos que el seno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, después sen(α) = y 0 .

En el círculo unitario, el valor de la ordenada no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que

El seno es positivo en el primer y segundo cuarto del círculo unitario y negativo en el tercero y cuarto.

Coseno de un ángulo círculo dado formado por el radio vector O, es la abscisa del punto R vectores en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del coseno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada X en la superficie.

El coseno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, después cos(α) = x 0 .

En el círculo unitario, el valor de la abscisa no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante del círculo unitario y negativo en el segundo y tercero.

tangenteángulo arbitrario se calcula la relación de seno a coseno.

Si consideramos un triángulo rectángulo, entonces esta es la relación entre el cateto opuesto y el adyacente. Si estamos hablando de un círculo unitario, entonces esta es la relación entre la ordenada y la abscisa.

A juzgar por estas relaciones, se puede entender que la tangente no puede existir si el valor de la abscisa es cero, es decir, en un ángulo de 90 grados. La tangente puede tomar todos los demás valores.

La tangente es positiva en el primer y tercer cuarto del círculo unitario, y negativa en el segundo y cuarto.

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