Lehet-e nagyobb a kotangens 1-nél? Alapvető trigonometrikus azonosságok, megfogalmazásaik és származtatásuk. A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Az eredeti forrás található. Az alfa valós számot jelöl. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha példának vesszük a természetes számok végtelen halmazát, akkor a vizsgált példák a következőképpen ábrázolhatók:

Álláspontjuk vizuális bizonyítására a matematikusok számos különféle módszert dolgoztak ki. Én személy szerint úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a sámánok tamburás táncára. Lényegében mindannyian arra vezetnek, hogy vagy a szobák egy részét nem foglalják el, és új vendégeket telepítenek beléjük, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott véleményemet egy fantasztikus történet formájában mutattam be a Szőkéről. Mire épül az érvelésem? Végtelen számú látogató mozgatása végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután elhagytuk az első vendégszobát, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a következőbe. Persze az időfaktort hülyén lehet figyelmen kívül hagyni, de ez már a "nem hülyéknek íródott törvény" kategóriából lesz. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a "végtelen szálloda"? Az infinity fogadó olyan fogadó, amelyben mindig van szabad hely, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen „látogatók” folyosó minden szobája foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó, ahol a „vendégek” szobái vannak. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Ugyanakkor a "végtelen szállodának" végtelen számú épületében van végtelen számú emelete, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok viszont nem tudnak eltávolodni a banális hétköznapi problémáktól: Isten-Allah-Buddha mindig csak egy, a szálloda egy, a folyosó csak egy. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámai között, meggyőzve minket arról, hogy lehet "lökni a löketlent".

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet létezik - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen mi magunk találtuk ki a számokat, a Természetben nincsenek számok. Igen, a természet tökéletesen tudja, hogyan kell számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Ahogy a Természet gondolja, máskor elmondom. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz létezik. Mérlegelje mindkét lehetőséget, ahogy egy igazi tudóshoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever egy polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs is hova venni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egy egységet, és visszahelyezhetjük a polcra. Ezt követően levehetünk egy egységet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, részletesen felsorolva a halmaz elemeit. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és ugyanazt adjuk hozzá.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz van a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Egy ilyen készletet veszünk. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Íme, amit kapunk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, akkor az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számláláshoz, mint a mérési vonalzót. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez már egy másik vonal lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákba ütközik, gondolja át, vajon a hamis érvelés útján jár-e, amelyet matematikusok generációi taposnak. Hiszen a matematikaórák elsősorban a gondolkodás stabil sztereotípiáját alakítják ki bennünk, és csak ezután adnak hozzánk szellemi képességeket (vagy fordítva, megfosztanak a szabad gondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Írtam egy utószavát egy cikkhez, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: „... gazdag elméleti alapja Babilon matematikája nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték közös rendszerés bizonyítékbázis.

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Gyenge számunkra, ha a modern matematikát ugyanabban a kontextusban nézzük? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – nyelve és konvenciói különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész ciklusát szeretném a modern matematika legnyilvánvalóbb baklövéseinek szentelni. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3. szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben megtalálható. Vegyünk egy példát.

Legyen sokunk DE négy emberből áll. Ez a halmaz "emberek" alapján alakult. Jelöljük ki ennek a halmaznak az elemeit a betűn keresztül a, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet, a „szexuális jellemzőt”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk DE a nemről b. Figyeljük meg, hogy a mi „emberek” készletünk a „nemekkel rendelkező emberek” készletté vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw nemi jellemzők. Most már alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, nem mindegy, hogy melyik férfi vagy nő. Ha megvan az emberben, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen jel, akkor nullával. És akkor alkalmazzuk a szokásos iskolai matematikát. Nézze meg, mi történt.

Szorzás, csökkentés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfi részhalmazt bmés a nők egy részhalmaza bw. Körülbelül ugyanúgy érvelnek a matematikusok, amikor a halmazelméletet a gyakorlatban alkalmazzák. De nem engednek bele a részletekbe, hanem megadják a kész eredményt – "sok ember a férfiak egy részhalmazából és a nők egy részhalmazából áll." Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy a matematikát mennyire alkalmazta helyesen a fenti transzformációk? Biztosíthatom Önöket, hogy valójában az átalakítások helyesen vannak végrehajtva, elég ismerni az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb szakaszainak matematikai indoklását. Ami? Majd máskor mesélek róla.

Ami a szuperhalmazokat illeti, lehetőség van két halmaz egy szuperhalmazzá kombinálására úgy, hogy olyan mértékegységet választunk, amely e két halmaz elemeiben jelen van.

Amint látja, a mértékegységek és az általános matematika a múlté teszi a halmazelméletet. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok azt tették, amit egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Ezt a "tudást" tanítják nekünk.

Végül szeretném megmutatni, hogyan manipulálják a matematikusok .

2019. január 7., hétfő

A Kr.e. V. században ókori görög filozófus Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknősbéka” aporia. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Gilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folytatódnak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett a probléma általánosan elfogadott megoldása..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szempontjából Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta az átmenetet az értékről a másikra. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek alkalmazására szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége folytán állandó időegységeket alkalmazunk a reciprokra. Fizikai szempontból úgy tűnik, hogy az idő lelassul és teljesen megáll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknősbékát. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknősbékát".

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok értékekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést tesz meg, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem komplett megoldás Problémák. Einstein kijelentése a fénysebesség leküzdhetetlenségéről nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újra kell gondolnunk és meg kell oldanunk. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénón egy másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy a repülő nyíl minden pillanatban a tér különböző pontjain nyugszik, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fénykép alapján lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két, ugyanarról a pontról, különböző időpontokban készült fényképre van szükség, de ezek alapján nem lehet meghatározni a távolságot. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít). Mire szeretnék fókuszálni Speciális figyelem, hogy két pont az időben és két pont a térben különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert különböző lehetőségeket adnak a felfedezésre.

2018. július 4., szerda

Ezt már mondtam neked, aminek segítségével a sámánok megpróbálják rendezni a "" valóságokat. Hogyan csinálják? Hogyan történik valójában a halmaz kialakulása?

Nézzük meg közelebbről a halmaz definícióját: „különböző elemek gyűjteménye, egyetlen egészként felfogva”. Most érezze a különbséget a két kifejezés között: „egy egészben elgondolható” és „egészként gondolható”. Az első mondat a végeredmény, a sokaság. A második mondat az előzetes felkészülés sokaság kialakulásához. Ebben a szakaszban a valóság különálló elemekre ("egész") oszlik, amelyekből aztán sokaság ("egyetlen egész") alakul ki. Ugyanakkor gondosan figyelemmel kísérik azt a tényezőt, amely lehetővé teszi az „egész” „egyetlen egésszé” kombinálását, különben a sámánok nem járnak sikerrel. Hiszen a sámánok előre pontosan tudják, milyen halmazt akarnak bemutatni nekünk.

A folyamatot egy példán mutatom be. Kiválasztjuk a "piros szilárd pattanásban" - ez a mi "egészünk". Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezt követően kiválasztunk egy részt az „egészből”, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így táplálják magukat azzal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a "szilárd pattanásban masnival" és egyesítsük ezeket az "egészeket" szín szerint, piros elemeket kiválasztva. Sok "pirost" kaptunk. Most egy trükkös kérdés: a kapott "masnival" és "piros" készletek ugyanazok, vagy két különböző készlet? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy legyen.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros, tömör pattanásból masnival". A formálás négy különböző mértékegység szerint zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárdság), érdesség (dudorban), díszítések (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós tárgyak megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. Zárójelben kiemelve vannak a mértékegységek, amelyek szerint az "egész" kiosztásra kerül az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amely szerint a halmaz kialakul. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha egységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ a cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tánca tamburával. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, „nyilvánvalósággal” érvelve, mert a mértékegységek nem szerepelnek „tudományos” arzenáljukban.

A mértékegységek segítségével nagyon könnyű lebontani egyet
Ma minden, amit nem veszünk fel, valamilyen halmazhoz tartozik (ahogyan a matematikusok biztosítják). Mellesleg, láttad a homlokodon lévő tükörben azoknak a készleteknek a listáját, amelyekhez tartozol? És nem láttam ilyen listát. Még többet mondok - a valóságban egyetlen dolognak sincs címkéje azon készletek listájával, amelyekhez ez a dolog tartozik. A készletek mind a sámánok találmányai. Hogyan csinálják? Nézzünk egy kicsit mélyebben a történelembe, és nézzük meg, hogyan néztek ki a halmaz elemei, mielőtt a matematikusok-sámánok szétszedték őket halmazaikba.

Réges-régen, amikor még senki nem hallott a matematikáról, és csak a fáknak és a Szaturnusznak volt gyűrűje, halmazok vad elemei hatalmas csordái kóboroltak a fizikai mezőkön (elvégre a sámánok még nem találták fel a matematikai mezőket). Így néztek ki.

Igen, ne lepődj meg, a matematika szempontjából a halmazok minden eleme hasonlít leginkább a tengeri sünök- egy pontból, mint a tűk, minden irányban kilógnak a mértékegységek. Azoknak, akik emlékeztetnek arra, hogy bármely mértékegység geometriailag ábrázolható tetszőleges hosszúságú szakaszként, és egy szám mint pont. Geometriailag tetszőleges mennyiség ábrázolható a benyúló szegmensek kötegében különböző oldalak egy pontból. Ez a pont a nulla pont. Ezt a geometrikus alkotást nem fogom megrajzolni (nincs inspiráció), de könnyen elképzelhető.

Milyen mértékegységek alkotják a halmaz elemét? Bármelyik, amely ezt az elemet különböző nézőpontokból írja le. Ezek azok az ősi mértékegységek, amelyeket őseink használtak, és amelyekről mindenki régen elfeledkezett. Ezek azok a modern mértékegységek, amelyeket most használunk. Számunkra ismeretlen mértékegységek ezek, amelyeket utódaink fognak kitalálni, és amelyekkel leírják a valóságot.

Kitaláltuk a geometriát - a halmaz elemeinek javasolt modellje világos geometriai ábrázolással rendelkezik. És mi a helyzet a fizikával? Mértékegységek - ez a közvetlen kapcsolat a matematika és a fizika között. Ha a sámánok nem ismerik el a mértékegységeket a matematikai elméletek teljes értékű elemeként, ez az ő problémájuk. Én személy szerint nem tudom elképzelni a matematika igazi tudományát mértékegységek nélkül. Éppen ezért a halmazelméletről szóló történet legelején úgy beszéltem róla, mint a kőkorszakról.

De térjünk át a legérdekesebbre - a halmazok elemeinek algebrájára. Algebrailag a halmaz bármely eleme különböző mennyiségek szorzata (szorzás eredménye), így néz ki.

Szándékosan nem alkalmaztam a halmazelméletben elfogadott konvenciókat, mivel a halmazelmélet megjelenése előtt természetes élőhelyen egy halmazelemet vizsgálunk. Minden zárójelben lévő betűpár külön értéket jelöl, amely a " betűvel jelölt számból áll n" és mértékegységek, a " betűvel jelölve a". A betűk melletti indexek azt jelzik, hogy a számok és a mértékegységek eltérőek. A halmaz egyik eleme végtelen számú értékből állhat (amennyiben nekünk és leszármazottainknak van elég fantáziája). Mindegyik A tengeri sün példájában egy zárójel egy tűt jelent geometriailag.

Hogyan alkotnak a sámánok halmazokat különböző elemekből? Valójában mértékegységekkel vagy számokkal. Mivel semmit sem értenek a matematikában, különböző tengeri sünököt vesznek, és alaposan megvizsgálják őket, keresve azt az egyetlen tűt, amellyel halmazt alkotnak. Ha van ilyen tű, akkor ez az elem a halmazhoz tartozik, ha nincs ilyen, akkor ez az elem nem ebből a halmazból való. A sámánok meséket mesélnek nekünk gondolkodási folyamatokés egyetlen egész.

Amint azt már sejtette, ugyanaz az elem többféle halmazhoz tartozhat. Ezután megmutatom, hogyan keletkeznek halmazok, részhalmazok és egyéb sámáni értelmetlenségek.

|BD| - az A pontban középpontba állított kör ívének hossza.
α a radiánban kifejezett szög.

Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .

Tangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.

Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x

Kotangens

Ahol n- egész.

A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.

A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x

Az érintő és a kotangens tulajdonságai

Periodikaság

y= függvények tg xés y= ctg xπ periódusúak.

Paritás

Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.

Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő

A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).

	y= tg x	y= ctg x
Hatály és folytonosság
Értéktartomány	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Emelkedő		-
Csökkenő	-
Extrémek	-	-
Nullák, y= 0
Metszéspontok az y tengellyel, x = 0	y= 0	-

Képletek

Kifejezések szinuszban és koszinuszban

; ;
; ;
;

Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete

A többi képlet például könnyen beszerezhető

Érintők szorzata

Az érintők összegének és különbségének képlete

Ez a táblázat az érvelés egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja.

Kifejezések komplex számokkal

Kifejezések hiperbolikus függvényekkel

;
;

Származékok

; .

.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Tangens képleteinek származtatása > > > ; kotangensre >>>

Integrálok

Bővítések sorozatokká

Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xés cos xés osszuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.

Nál nél .

nál nél .
ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint:

Inverz függvények

Az érintő és a kotangens inverz függvényei az arctangens és az arckotangensek.

Arctangens, arctg

, ahol n- egész.

Ív érintő, arcctg

, ahol n- egész.

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve kutatóknak és mérnököknek, 2012.

Lásd még:

Előadás: Tetszőleges szög szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Szinusz, tetszőleges szög koszinusza

A trigonometrikus függvények megértéséhez forduljunk egy egységsugarú körhöz. Ennek a körnek a középpontja az origó a koordinátasíkon. Az adott függvények meghatározásához a sugárvektort fogjuk használni VAGY, amely a kör közepétől kezdődik, és a pont R egy pont a körön. Ez a sugárvektor alfa szöget zár be a tengellyel Ó. Mivel a kör sugara eggyel egyenlő, akkor VAGY = R = 1.

Ha attól a ponttól R merőlegest dobjunk a tengelyre Ó, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek hipotenusza egyenlő eggyel.

Ha a sugárvektor az óramutató járásával megegyezően mozog, akkor ezt az irányt hívott negatív, de ha az óramutató járásával ellentétes irányba mozog - pozitív.

Egy szög szinusza VAGY, a pont ordinátája R vektorok egy körön.

Vagyis egy adott szög alfa szinuszának értékének megszerzéséhez meg kell határozni a koordinátát Nál nél a felszínen.

Hogyan szerezték meg ezt az értéket? Mivel tudjuk, hogy egy derékszögű háromszögben egy tetszőleges szög szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya, azt kapjuk, hogy

És azóta R=1, akkor sin(α) = y 0 .

Az egységkörben az ordináta értéke nem lehet kisebb -1-nél és nagyobb 1-nél, ami azt jelenti

A szinusz az egységkör első és második negyedében pozitív, a harmadik és negyedik negyedben negatív.

Egy szög koszinusza adott kör, amelyet a sugárvektor alkot VAGY, a pont abszcisszán R vektorok egy körön.

Vagyis egy adott szög alfa koszinuszának értékének megszerzéséhez meg kell határozni a koordinátát x a felszínen.

Egy derékszögű háromszög tetszőleges szögének koszinusza a szomszédos szár és a hipotenusz aránya, azt kapjuk, hogy

És azóta R=1, akkor cos(α) = x 0 .

Az egységkörben az abszcissza értéke nem lehet kisebb -1-nél és nagyobb 1-nél, ami azt jelenti, hogy

A koszinusz pozitív az egységkör első és negyedik negyedében, negatív a második és harmadik negyedben.

tangenstetszőleges szög kiszámoljuk a szinusz és a koszinusz arányát.

Ha egy derékszögű háromszöget tekintünk, akkor ez az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya. Ha egységkörről beszélünk, akkor ez az ordináta és az abszcissza aránya.

Ezekből az összefüggésekből ítélve érthető, hogy az érintő nem létezhet, ha az abszcissza értéke nulla, azaz 90 fokos szöget zár be. Az érintő minden más értéket felvehet.

Az egységkör első és harmadik negyedében az érintő pozitív, a második és negyedik negyedben negatív.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.

Feltárás harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Abban az esetben, ha ez szükséges - a törvénynek, a bírósági végzésnek, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén működő állami szervek nyilvános megkeresései vagy kérései alapján - fedje fel személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.