โคแทนเจนต์มากกว่า 1 ตัวตนตรีโกณมิติพื้นฐาน สูตร และที่มาของโคแทนเจนต์ได้หรือไม่ กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

แหล่งที่มาเดิมตั้งอยู่ อัลฟ่าหมายถึงจำนวนจริง เครื่องหมายเท่ากับในนิพจน์ด้านบนระบุว่าหากคุณเพิ่มตัวเลขหรืออนันต์ให้กับอนันต์ ไม่มีอะไรจะเปลี่ยนแปลง ผลลัพธ์จะเป็นอนันต์เดียวกัน หากเรานำชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์มาเป็นตัวอย่าง ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแสดงได้ดังนี้:

เพื่อพิสูจน์กรณีของพวกเขาด้วยสายตา นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นวิธีการต่างๆ มากมาย โดยส่วนตัวแล้ว ฉันมองว่าวิธีการทั้งหมดนี้เป็นการเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา โดยพื้นฐานแล้ว พวกเขาทั้งหมดมาจากความจริงที่ว่าห้องพักบางห้องไม่ได้ถูกครอบครองและมีแขกใหม่เข้ามาตั้งรกราก หรือแขกบางคนถูกโยนออกไปที่ทางเดินเพื่อให้มีที่ว่างสำหรับแขก (อย่างมนุษย์ปุถุชน) ฉันนำเสนอมุมมองของฉันเกี่ยวกับการตัดสินใจดังกล่าวในรูปแบบของเรื่องราวที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับสาวผมบลอนด์ เหตุผลของฉันขึ้นอยู่กับอะไร? การย้ายผู้เยี่ยมชมจำนวนไม่ จำกัด ต้องใช้เวลาเป็นอนันต์ หลังจากที่เราออกจากห้องพักแขกห้องแรกแล้ว ผู้เยี่ยมชมคนหนึ่งจะเดินไปตามทางเดินจากห้องของเขาไปยังห้องถัดไปจนกว่าจะหมดเวลา แน่นอน ปัจจัยด้านเวลาสามารถเพิกเฉยอย่างโง่เขลาได้ แต่สิ่งนี้จะมาจากหมวดหมู่ของ "กฎหมายไม่ได้เขียนขึ้นสำหรับคนโง่" ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่เรากำลังทำ: การปรับความเป็นจริงให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หรือในทางกลับกัน

"โรงแรมไม่มีที่สิ้นสุด" คืออะไร? อินน์แบบอินฟินิตี้คือโรงแรมขนาดเล็กที่มีจำนวนตำแหน่งว่างเสมอ ไม่ว่าจะมีห้องว่างกี่ห้องก็ตาม หากห้องทั้งหมดในโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุด "สำหรับผู้มาเยี่ยม" ถูกครอบครอง มีโถงทางเดินที่ไม่มีที่สิ้นสุดอีกแห่งที่มีห้องสำหรับ "แขก" จะมีทางเดินดังกล่าวจำนวนไม่สิ้นสุด ในเวลาเดียวกัน "โรงแรมที่ไม่มีที่สิ้นสุด" มีจำนวนชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอาคารจำนวนไม่สิ้นสุดบนดาวเคราะห์จำนวนอนันต์ในจักรวาลจำนวนอนันต์ที่สร้างขึ้นโดยเทพเจ้าจำนวนอนันต์ ในทางกลับกัน นักคณิตศาสตร์ไม่สามารถหลีกหนีจากปัญหาเดิมๆ ในชีวิตประจำวันได้: พระเจ้าอัลลอฮ์ - พระพุทธเจ้าเป็นหนึ่งเดียวเสมอ โรงแรมเป็นหนึ่ง ทางเดินมีเพียงหนึ่งเดียว ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงพยายามเล่นปาหี่เลขลำดับของห้องพักในโรงแรม ทำให้เราเชื่อว่าเป็นไปได้ที่จะ "ผลักห้องที่ไม่ได้ผลัก"

ฉันจะแสดงให้เห็นตรรกะของการให้เหตุผลของฉันกับคุณโดยใช้ตัวอย่างชุดจำนวนธรรมชาติอนันต์ ก่อนอื่น คุณต้องตอบคำถามง่ายๆ ก่อน: มีชุดจำนวนธรรมชาติกี่ชุด - หนึ่งชุดหรือหลายชุด ไม่มีคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามนี้ เนื่องจากเราเป็นผู้คิดค้นตัวเลขขึ้นมาเอง จึงไม่มีตัวเลขในธรรมชาติ ใช่ ธรรมชาติรู้วิธีนับอย่างสมบูรณ์แบบ แต่สำหรับสิ่งนี้ เธอใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่เราไม่คุ้นเคย ตามที่ธรรมชาติคิด ฉันจะบอกคุณอีกครั้ง เนื่องจากเราประดิษฐ์ตัวเลข เราเองจะเป็นผู้กำหนดจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่จำนวนกี่ชุด พิจารณาทั้งสองทางเลือก เนื่องจากเหมาะสมกับนักวิทยาศาสตร์ตัวจริง

ตัวเลือกที่หนึ่ง "ให้เราได้รับ" ชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวที่วางอยู่บนหิ้งอย่างสงบ เรานำชุดนี้จากชั้นวาง แค่นั้นแหละ ไม่มีตัวเลขธรรมชาติอื่น ๆ เหลืออยู่บนหิ้งและไม่มีที่ไหนเลยที่จะนำไปใช้ เราไม่สามารถเพิ่มหนึ่งชุดในชุดนี้ เนื่องจากเรามีอยู่แล้ว ถ้าคุณต้องการจริงๆ? ไม่มีปัญหา. เราสามารถนำหน่วยจากชุดที่เราถ่ายไปแล้วกลับไปที่หิ้งได้ หลังจากนั้นเราสามารถนำหน่วยจากชั้นวางและเพิ่มไปยังสิ่งที่เราเหลือได้ เป็นผลให้เราได้รับชุดจำนวนธรรมชาติที่ไม่สิ้นสุดอีกครั้ง คุณสามารถเขียนการปรับเปลี่ยนทั้งหมดของเราดังนี้:

ฉันได้เขียนการดำเนินการในรูปแบบพีชคณิตและสัญกรณ์ทฤษฎีเซต โดยแสดงรายการองค์ประกอบของเซตอย่างละเอียด ตัวห้อยระบุว่าเรามีชุดตัวเลขธรรมชาติชุดเดียวเท่านั้น ปรากฎว่าชุดของจำนวนธรรมชาติจะไม่เปลี่ยนแปลงก็ต่อเมื่อถูกลบออกจากมันและเพิ่มจำนวนเดียวกัน

ตัวเลือกที่สอง เรามีชุดตัวเลขธรรมชาติมากมายหลายชุดบนหิ้ง ฉันขอเน้นย้ำว่า - แตกต่างแม้ว่าจะแยกไม่ออกก็ตาม เราใช้หนึ่งในชุดเหล่านี้ จากนั้นเราก็นำตัวเลขธรรมชาติชุดหนึ่งมาบวกกับชุดที่เราถ่ายไปแล้ว เรายังบวกจำนวนธรรมชาติสองชุดได้อีกด้วย นี่คือสิ่งที่เราได้รับ:

ตัวห้อย "หนึ่ง" และ "สอง" ระบุว่าองค์ประกอบเหล่านี้เป็นของชุดที่ต่างกัน ใช่ หากคุณเพิ่มชุดหนึ่งไปยังชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ผลลัพธ์จะเป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วย แต่จะไม่เหมือนกับชุดเดิม หากมีการเพิ่มชุดอนันต์อื่นในชุดอนันต์ชุดหนึ่ง ผลลัพธ์คือชุดอนันต์ชุดใหม่ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบของสองชุดแรก

ชุดของจำนวนธรรมชาติใช้สำหรับการนับในลักษณะเดียวกับไม้บรรทัดสำหรับการวัด ทีนี้ลองนึกภาพว่าคุณได้บวกหนึ่งเซนติเมตรเข้ากับไม้บรรทัด นี่จะเป็นบรรทัดอื่นแล้วไม่เท่ากับของเดิม

คุณสามารถยอมรับหรือไม่ยอมรับเหตุผลของฉัน - นี่คือธุรกิจของคุณเอง แต่ถ้าคุณประสบปัญหาทางคณิตศาสตร์ ให้พิจารณาว่าคุณกำลังอยู่บนเส้นทางของการใช้เหตุผลผิดๆ หรือไม่ ซึ่งถูกเหยียบย่ำโดยนักคณิตศาสตร์รุ่นต่อรุ่น ท้ายที่สุด ชั้นเรียนคณิตศาสตร์ อย่างแรกเลย สร้างแบบแผนที่มั่นคงของการคิดในตัวเรา จากนั้นจึงเพิ่มความสามารถทางจิตให้กับเรา (หรือในทางกลับกัน พวกเขากีดกันการคิดอย่างอิสระ)

pozg.ru

วันอาทิตย์ที่ 4 สิงหาคม 2019

ฉันกำลังเขียนบทความเกี่ยวกับบทความเกี่ยวกับและเห็นข้อความที่ยอดเยี่ยมนี้ใน Wikipedia:

เราอ่านว่า "...รวย พื้นฐานทางทฤษฎีคณิตศาสตร์ของบาบิโลนไม่ได้มีลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดทอนเป็นชุดของเทคนิคที่แตกต่างกันโดยปราศจาก ระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน

ว้าว! เราฉลาดแค่ไหน และมองเห็นข้อบกพร่องของผู้อื่นได้ดีเพียงใด การที่เรามองคณิตศาสตร์สมัยใหม่ในบริบทเดียวกันนั้นเป็นเรื่องที่อ่อนแอหรือไม่? ถอดความข้อความข้างต้นเล็กน้อยโดยส่วนตัวแล้วฉันได้รับสิ่งต่อไปนี้:

พื้นฐานทางทฤษฎีที่เข้มข้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ไม่ได้มีลักษณะแบบองค์รวมและถูกลดขนาดให้เป็นชุดของส่วนต่างๆ ที่แตกต่างกัน ปราศจากระบบทั่วไปและฐานหลักฐาน

ฉันจะไม่ไปไกลเพื่อยืนยันคำพูดของฉัน - มันมีภาษาและอนุสัญญาที่แตกต่างจากภาษาและอนุสัญญาของสาขาคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย ชื่อเดียวกันในสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันสามารถมีความหมายต่างกัน ฉันต้องการอุทิศวงจรการตีพิมพ์ทั้งหมดให้กับความผิดพลาดที่ชัดเจนที่สุดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เจอกันเร็วๆนี้.

วันเสาร์ที่ 3 สิงหาคม 2019

จะแบ่งเซตออกเป็นเซตย่อยได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ คุณต้องป้อนหน่วยวัดใหม่ ซึ่งมีอยู่ในองค์ประกอบบางอย่างของชุดที่เลือก ขอ​พิจารณา​ตัว​อย่าง.

ขอให้มีกันเยอะๆนะครับ แต่ประกอบด้วยสี่คน ชุดนี้สร้างขึ้นบนพื้นฐานของ "คน" มากำหนดองค์ประกอบของชุดนี้ผ่านตัวอักษร เอตัวห้อยที่มีตัวเลขจะแสดงเลขลำดับของแต่ละคนในชุดนี้ ขอแนะนำหน่วยวัดใหม่ "ลักษณะทางเพศ" และแสดงด้วยตัวอักษร ข. เนื่องจากลักษณะทางเพศมีอยู่ในทุกคน เราจึงคูณแต่ละองค์ประกอบของชุด แต่เกี่ยวกับเพศ ข. สังเกตว่าชุด "คน" ของเราตอนนี้กลายเป็นชุด "คนที่มีเพศ" แล้ว หลังจากนั้นเราสามารถแบ่งลักษณะทางเพศเป็นเพศชายได้ bmและของผู้หญิง bwลักษณะทางเพศ ตอนนี้ เราสามารถใช้ตัวกรองทางคณิตศาสตร์ได้: เราเลือกลักษณะทางเพศอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้ ไม่สำคัญว่าตัวผู้หรือตัวเมียตัวใด หากมีอยู่ในบุคคล เราก็คูณมันด้วยหนึ่ง ถ้าไม่มีเครื่องหมายดังกล่าว เราจะคูณมันด้วยศูนย์ แล้วเราก็ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนตามปกติ ดูสิ่งที่เกิดขึ้น

หลังจากการคูณ การลดลง และการจัดเรียงใหม่ เราได้เซตย่อยสองชุด: เซตย่อยเพศผู้ bmและส่วนย่อยของผู้หญิง bw. ในทำนองเดียวกันนักคณิตศาสตร์ให้เหตุผลเมื่อพวกเขาใช้ทฤษฎีเซตในทางปฏิบัติ แต่พวกเขาไม่ให้เราลงรายละเอียด แต่ให้ผลลัพธ์ที่สมบูรณ์แก่เรา - "ผู้คนจำนวนมากประกอบด้วยกลุ่มย่อยของผู้ชายและกลุ่มย่อยของผู้หญิง" โดยปกติคุณอาจมีคำถามว่าคณิตศาสตร์ประยุกต์ในการแปลงข้างต้นได้ถูกต้องเพียงใด? ฉันกล้ารับรองกับคุณว่าอันที่จริงการแปลงนั้นทำถูกต้องแล้ว การรู้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ของเลขคณิต พีชคณิตบูลีน และส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ก็เพียงพอแล้ว มันคืออะไร? คราวหน้าจะเล่าให้ฟังค่ะ

สำหรับ supersets เป็นไปได้ที่จะรวมสองชุดเป็น superset เดียวโดยการเลือกหน่วยการวัดที่มีอยู่ในองค์ประกอบของสองชุดนี้

อย่างที่คุณเห็น หน่วยวัดและคณิตศาสตร์ทั่วไปทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นอดีตไปแล้ว สัญญาณที่บ่งบอกว่าทฤษฎีเซตไม่ดีนักก็คือนักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นภาษาและสัญกรณ์สำหรับทฤษฎีเซตขึ้นมาเอง นักคณิตศาสตร์ทำในสิ่งที่หมอผีเคยทำ หมอผีเท่านั้นที่รู้วิธี "ใช้" "ความรู้" ของตนอย่างถูกต้อง "ความรู้" นี้สอนเรา

สุดท้ายนี้ ฉันต้องการแสดงให้คุณเห็นว่านักคณิตศาสตร์จัดการอย่างไร

วันจันทร์ที่ 7 มกราคม 2019

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช นักปรัชญากรีกโบราณนักปราชญ์แห่งเอเลียได้คิดค้น aporias อันโด่งดังของเขา ซึ่งที่โด่งดังที่สุดคือ aporia "Achilles and the Tortoise" นี่คือเสียง:

สมมุติว่าอคิลลิสวิ่งเร็วกว่าเต่าสิบเท่าและอยู่ข้างหลังเต่าพันก้าว ในช่วงเวลาที่ Achilles วิ่งระยะทางนี้ เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน เมื่ออคิลลิสวิ่งไปร้อยก้าว เต่าจะคลานไปอีกสิบก้าว เป็นต้น กระบวนการนี้จะดำเนินต่อไปอย่างไม่มีกำหนด Achilles จะไม่มีวันไล่ตามเต่า

เหตุผลนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตกใจสำหรับคนรุ่นต่อ ๆ มา อริสโตเติล, ไดโอจีเนส, คานท์, เฮเกล, กิลเบิร์ต... ทั้งหมดนี้ถือว่าไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ถือว่าอาพอเรียของซีโน ช็อกหนักมากจน" ... การอภิปรายยังคงดำเนินต่อไปในขณะนี้ ชุมชนวิทยาศาสตร์ยังไม่มีความคิดเห็นร่วมกันเกี่ยวกับสาระสำคัญของความขัดแย้ง ... การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีเซต วิธีการทางกายภาพและปรัชญาใหม่ ๆ มีส่วนร่วมในการศึกษาประเด็นนี้ ; ไม่มีใครกลายเป็นวิธีแก้ปัญหาที่เป็นที่ยอมรับในระดับสากล ..."[วิกิพีเดีย" Aporias ของ Zeno "] ทุกคนเข้าใจว่าพวกเขากำลังถูกหลอก แต่ไม่มีใครเข้าใจว่าการหลอกลวงคืออะไร

จากมุมมองของคณิตศาสตร์ Zeno ใน aporia ของเขาแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงการเปลี่ยนแปลงจากค่าเป็น การเปลี่ยนแปลงนี้หมายถึงการใช้แทนค่าคงที่ เท่าที่ฉันเข้าใจ เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการใช้หน่วยการวัดแบบแปรผันยังไม่ได้รับการพัฒนา หรือยังไม่ได้นำไปใช้กับ aporia ของ Zeno การใช้ตรรกะปกติของเราทำให้เราติดกับดัก โดยความเฉื่อยของการคิด เราใช้หน่วยเวลาคงที่กับส่วนกลับกัน จากมุมมองทางกายภาพ ดูเหมือนว่าเวลาจะช้าลงจนหยุดนิ่งในขณะที่ Achilles ไล่ตามเต่า หากเวลาหยุดลง Achilles จะไม่สามารถแซงเต่าได้อีกต่อไป

ถ้าเราเปลี่ยนตรรกะที่เราคุ้นเคย ทุกอย่างก็เข้าที่ Achilles วิ่งด้วยความเร็วคงที่ เส้นทางที่ตามมาแต่ละส่วนจะสั้นกว่าส่วนก่อนหน้าสิบเท่า ดังนั้นเวลาที่ใช้ในการเอาชนะมันจึงน้อยกว่าครั้งก่อนสิบเท่า หากเราใช้แนวคิดเรื่อง "อินฟินิตี้" ในสถานการณ์นี้ ก็คงถูกต้องที่จะบอกว่า "อคิลลิสจะแซงเต่าอย่างรวดเร็วอย่างไม่สิ้นสุด"

จะหลีกเลี่ยงกับดักตรรกะนี้ได้อย่างไร? คงอยู่ในหน่วยของเวลาคงที่และอย่าเปลี่ยนเป็นค่าส่วนกลับ ในภาษาของ Zeno มีลักษณะดังนี้:

ในช่วงเวลาที่อคิลลิสวิ่งพันก้าว เต่าคลานไปหนึ่งร้อยก้าวไปในทิศทางเดียวกัน ในช่วงเวลาถัดไป เท่ากับครั้งแรก จุดอ่อนจะวิ่งต่อไปอีกพันก้าว และเต่าจะคลานหนึ่งร้อยก้าว ตอนนี้ Achilles เร็วกว่าเต่าแปดร้อยก้าว

วิธีการนี้อธิบายความเป็นจริงได้อย่างเพียงพอโดยไม่มีความขัดแย้งเชิงตรรกะใดๆ แต่มันไม่ใช่ โซลูชั่นที่สมบูรณ์ปัญหา. คำกล่าวของไอน์สไตน์เกี่ยวกับความเร็วแสงที่ไม่อาจเทียบได้นั้นคล้ายกับคำว่าอคิลลีสกับเต่าของซีโนมาก เรายังไม่ได้ศึกษา คิดใหม่ และแก้ปัญหานี้ และจะต้องไม่ค้นหาวิธีแก้ปัญหาในจำนวนมาก แต่ในหน่วยการวัด

aporia ที่น่าสนใจอีกอย่างของ Zeno เล่าถึงลูกศรที่บินได้:

ลูกศรที่บินได้นั้นไม่มีการเคลื่อนไหว เนื่องจากในแต่ละช่วงเวลามันหยุดนิ่ง และเนื่องจากมันหยุดนิ่งในทุกช่วงเวลา มันจึงหยุดนิ่งอยู่เสมอ

ใน Aporia นี้ ความขัดแย้งเชิงตรรกะถูกเอาชนะได้ง่ายมาก - เพียงพอที่จะชี้แจงว่าในแต่ละช่วงเวลาลูกศรบินวางอยู่ที่จุดต่าง ๆ ในอวกาศซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นการเคลื่อนไหว มีจุดอื่นที่จะสังเกตที่นี่ จากภาพถ่ายรถหนึ่งภาพบนท้องถนน เป็นไปไม่ได้ที่จะระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่หรือระยะห่างของรถคันดังกล่าว ในการพิจารณาข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่ของรถ จำเป็นต้องใช้ภาพถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดเดียวกัน ณ จุดต่างๆ ในเวลาที่ต่างกัน แต่ไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดระยะทางได้ ในการกำหนดระยะห่างจากรถ คุณต้องมีรูปถ่ายสองภาพที่ถ่ายจากจุดต่างๆ ในอวกาศในเวลาเดียวกัน แต่คุณไม่สามารถระบุข้อเท็จจริงของการเคลื่อนที่จากจุดเหล่านั้นได้ (โดยปกติ คุณยังต้องการข้อมูลเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณ ตรีโกณมิติจะช่วยคุณได้) อยากเน้นอะไร ความสนใจเป็นพิเศษคือสองจุดในเวลาและจุดสองจุดในอวกาศเป็นสิ่งที่ต่างกันซึ่งไม่ควรสับสนเพราะมันให้โอกาสในการสำรวจที่แตกต่างกัน

วันพุธที่ 4 กรกฎาคม 2561

ฉันบอกคุณไปแล้วว่าด้วยความช่วยเหลือที่หมอผีพยายามจัดเรียงความเป็นจริง "" พวกเขาทำมันได้อย่างไร? การก่อตัวของฉากเกิดขึ้นได้อย่างไร?

มาดูคำจำกัดความของชุดกันดีกว่า: "ชุดขององค์ประกอบต่าง ๆ ที่คิดขึ้นเป็นชุดเดียว" ตอนนี้รู้สึกถึงความแตกต่างระหว่างสองวลีนี้: "คิดได้ในภาพรวม" และ "คิดได้ในภาพรวม" วลีแรกคือผลลัพธ์สุดท้ายคือฝูงชน วลีที่สองคือ การเตรียมการเบื้องต้นสู่การก่อตัวเป็นอันมาก ในขั้นตอนนี้ ความเป็นจริงถูกแบ่งออกเป็นองค์ประกอบที่แยกจากกัน ("ทั้งหมด") จากนั้นจะเกิดมวล ("ทั้งหมดเดียว") ในเวลาเดียวกัน ปัจจัยที่อนุญาตให้คุณรวม "ทั้งหมด" เป็น "ทั้งหมดเดียว" จะได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบ มิฉะนั้น หมอจะไม่ประสบความสำเร็จ ท้ายที่สุด หมอผีรู้ล่วงหน้าว่าพวกเขาต้องการแสดงชุดใดให้เราดู

ฉันจะแสดงกระบวนการด้วยตัวอย่าง เราเลือก "ของแข็งสีแดงในสิว" - นี่คือ "ทั้งหมด" ของเรา ในเวลาเดียวกันเราจะเห็นว่าสิ่งเหล่านี้มีคันธนูและไม่มีคันธนู หลังจากนั้นเราเลือกส่วนหนึ่งของ "ทั้งหมด" และสร้างชุด "ด้วยธนู" นี่คือวิธีที่หมอผีเลี้ยงตัวเองโดยเชื่อมโยงทฤษฎีเซตกับความเป็นจริง

ตอนนี้มาทำเคล็ดลับเล็กน้อย ลองใช้ "ก้อนสิวด้วยธนู" และรวม "ทั้งหมด" เหล่านี้ด้วยสีโดยเลือกองค์ประกอบสีแดง เรามี "สีแดง" มากมาย ตอนนี้เป็นคำถามที่ยาก: ชุดที่ได้รับ "พร้อมคันธนู" และ "สีแดง" เป็นชุดเดียวกันหรือสองชุดต่างกันหรือไม่ หมอผีเท่านั้นที่รู้คำตอบ แม่นยำยิ่งขึ้นพวกเขาเองไม่รู้อะไรเลย แต่อย่างที่พวกเขาพูดก็เป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีเซตนั้นไร้ประโยชน์อย่างสิ้นเชิงเมื่อพูดถึงความเป็นจริง ความลับคืออะไร? เราสร้างชุด "สิวเสี้ยนแดงติดโบว์" การก่อตัวเกิดขึ้นตามหน่วยการวัดที่แตกต่างกันสี่หน่วย: สี (สีแดง), ความแข็งแรง (ของแข็ง), ความหยาบ (เป็นรอย), ของประดับตกแต่ง (ด้วยธนู) มีเพียงชุดของหน่วยวัดเท่านั้นที่ทำให้สามารถอธิบายวัตถุจริงในภาษาของคณิตศาสตร์ได้อย่างเพียงพอ. นี่คือสิ่งที่ดูเหมือน

ตัวอักษร "a" ที่มีดัชนีต่างกันหมายถึงหน่วยวัดที่ต่างกัน ในวงเล็บ จะเน้นหน่วยของการวัดตามที่มีการจัดสรร "ทั้งหมด" ในขั้นตอนเบื้องต้น หน่วยวัดตามที่ตั้งชุดนั้นถูกนำออกจากวงเล็บ บรรทัดสุดท้ายแสดงผลสุดท้าย - องค์ประกอบของชุด อย่างที่คุณเห็น หากเราใช้หน่วยเพื่อสร้างเซต ผลลัพธ์จะไม่ขึ้นอยู่กับลำดับการกระทำของเรา และนี่คือคณิตศาสตร์ ไม่ใช่การเต้นรำของหมอผีกับรำมะนา หมอผีสามารถ "โดยสัญชาตญาณ" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เดียวกัน โดยโต้แย้งด้วย "ความชัดเจน" เนื่องจากหน่วยการวัดไม่รวมอยู่ในคลังแสง "ทางวิทยาศาสตร์" ของพวกเขา

ด้วยความช่วยเหลือของหน่วยวัด มันง่ายมากที่จะแยกย่อยหนึ่งหน่วย
วันนี้ทุกสิ่งที่เราไม่ได้ใช้เป็นของชุดใดชุดหนึ่ง (ตามที่นักคณิตศาสตร์รับรองกับเรา) อ้อ คุณเห็นรายการชุดที่คุณสังกัดอยู่ในกระจกบนหน้าผากของคุณหรือเปล่า? และฉันไม่เห็นรายการดังกล่าว ฉันจะพูดมากกว่านี้ - ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งเดียวที่มีแท็กพร้อมรายการชุดที่เป็นของสิ่งนี้ ชุดเป็นสิ่งประดิษฐ์ของหมอผี พวกเขาทำมันได้อย่างไร? มาดูประวัติศาสตร์ให้ลึกขึ้นอีกนิดและดูว่าองค์ประกอบของฉากนั้นเป็นอย่างไร ก่อนที่นักคณิตศาสตร์-หมอจะดึงพวกมันออกจากชุด

นานมาแล้ว เมื่อยังไม่มีใครเคยได้ยินวิชาคณิตศาสตร์ และมีเพียงต้นไม้และดาวเสาร์เท่านั้นที่มีวงแหวน ฝูงองค์ประกอบป่าจำนวนมากได้เดินเตร่ไปตามทุ่งทางกายภาพ พวกเขามีลักษณะเช่นนี้

ใช่ ไม่ต้องแปลกใจ จากมุมมองของคณิตศาสตร์ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตมีความคล้ายคลึงกันมากที่สุด เม่นทะเล- จากจุดหนึ่งเช่นเข็มหน่วยวัดจะยื่นออกมาในทุกทิศทาง สำหรับผู้ที่ ฉันเตือนคุณว่าหน่วยการวัดใดๆ สามารถแสดงทางเรขาคณิตเป็นส่วนของความยาวตามอำเภอใจและตัวเลขเป็นจุด ในเชิงเรขาคณิต ปริมาณใดๆ สามารถแสดงเป็นกลุ่มของส่วนที่ยื่นออกมาใน ด้านต่างๆจากจุดหนึ่ง จุดนี้เป็นจุดศูนย์ ฉันจะไม่วาดงานศิลปะเรขาคณิตนี้ (ไม่มีแรงบันดาลใจ) แต่คุณสามารถจินตนาการได้อย่างง่ายดาย

หน่วยวัดใดเป็นองค์ประกอบของเซต สิ่งใดที่อธิบายองค์ประกอบนี้จากมุมมองที่ต่างกัน เหล่านี้เป็นหน่วยวัดโบราณที่บรรพบุรุษของเราใช้และทุกคนลืมไปนานแล้ว เหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่ทันสมัยที่เราใช้ตอนนี้ สิ่งเหล่านี้เป็นหน่วยวัดที่เราไม่รู้จัก ซึ่งลูกหลานของเราจะเกิดขึ้นและจะใช้อธิบายความเป็นจริง

เราหารูปทรงเรขาคณิต - แบบจำลองที่เสนอขององค์ประกอบของชุดมีการแสดงทางเรขาคณิตที่ชัดเจน แล้วฟิสิกส์ล่ะ? หน่วยวัด - นี่คือการเชื่อมต่อโดยตรงระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากหมอไม่รู้จักหน่วยวัดว่าเป็นองค์ประกอบที่สมบูรณ์ของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ นี่แหละคือปัญหาของพวกเขา โดยส่วนตัวแล้วฉันไม่สามารถจินตนาการถึงวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงของคณิตศาสตร์ได้หากไม่มีหน่วยวัด นั่นคือเหตุผลที่ในตอนต้นของเรื่องราวเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ฉันพูดถึงมันในฐานะยุคหิน

แต่เรามาดูสิ่งที่น่าสนใจที่สุดกันดีกว่า - พีชคณิตขององค์ประกอบของเซต พีชคณิต องค์ประกอบของเซตเป็นผลคูณ (ผลคูณ) ของปริมาณต่าง ๆ ดูเหมือนนี้

ฉันไม่ได้ตั้งใจใช้อนุสัญญาที่นำมาใช้ในทฤษฎีเซต เนื่องจากเรากำลังพิจารณาองค์ประกอบของเซตในที่อยู่อาศัยตามธรรมชาติก่อนการถือกำเนิดของทฤษฎีเซต ตัวอักษรแต่ละคู่ในวงเล็บหมายถึงค่าที่แยกจากกัน ซึ่งประกอบด้วยตัวเลขที่ระบุด้วยตัวอักษร " น" และหน่วยวัดตามตัวอักษร " เอ" ดัชนีใกล้ตัวอักษรแสดงว่าตัวเลขและหน่วยวัดต่างกัน องค์ประกอบหนึ่งของชุดสามารถประกอบด้วยค่าจำนวนอนันต์ (ตราบใดที่เราและลูกหลานของเรามีจินตนาการเพียงพอ) แต่ละ วงเล็บแสดงทางเรขาคณิตโดยส่วนที่แยกจากกัน ในตัวอย่าง กับเม่นทะเล วงเล็บหนึ่งอันคือหนึ่งเข็ม

หมอผีสร้างชุดจากองค์ประกอบต่างๆ ได้อย่างไร อันที่จริงตามหน่วยวัดหรือตามตัวเลข โดยไม่เข้าใจอะไรเลยในวิชาคณิตศาสตร์ พวกเขาใช้เม่นทะเลที่แตกต่างกันและตรวจสอบอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเข็มเดียวที่ใช้สร้างชุด หากมีเข็มดังกล่าว ธาตุนี้ก็จะเป็นของชุด หากไม่มีเข็มดังกล่าว ธาตุนี้ก็ไม่ได้มาจากชุดนี้ หมอผีเล่าเรื่องนิทานให้เราฟัง กระบวนการคิดและทั้งหมดเดียว

อย่างที่คุณอาจเดาได้ องค์ประกอบเดียวกันสามารถอยู่ในชุดต่างๆ ได้ ต่อไป ฉันจะแสดงให้คุณเห็นว่าเซต เซตย่อย และเรื่องไร้สาระอื่นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไร

|BD| - ความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด A
α คือมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

แทนเจนต์ ( tgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของขาข้างเคียง |AB| .
โคแทนเจนต์ ( ctgα) เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของขาตรงข้าม |BC| .

แทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก แทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์ y = tg x

โคแทนเจนต์

ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ในวรรณคดีตะวันตก โคแทนเจนต์แสดงดังนี้:
.
สัญกรณ์ต่อไปนี้ยังถูกนำมาใช้:
;
;
.

กราฟของฟังก์ชันโคแทนเจนต์ y = ctg x

คุณสมบัติของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= tg xและ y= ctg xเป็นคาบที่มีคาบ π

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นค่าคี่

โดเมนของความหมายและค่า จากน้อยไปมาก จากมากไปน้อย

ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แสดงในตาราง ( น- จำนวนเต็ม)

	y= tg x	y= ctg x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง
ช่วงของค่า	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
จากน้อยไปมาก		-
จากมากไปน้อย	-
สุดขั้ว	-	-
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0	y= 0	-

สูตร

นิพจน์ในแง่ของไซน์และโคไซน์

; ;
; ;
;

สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและส่วนต่าง

สูตรที่เหลือหาได้ง่ายเช่น

ผลิตภัณฑ์ของแทนเจนต์

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; .

.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n เทียบกับตัวแปร x ของฟังก์ชัน :
.
ที่มาของสูตรแทนเจนต์ > > > ; สำหรับโคแทนเจนต์ > > >

ปริพันธ์

ขยายเป็นซีรีส์

เพื่อให้ได้การขยายตัวของแทนเจนต์ในยกกำลังของ x คุณต้องพิจารณาเงื่อนไขการขยายหลายชุดในอนุกรมกำลังสำหรับฟังก์ชัน บาป xและ cos xและแบ่งพหุนามเหล่านี้ออกจากกัน , . ส่งผลให้ได้สูตรดังต่อไปนี้

ที่ .

ที่ .
ที่ไหน บีน- เบอร์นูลลี พวกเขาจะถูกกำหนดอย่างใดอย่างหนึ่งจากความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
;
;
ที่ไหน .
หรือตามสูตรลาปลาซ:

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คืออาร์คแทนเจนต์และอาร์คโคแทนเจนต์ตามลำดับ

อาร์คแทนเจนต์ arctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

อาร์คแทนเจนต์ arcctg

, ที่ไหน น- ทั้งหมด.

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Researchers and Engineers, 2555.

ดูสิ่งนี้ด้วย:

บรรยาย: ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมใดๆ

ไซน์ โคไซน์ของมุมใดๆ

เพื่อให้เข้าใจว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติคืออะไร ให้เปลี่ยนเป็นวงกลมที่มีรัศมีหน่วย วงกลมนี้มีศูนย์กลางที่จุดกำเนิดบนระนาบพิกัด ในการกำหนดฟังก์ชันที่กำหนด เราจะใช้รัศมีเวกเตอร์ หรือซึ่งเริ่มต้นที่จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุด Rเป็นจุดบนวงกลม เวกเตอร์รัศมีนี้สร้างมุมอัลฟากับแกน โอ้. เนื่องจากวงกลมมีรัศมีเท่ากับหนึ่ง ดังนั้น หรือ = R = 1.

ถ้าจากจุด Rวางตั้งฉากบนแกน โอ้แล้วเราจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับหนึ่ง

ถ้าเวกเตอร์รัศมีเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา แล้ว ทิศทางนี้เรียกว่า เชิงลบแต่ถ้าหมุนทวนเข็มนาฬิกา - เชิงบวก.

ค่าไซน์ของมุม หรือ, เป็นพิกัดของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนดจำเป็นต้องกำหนดพิกัด ที่บนพื้นผิว

ค่านี้ได้รับมาอย่างไร? เนื่องจากเรารู้ว่าไซน์ของมุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก เราจึงได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว บาป (α) = y 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าพิกัดต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

ไซน์เป็นบวกในควอเตอร์แรกและไตรมาสที่สองของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นลบในควอเตอร์ที่สามและสี่

โคไซน์ของมุมวงกลมที่กำหนดโดยเวกเตอร์รัศมี หรือ, เป็น abscissa ของจุด Rเวกเตอร์บนวงกลม

นั่นคือเพื่อให้ได้ค่าโคไซน์ของมุมอัลฟาที่กำหนด จำเป็นต้องกำหนดพิกัด Xบนพื้นผิว

โคไซน์ของมุมใดๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก เราได้ค่านั้น

และตั้งแต่ R=1, แล้ว cos(α) = x 0 .

ในวงกลมหน่วย ค่าของ abscissa ต้องไม่น้อยกว่า -1 และมากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่า

โคไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่หนึ่งและสี่ของวงกลมหนึ่งหน่วย และเป็นลบในจตุภาคที่สองและสาม

แทนเจนต์มุมโดยพลการคำนวณอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์

หากเราพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน ถ้าเรากำลังพูดถึงวงกลมหนึ่งหน่วย นี่คืออัตราส่วนของพิกัดต่อ abscissa

เมื่อพิจารณาจากความสัมพันธ์เหล่านี้ เราสามารถเข้าใจได้ว่าแทนเจนต์ไม่สามารถมีอยู่ได้หากค่าของ abscissa เป็นศูนย์ นั่นคือ ที่มุม 90 องศา แทนเจนต์สามารถรับค่าอื่นทั้งหมดได้

แทนเจนต์เป็นบวกในควอเตอร์แรกและไตรมาสที่สามของวงกลมหน่วย และเป็นลบในควอเตอร์ที่สองและสี่

ความเป็นส่วนตัวของคุณมีความสำคัญต่อเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดอ่านนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้ระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งได้

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ต่อไปนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

ข้อมูลส่วนบุคคลใดที่เรารวบรวม:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมล ฯลฯ ของคุณ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่นๆ และกิจกรรมที่จะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและข้อความที่สำคัญถึงคุณ
• เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เราให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การแข่งขัน หรือสิ่งจูงใจที่คล้ายคลึงกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้มาเพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยต่อบุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณไปยังบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• ในกรณีที่มีความจำเป็น - ตามกฎหมาย คำสั่งศาล ในกระบวนการทางกฎหมาย และ / หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เราอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาแล้วว่าการเปิดเผยดังกล่าวจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือเหตุผลด้านสาธารณประโยชน์อื่นๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังผู้สืบทอดบุคคลที่สามที่เกี่ยวข้อง

การปกป้องข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้มาตรการป้องกัน - รวมทั้งการบริหาร ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้ในทางที่ผิด ตลอดจนจากการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

รักษาความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้แน่ใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราแจ้งหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด