Pravilo za rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Gaussova metoda za lutke: jednostavno rješavanje slougha

Neka je zadan sustav linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica hi koje svaku jednadžbu sustava pretvaraju u jednakost).

Znamo da sustav linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imajte jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi, koji je u svakom slučaju dovedite nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slučaja radi na isti način. Ako Cramerova i matrična metoda zahtijevaju poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno poznavanje samo aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sustava - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznanica, plus stupac slobodnih članova) sustavi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovoj metodi:

1) S Troky matrice limenka preurediti mjesta.

2) ako u matrici postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati.

4) redak matrice može množiti (dijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) u red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule.

U Gaussovoj metodi elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi.

Gaussova metoda sastoji se od dvije faze:

1. "Izravan potez" - pomoću elementarnih transformacija dovedite proširenu matricu sustava linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, ovoj vrsti:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednadžbu sustava linearnih algebarskih jednadžbi i koeficijent pri x 1 jednak je K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednadžbu (koeficijente za nepoznanice, uključujući slobodne članove) podijelimo s koeficijentom za nepoznanicu x 1 koji se nalazi u svakoj jednadžbi i pomnožimo s K. Nakon toga oduzmemo prvu od druge jednadžbe ( koeficijenti za nepoznanice i slobodni članovi). Dobivamo pri x 1 u drugoj jednadžbi koeficijent 0. Od treće transformirane jednadžbe oduzimamo prvu jednadžbu, tako da sve jednadžbe osim prve, s nepoznatim x 1, neće imati koeficijent 0.

2) Prijeđite na sljedeću jednadžbu. Neka je ovo druga jednadžba i koeficijent pri x 2 je jednak M. Sa svim "podređenim" jednadžbama postupamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznanice x 2 u svim jednadžbama bit će nule.

3) Prelazimo na sljedeću jednadžbu i tako dalje dok ne ostane još jedan posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

1. "Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi ("hod odozdo prema gore"). Iz posljednje "niže" jednadžbe dobivamo jedno prvo rješenje - nepoznanicu x n. Da bismo to učinili, rješavamo elementarnu jednadžbu A * x n \u003d B. U gornjem primjeru, x 3 \u003d 4. Zamjenjujemo pronađenu vrijednost u "gornjoj" sljedećoj jednadžbi i rješavamo je u odnosu na sljedeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u oblik koraka:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Učinimo to ovako:
1 korak . Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi redak s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Tko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

2 korak . Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem redu dodan je prvi redak pomnožen s 3.

3 korak . Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg retka je također promijenjen i pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom koraku imali željenu jedinicu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi redak pomnožen s 2.

5 korak . Treći red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na pogrešku u izračunima (rjeđe pogrešku pri upisu) je "loša" donja crta. To jest, ako smo dobili nešto poput (0 0 11 | 23) ispod, i, prema tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada s visokim stupnjem vjerojatnosti možemo reći da je napravljena pogreška tijekom osnovne transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera, sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se "uzimaju izravno iz zadane matrice". Obrnuti potez, podsjećam vas, radi "odozdo prema gore". U ovom primjeru, poklon je ispao:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dakle x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odgovor:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Riješimo isti sustav pomoću predloženog algoritma. Dobivamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednadžbu podijelimo s 5, a treću s 3. Dobijemo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednadžbu s 4, dobivamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmemo li prvu jednadžbu od druge i treće jednadžbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednadžbu s 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednadžbu s 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimamo drugu jednadžbu od treće jednadžbe, dobivamo "stepenastu" proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračuna, dobivamo x 3 \u003d 0,96, ili približno 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u izračunima i, unatoč računskim pogreškama, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi je lako programabilna i ne uzima u obzir specifičnosti koeficijenata za nepoznanice, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi s necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se u razredu! Učitelj Dmitry Aistrahanov.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Gaussova metoda je jednostavna! Zašto? Slavni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje najvećeg matematičara svih vremena, genijalca, pa čak i nadimak "Kralj matematike". A sve genijalno, kao što znate, jednostavno je! Usput, u novac ne padaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret se vijorio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se i danas zagonetno smiješi Nijemcima s običnih poštanskih markica.

Gaussova metoda je jednostavna utoliko što JE DOVOLJNO ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA da ju svladate. Mora znati zbrajati i množiti! Nije slučajno da metodu sukcesivnog uklanjanja nepoznanica često razmatraju učitelji na školskim izbornim predmetima matematike. Paradoksalno, ali Gaussova metoda zadaje najveće poteškoće učenicima. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati u pristupačnom obliku reći o algoritmu metode.

Prvo ćemo malo usustaviti znanja o sustavima linearnih jednadžbi. Sustav linearnih jednadžbi može:

1) Imajte jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).

Gaussova metoda je najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo koji sustavi linearnih jednadžbi. Kako se sjećamo Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Metoda sukcesivne eliminacije nepoznanica svejedno dovedite nas do odgovora! U ovoj lekciji ponovno ćemo razmatrati Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sustava), članak je rezerviran za situacije točaka br. 2-3. Napominjem da sam algoritam metode radi na isti način u sva tri slučaja.

Vratimo se najjednostavnijem sustavu iz lekcije Kako riješiti sustav linearnih jednadžbi?
i riješiti Gaussovom metodom.

Prvi korak je pisanje sustav proširene matrice:
. Po kojem principu se snimaju koeficijenti, mislim da svi mogu vidjeti. Okomita crta unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo precrtano radi lakšeg dizajna.

Referenca :Preporučam zapamtiti Pojmovi Linearna algebra. Matrica sustava je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznanice, u ovom primjeru matrica sustava: . Matrica proširenog sustava je ista matrica sustava plus stupac slobodnih članova, u ovom slučaju: . Bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom radi sažetosti.

Nakon što je proširena matrica sustava napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se također nazivaju elementarne transformacije.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Žice matrice limenka preurediti mjesta. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete sigurno preurediti prvi i drugi redak:

2) Ako u matrici postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi, tada slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici posljednja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: .

3) Ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj samo nule.

4) Redak matrice može biti množiti (dijeliti) za bilo koji broj različit od nule. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti s -3, a drugi red pomnožiti s 2: . Ova akcija vrlo korisno jer pojednostavljuje daljnje transformacije matrice.

5) Ova transformacija uzrokuje najviše poteškoća, ali zapravo nema ništa komplicirano. U red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule. Razmotrimo našu matricu iz studija slučaja: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red s -2: , i drugom retku dodamo prvi red pomnožen s -2: . Sada se prvi red može podijeliti "natrag" s -2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Je uvijek mijenja se linija, KOJOJ DOD UT.

U praksi, naravno, ne slikaju tako detaljno, već pišu kraće:

Još jednom: u drugu liniju dodao prvi red pomnožen s -2. Crta se obično množi usmeno ili na nacrtu, dok je mentalni tijek računanja otprilike ovakav:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

Prvo prvi stupac. Ispod trebam dobiti nulu. Stoga gornju jedinicu množim s -2: i dodajem prvu u drugi redak: 2 + (-2) = 0. Rezultat upisujem u drugi redak: »

“Sada drugi stupac. Iznad -1 puta -2: . Dodajem prvi u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: »

“I treći stupac. Iznad -5 puta -2: . Prvi redak dodajem drugom retku: -7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi redak: »

Molimo vas da pažljivo razmislite o ovom primjeru i shvatite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako to razumijete, onda je Gaussova metoda praktički "u vašem džepu". Ali, naravno, još uvijek radimo na ovoj transformaciji.

Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi

! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne može koristiti, ako vam se ponudi zadatak gdje su matrice zadane "same od sebe". Na primjer, s "klasičnim" matrice ni u kom slučaju ne smijete preuređivati ​​nešto unutar matrica!

Vratimo se našem sustavu. Ona je praktički razbijena u komade.

Napišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija svedimo je na stepenasti pogled:

(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s -2. I opet: zašto prvi redak množimo s -2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači riješiti se jedne varijable u drugom retku.

(2) Drugi red podijelite s 3.

Svrha elementarnih transformacija – pretvorite matricu u oblik koraka: . U oblikovanju zadatka izravno ističu jednostavnom olovkom"ljestve", a također zaokružite brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam pojam "stepenasti pogled" nije sasvim teorijski, u znanstvenoj i obrazovnoj literaturi često se tako naziva trapezoidni pogled ili trokutasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalent izvorni sustav jednadžbi:

Sada sustav treba "odvrnuti" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove reverzna Gaussova metoda.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .

Razmotrite prvu jednadžbu sustava i zamijenite već poznatu vrijednost "y" u nju:

Razmotrimo najčešću situaciju, kada je Gaussova metoda potrebna za rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice.

Primjer 1

Riješite sustav jednadžbi Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sustava:

Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći u tijeku rješenja:

I ponavljam, naš cilj je dovesti matricu u stepenasti oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje započeti s djelovanjem?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Općenito govoreći, -1 (a ponekad i drugi brojevi) će također odgovarati, ali nekako se tradicionalno dogodilo da se jedinica obično stavlja tamo. Kako organizirati jedinicu? Pogledamo prvi stupac - imamo gotovu jedinicu! Transformacija jedan: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prvi red ostati nepromijenjen do kraja rješenja. Sada dobro.

Jedinica u gornjem lijevom kutu je organizirana. Sada trebate dobiti nule na ovim mjestima:

Nule se dobivaju upravo uz pomoć "teške" transformacije. Prvo se bavimo drugom linijom (2, -1, 3, 13). Što treba učiniti da dobijemo nulu na prvoj poziciji? Potreba drugom retku dodajte prvi red pomnožen s -2. Mentalno ili na nacrtu, prvi redak množimo s -2: (-2, -4, 2, -18). I dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) zbrajanje, drugom retku dodamo prvi red, već pomnožen s -2:

Rezultat se upisuje u drugi red:

Slično, postupamo s trećom linijom (3, 2, -5, -1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate trećem retku dodajte prvi red pomnožen s -3. Mentalno ili na nacrtu, prvi redak množimo s -3: (-3, -6, 3, -27). I trećem retku dodamo prvi red pomnožen s -3:

Rezultat se upisuje u treći red:

U praksi se te radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe brojati sve odjednom i u isto vrijeme. Redoslijed izračuna i "umetanje" rezultata dosljedan a obično ovako: prvo prepišemo prvi redak, pa se tiho puhnemo - DOSLJEDNO i PAŽLJIVO:


I već sam gore razmotrio mentalni tijek samih izračuna.

U ovom primjeru to je lako učiniti, drugi red dijelimo s -5 (jer su svi brojevi tamo djeljivi s 5 bez ostatka). Istodobno dijelimo treći redak s -2, jer što je broj manji, to je rješenje jednostavnije:

U završnoj fazi elementarnih transformacija ovdje se mora dobiti još jedna nula:

Za ovo trećem retku dodamo drugi red, pomnožen s -2:


Pokušajte sami raščlaniti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi redak s -2 i izvedite zbrajanje.

Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, treću liniju podijelite s 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobiven je ekvivalentni početni sustav linearnih jednadžbi:

Cool.

Sada dolazi na scenu obrnuti tijek Gaussove metode. Jednadžbe se "odmotavaju" odozdo prema gore.

U trećoj jednadžbi već imamo gotov rezultat:

Pogledajmo drugu jednadžbu: . Značenje "z" je već poznato, dakle:

I na kraju, prva jednadžba: . "Y" i "Z" se znaju, stvar je mala:

Odgovor:

Kao što je više puta navedeno, za svaki sustav jednadžbi moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, srećom, to nije teško i brzo.

Primjer 2

Ovo je primjer za neovisno rješenje, ogledni završni detalj i odgovor na kraju lekcije.

Treba napomenuti da vaš tok akcije možda se ne poklapa s mojim smjerom djelovanja, a to je značajka Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!

Primjer 3

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u oblik koraka:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Ja sam ovo učinio:
(1) Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi redak s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Tko želi dobiti +1 može napraviti dodatnu gestu: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen s 3.

(3) Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg retka je također promijenjen i pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom koraku imali željenu jedinicu.

(4) Drugi redak pomnožen s 2 dodan je trećem redu.

(5) Treći red je podijeljen s 3.

Loš znak koji ukazuje na pogrešku u izračunu (rjeđe pogrešku pri upisu) je "loša" donja crta. To jest, ako dobijemo nešto kao ispod, i, prema tome, , onda se s velikim stupnjem vjerojatnosti može tvrditi da je učinjena pogreška u tijeku elementarnih transformacija.

Naplaćujemo obrnuti potez, u dizajnu primjera, sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se "uzimaju izravno iz zadane matrice". Obrnuti potez, podsjećam vas, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

Odgovor: .

Primjer 4

Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za neovisno rješenje, nešto je kompliciranije. U redu je ako se netko zbuni. Kompletno rješenje i ogledni dizajn na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog.

U posljednjem dijelu razmatramo neke značajke Gaussovog algoritma.
Prva značajka je da ponekad neke varijable nedostaju u jednadžbama sustava, na primjer:

Kako pravilno napisati proširenu matricu sustava? Već sam govorio o ovom trenutku u lekciji. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sustava stavili smo nule na mjesto varijabli koje nedostaju:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer već postoji jedna nula u prvom stupcu, a ima manje elementarnih transformacija koje treba izvesti.

Druga značajka je ova. U svim razmatranim primjerima stavili smo ili –1 ili +1 na “korake”. Mogu li postojati drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sustav: .

Ovdje na gornjoj lijevoj "stepenici" imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi s 2 bez ostatka - a drugi dva i šest. I dvojka gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku trebate izvršiti sljedeće transformacije: drugom retku dodati prvi redak pomnožen s -1; trećem retku dodajte prvi red pomnožen s -3. Tako ćemo u prvom stupcu dobiti željene nule.

Ili ovako uvjetni primjer: . Ovdje nam odgovara i trojka na drugoj “prečki” jer je 12 (mjesto gdje trebamo dobiti nulu) djeljivo s 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: u treću liniju dodajte drugu liniju, pomnoženu s -4, zbog čega ćemo dobiti nulu koja nam je potrebna.

Gaussova metoda je univerzalna, ali ima jednu osobitost. Možete pouzdano naučiti rješavati sustave drugim metodama (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno od prvog puta - postoji vrlo kruti algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, trebali biste "napuniti ruke" i riješiti barem 5-10 sustava. Stoga u početku može doći do zabune, pogrešaka u izračunima iu tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.

Kišno jesensko vrijeme izvan prozora .... Stoga, za sve više složen primjer za samostalno rješenje:

Primjer 5

Riješite sustav od četiri linearne jednadžbe s četiri nepoznanice koristeći Gaussovu metodu.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da čak i čajnik koji je detaljno proučio ovu stranicu intuitivno razumije algoritam za rješavanje takvog sustava. U osnovi isto - samo više akcije.

U lekciji Nekompatibilni sustavi i sustavi s općim rješenjem razmatraju se slučajevi u kojima sustav nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gaussove metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Riješenje : Zapišimo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedimo u stepenasti oblik.


Izvedene elementarne transformacije:
(1) Prvi red je dodan drugom retku, pomnožen s -2. Prvi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1. Pažnja! Ovdje bi moglo biti primamljivo oduzeti prvi od trećeg retka, snažno ne preporučujem oduzimanje - rizik od pogreške uvelike se povećava. Samo odustajemo!
(2) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s -1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka da se na “koracima” ne zadovoljimo samo s jedinicom, nego i s -1, što je još zgodnije.
(3) Trećem retku dodajte drugi redak pomnožen s 5.
(4) Promijenjen je predznak drugog retka (pomnoženo s -1). Treći red je podijeljen sa 14.

Obrnuti potez:

Odgovor: .

Primjer 4: Riješenje : Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u oblik koraka:

Provedene konverzije:
(1) Drugi red je dodan prvom retku. Tako je željena jedinica organizirana na gornjoj lijevoj “stepenici”.
(2) Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen sa 7. Trećem retku dodan je prvi redak pomnožen sa 6.

S drugim "korakom" sve je gore , "kandidati" za njega su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili -1. Transformacije (3) i (4) će biti usmjerene na dobivanje željene jedinice

(3) Drugi red je dodan trećem retku, pomnožen s -1.
(4) Treći redak, pomnožen s -3, dodan je drugom retku.
(3) Trećem retku dodan je drugi redak pomnožen s 4. Četvrtom redu dodan je drugi redak pomnožen s -1.
(4) Promijenjen je predznak drugog retka. Četvrti red je podijeljen s 3 i postavljen umjesto trećeg retka.
(5) Treći redak je dodan četvrtom retku, pomnožen s -5.

Obrnuti potez:

Neka je zadan sustav linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica hi koje svaku jednadžbu sustava pretvaraju u jednakost).

Znamo da sustav linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti nekompatibilan).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imajte jedinstveno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda nisu prikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja bilo kojeg sustava linearnih jednadžbi, koji je u svakom slučaju dovedite nas do odgovora! Algoritam metode u sva tri slučaja radi na isti način. Ako Cramerova i matrična metoda zahtijevaju poznavanje determinanti, onda je za primjenu Gaussove metode potrebno poznavanje samo aritmetičkih operacija, što je čini dostupnom i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sustava - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznanica, plus stupac slobodnih članova) sustavi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovoj metodi:

1) S Troky matrice limenka preurediti mjesta.

2) ako u matrici postoje (ili postoje) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi, onda slijedi izbrisati iz matrice, svi ovi redovi osim jednog.

3) ako se nulti redak pojavio u matrici tijekom transformacija, tada također slijedi izbrisati.

4) redak matrice može množiti (dijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) u red matrice, možete dodajte još jedan niz pomnožen s brojem, različit od nule.

U Gaussovoj metodi elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi.

Gaussova metoda sastoji se od dvije faze:

1. "Izravan potez" - pomoću elementarnih transformacija dovedite proširenu matricu sustava linearnih algebarskih jednadžbi u "trokutasti" stepenasti oblik: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje ). Na primjer, ovoj vrsti:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednadžbu sustava linearnih algebarskih jednadžbi i koeficijent pri x 1 jednak je K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednadžbu (koeficijente za nepoznanice, uključujući slobodne članove) podijelimo s koeficijentom za nepoznanicu x 1 koji se nalazi u svakoj jednadžbi i pomnožimo s K. Nakon toga oduzmemo prvu od druge jednadžbe ( koeficijenti za nepoznanice i slobodni članovi). Dobivamo pri x 1 u drugoj jednadžbi koeficijent 0. Od treće transformirane jednadžbe oduzimamo prvu jednadžbu, tako da sve jednadžbe osim prve, s nepoznatim x 1, neće imati koeficijent 0.

2) Prijeđite na sljedeću jednadžbu. Neka je ovo druga jednadžba i koeficijent pri x 2 je jednak M. Sa svim "podređenim" jednadžbama postupamo kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznanice x 2 u svim jednadžbama bit će nule.

3) Prelazimo na sljedeću jednadžbu i tako dalje dok ne ostane još jedan posljednji nepoznati i transformirani slobodni član.

1. "Obrnuti potez" Gaussove metode je dobivanje rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi ("hod odozdo prema gore"). Iz posljednje "niže" jednadžbe dobivamo jedno prvo rješenje - nepoznanicu x n. Da bismo to učinili, rješavamo elementarnu jednadžbu A * x n \u003d B. U gornjem primjeru, x 3 \u003d 4. Zamjenjujemo pronađenu vrijednost u "gornjoj" sljedećoj jednadžbi i rješavamo je u odnosu na sljedeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 - 4 \u003d 1, tj. x 2 \u003d 5. I tako dalje dok ne pronađemo sve nepoznanice.

Primjer.

Sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom, kako savjetuju neki autori:

Napišemo proširenu matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija je dovedemo u oblik koraka:

Gledamo gornju lijevu "stepenicu". Tamo bismo trebali imati jedinicu. Problem je što u prvom stupcu uopće nema nijednog, pa se ništa ne može riješiti preslagivanjem redova. U takvim slučajevima jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Učinimo to ovako:
1 korak . Prvom retku dodamo drugi red, pomnožen s -1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi redak s -1 i izvršili zbrajanje prvog i drugog retka, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo "minus jedan", što nam savršeno odgovara. Tko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: prvi red pomnožiti s -1 (promijeniti mu predznak).

2 korak . Drugom retku dodan je prvi redak pomnožen s 5. Trećem redu dodan je prvi redak pomnožen s 3.

3 korak . Prvi red je pomnožen s -1, u principu, ovo je za ljepotu. Predznak trećeg retka je također promijenjen i pomaknut na drugo mjesto, tako da smo na drugom koraku imali željenu jedinicu.

4 korak . Trećem redu dodajte drugi redak pomnožen s 2.

5 korak . Treći red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na pogrešku u izračunima (rjeđe pogrešku pri upisu) je "loša" donja crta. To jest, ako smo dobili nešto poput (0 0 11 | 23) ispod, i, prema tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, tada s visokim stupnjem vjerojatnosti možemo reći da je napravljena pogreška tijekom osnovne transformacije.

Izvodimo obrnuti potez, u dizajnu primjera, sam sustav se često ne prepisuje, a jednadžbe se "uzimaju izravno iz zadane matrice". Obrnuti potez, podsjećam vas, radi "odozdo prema gore". U ovom primjeru, poklon je ispao:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, dakle x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Odgovor:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Riješimo isti sustav pomoću predloženog algoritma. Dobivamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednadžbu podijelimo s 5, a treću s 3. Dobijemo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnožimo drugu i treću jednadžbu s 4, dobivamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmemo li prvu jednadžbu od druge i treće jednadžbe, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednadžbu s 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednadžbu s 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimamo drugu jednadžbu od treće jednadžbe, dobivamo "stepenastu" proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, budući da se greška nakupila u procesu izračuna, dobivamo x 3 \u003d 0,96, ili približno 1.

x 2 \u003d 3 i x 1 \u003d -1.

Rješavajući na ovaj način, nikada se nećete zbuniti u izračunima i, unatoč računskim pogreškama, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi je lako programabilna i ne uzima u obzir specifičnosti koeficijenata za nepoznanice, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora raditi s necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se u razredu! Tutor.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Jedan od najjednostavnijih načina rješavanja sustava linearnih jednadžbi je metoda koja se temelji na izračunavanju determinanti ( Cramerovo pravilo). Njegova prednost je što vam omogućuje da odmah snimite rješenje, posebno je pogodno u slučajevima kada koeficijenti sustava nisu brojevi, već neka vrsta parametara. Nedostatak mu je glomazan proračun u slučaju velikog broja jednadžbi, štoviše, Cramerovo pravilo nije izravno primjenjivo na sustave u kojima se broj jednadžbi ne poklapa s brojem nepoznanica. U takvim slučajevima obično se koristi Gaussova metoda.

Sustavi linearnih jednadžbi koji imaju isti skup rješenja nazivaju se ekvivalent. Očito je da se skup rješenja linearnog sustava neće promijeniti ako se bilo koja jednadžba zamijeni, ili ako se jedna od jednadžbi pomnoži s nekim brojem koji nije nula, ili ako se jedna jednadžba doda drugoj.

Gaussova metoda (metoda sukcesivne eliminacije nepoznanica) leži u činjenici da se uz pomoć elementarnih transformacija sustav reducira na ekvivalentni stupnjeviti sustav. Prvo, uz pomoć 1. jednadžbe, x 1 svih sljedećih jednadžbi sustava. Zatim, koristeći 2. jednadžbu, eliminiramo x 2 od 3. i sve sljedeće jednadžbe. Ovaj proces, tzv izravna Gaussova metoda, nastavlja se sve dok na lijevoj strani posljednje jednadžbe ne ostane samo jedna nepoznanica x n. Nakon toga se izrađuje Gaussovo obrnuto– rješavajući posljednju jednadžbu, nalazimo x n; nakon toga, koristeći ovu vrijednost, iz predzadnje jednadžbe izračunamo x n-1 itd. Zadnje što nađemo x 1 iz prve jednadžbe.

Pogodno je provesti Gaussove transformacije izvođenjem transformacija ne sa samim jednadžbama, već s matricama njihovih koeficijenata. Razmotrite matricu:

nazvao sustav proširene matrice, jer uz glavnu matricu sustava uključuje i stupac slobodnih članova. Gaussova metoda temelji se na dovođenju glavne matrice sustava u trokutasti oblik (ili trapezoidni oblik u slučaju nekvadratnih sustava) pomoću elementarnih transformacija reda (!) proširene matrice sustava.

Primjer 5.1. Riješite sustav Gaussovom metodom:

Riješenje. Napišimo proširenu matricu sustava i koristeći prvi red, nakon toga postavimo ostale elemente na nulu:

dobivamo nule u 2., 3. i 4. retku prvog stupca:

Sada trebamo da svi elementi u drugom stupcu ispod 2. reda budu jednaki nuli. Da biste to učinili, možete pomnožiti drugi redak s -4/7 i dodati u 3. redak. Međutim, kako ne bismo imali posla s razlomcima, stvorit ćemo jedinicu u 2. retku drugog stupca i samo

Sada, da biste dobili trokutastu matricu, trebate nulirati element četvrtog retka trećeg stupca, za to možete pomnožiti treći redak s 8/54 i dodati ga četvrtom. No, da ne bismo imali posla s razlomcima, zamijenit ćemo 3. i 4. red te 3. i 4. stupac, a tek nakon toga resetirati navedeni element. Imajte na umu da kada se stupci preuređuju, odgovarajuće varijable se mijenjaju i to morate zapamtiti; druge elementarne transformacije sa stupcima (zbrajanje i množenje brojem) ne mogu se izvoditi!

Posljednja pojednostavljena matrica odgovara sustavu jednadžbi ekvivalentnom izvornom:

Odavde, koristeći obrnuti tijek Gaussove metode, nalazimo iz četvrte jednadžbe x 3 = -1; iz trećeg x 4 = -2, od drugog x 2 = 2 i iz prve jednadžbe x 1 = 1. U matričnom obliku odgovor je zapisan kao

Razmotrili smo slučaj kada je sustav određen, tj. kada postoji samo jedno rješenje. Pogledajmo što se događa ako je sustav nedosljedan ili neodređen.

Primjer 5.2. Istražite sustav koristeći Gaussovu metodu:

Riješenje. Ispisujemo i transformiramo proširenu matricu sustava

Zapisujemo pojednostavljeni sustav jednadžbi:

Ovdje se u zadnjoj jednadžbi pokazalo da je 0=4, tj. kontradikcija. Dakle, sustav nema rješenja, tj. ona je nekompatibilan. à

Primjer 5.3. Istražite i riješite sustav koristeći Gaussovu metodu:

Riješenje. Ispisujemo i transformiramo proširenu matricu sustava:

Kao rezultat transformacija, samo su nule dobivene u zadnjem retku. To znači da se broj jednadžbi smanjio za jednu:

Dakle, nakon pojednostavljenja ostaju dvije jednadžbe, a četiri nepoznanice, tj. dva nepoznata "dodatna". Neka "suvišno", ili, kako kažu, slobodne varijable, hoće x 3 i xčetiri . Zatim

Pretpostavljajući x 3 = 2a i x 4 = b, dobivamo x 2 = 1–a i x 1 = 2b–a; ili u matričnom obliku

Ovako napisano rješenje naziva se Općenito, jer, davanjem parametara a i b različita značenja, sve možete opisati moguća rješenja sustava. a

1. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi

1.1 Pojam sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav jednadžbi je stanje koje se sastoji u istovremenom izvršavanju nekoliko jednadžbi u nekoliko varijabli. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi (dalje u tekstu SLAE) koji sadrži m jednadžbi i n nepoznanica je sustav oblika:

gdje se brojevi a ij nazivaju koeficijenti sustava, brojevi b i slobodni članovi, aij i b i(i=1,…, m; b=1,…, n) su neki poznati brojevi, a x 1 ,…, x n- nepoznato. U zapisu koeficijenata aij prvi indeks i označava broj jednadžbe, a drugi indeks j je broj nepoznanice na kojoj se taj koeficijent nalazi. Podložno pronalaženju broja x n . Pogodno je napisati takav sustav u obliku kompaktne matrice: AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, koja se naziva glavna matrica;

je vektor stupca nepoznatog xj.
je vektor stupca slobodnih članova bi.

Umnožak matrica A * X je definiran, budući da u matrici A ima onoliko stupaca koliko ima redaka u matrici X (n komada).

Proširena matrica sustava je matrica A sustava, dopunjena stupcem slobodnih članova

1.2 Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi

Rješenje sustava jednadžbi je uređeni skup brojeva (vrijednosti varijabli), kada ih zamijenite umjesto varijabli, svaka od jednadžbi sustava pretvara se u pravu jednakost.

Rješenje sustava je n vrijednosti nepoznanica x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, čijom se zamjenom sve jednadžbe sustava pretvaraju u prave jednakosti. Bilo koje rješenje sustava može se napisati kao matrica-stupac

Sustav jednadžbi nazivamo konzistentnim ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentnim ako nema rješenja.

Zglobni sustav naziva se određenim ako ima jedinstveno rješenje, a neodređenim ako ima više rješenja. U potonjem slučaju svako njegovo rješenje naziva se posebnim rješenjem sustava. Skup svih partikularnih rješenja naziva se općim rješenjem.

Riješiti sustav znači saznati je li konzistentan ili nekonzistentan. Ako je sustav kompatibilan, pronađite ga zajednička odluka.

Dva sustava nazivaju se ekvivalentnima (ekvivalentnima) ako imaju isto opće rješenje. Drugim riječima, sustavi su ekvivalentni ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog i obrnuto.

Transformacija čijom se primjenom sustav pretvara u novi sustav, ekvivalentna izvornoj, naziva se ekvivalentna ili ekvivalentna transformacija. Sljedeće transformacije mogu poslužiti kao primjeri ekvivalentnih transformacija: zamjena dviju jednadžbi sustava, zamjena dviju nepoznanica zajedno s koeficijentima svih jednadžbi, množenje oba dijela bilo koje jednadžbe sustava s brojem koji nije nula.

Sustav linearnih jednadžbi naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli:

Homogeni sustav je uvijek konzistentan, budući da je x1=x2=x3=…=xn=0 rješenje sustava. Ovo se rješenje naziva nultim ili trivijalnim.

2. Gaussova metoda eliminacije

2.1 Bit Gaussove metode eliminacije

Klasična metoda rješavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi je metoda sukcesivne eliminacije nepoznanica - Gaussova metoda(Također se naziva i Gaussova metoda eliminacije). Ovo je metoda sukcesivne eliminacije varijabli, kada se uz pomoć elementarnih transformacija sustav jednadžbi svodi na ekvivalentni sustav stepenastog (ili trokutastog) oblika, iz kojeg se sekvencijalno nalaze sve ostale varijable, počevši od posljednje (po broju) varijable.

Proces Gaussovog rješenja sastoji se od dvije faze: pomaka naprijed i natrag.

1. Izravan potez.

U prvoj fazi provodi se tzv. direktni pomak, kada se elementarnim transformacijama po redovima sustav dovodi do stupnjevitog ili trokutasti oblik, ili utvrditi da je sustav nedosljedan. Naime, među elementima prvog stupca matrice odabire se onaj različit od nule, permutiranjem redaka pomiče ga na najgornju poziciju, a prvi dobiveni redak nakon permutacije oduzima se od preostalih redaka i množi se s vrijednost jednaka omjeru prvog elementa svakog od ovih redaka prema prvom elementu prvog retka, postavljajući na nulu stupac ispod njega.

Nakon što su navedene transformacije napravljene, prvi redak i prvi stupac mentalno se prekrižu i nastavljaju dok ne ostane matrica nulte veličine. Ako u nekoj od iteracija među elementima prvog stupca nije pronađen jedan različit od nule, prijeđite na sljedeći stupac i izvršite sličnu operaciju.

U prvoj fazi (hod prema naprijed) sustav se svodi na stepenasti (osobito trokutasti) oblik.

Sustav u nastavku je postupan:

,

Koeficijenti aii nazivaju se glavnim (vodećim) elementima sustava.

(ako je a11=0, preuredite retke matrice tako da a 11 nije bila jednaka 0. To je uvijek moguće, jer inače matrica sadrži nulti stupac, njena determinanta je jednaka nuli i sustav je nekonzistentan).

Sustav transformiramo eliminirajući nepoznanicu x1 u svim jednadžbama osim u prvoj (koristeći elementarne transformacije sustava). Da biste to učinili, pomnožite obje strane prve jednadžbe s

i zbrajamo član po član s drugom jednadžbom sustava (ili od druge jednadžbe oduzimamo član po član prvi pomnožen s ). Zatim pomnožimo oba dijela prve jednadžbe s i dodamo ih trećoj jednadžbi sustava (ili oduzmemo prvi pomnožen s trećim članom po član). Dakle, uzastopno množimo prvi red s brojem i zbrajamo ja-th line, for i= 2, 3, …,n.

Nastavljajući ovaj proces, dobivamo ekvivalentni sustav:

– nove vrijednosti koeficijenata za nepoznanice i slobodne članove u posljednjim m-1 jednadžbama sustava, koje su određene formulama:

Tako se u prvom koraku ruše svi koeficijenti ispod prvog vodećeg elementa a 11

0, drugi korak uništava elemente ispod drugog vodećeg elementa a 22 (1) (ako je 22 (1) 0), i tako dalje. Nastavljajući ovaj proces dalje, konačno ćemo svesti izvorni sustav na trokutasti sustav na (m-1) koraku.

Ako se u procesu svođenja sustava na stupnjeviti oblik pojave nulte jednadžbe, tj. jednakosti oblika 0=0, one se odbacuju. Ako postoji jednadžba oblika

To ukazuje na nekompatibilnost sustava.

Time je izravni tijek Gaussove metode završen.

2. Obrnuti potez.

U drugoj fazi provodi se takozvani obrnuti pomak, čija je suština izraziti sve rezultirajuće osnovne varijable kroz nebazične i konstruirati temeljni sustav rješenja, ili, ako su sve varijable bazične, zatim numerički izraziti jedino rješenje sustava linearnih jednadžbi.

Ovaj postupak počinje s posljednjom jednadžbom, iz koje se izražava odgovarajuća osnovna varijabla (u njoj je samo jedna) i supstituira u prethodne jednadžbe, i tako dalje, idući "stepenicama" do vrha.

Svaki redak odgovara točno jednoj osnovnoj varijabli, tako da na svakom koraku, osim u zadnjem (najgornjem), situacija točno ponavlja slučaj posljednjeg retka.

Napomena: u praksi je prikladnije raditi ne sa sustavom, već s njegovom proširenom matricom, izvodeći sve elementarne transformacije na njenim redovima. Pogodno je da koeficijent a11 bude jednak 1 (preuredite jednadžbe ili obje strane jednadžbe podijelite s a11).

2.2 Primjeri rješavanja SLAE Gaussovom metodom

U ovom odjeljku, koristeći tri različita primjera, pokazat ćemo kako se Gaussova metoda može koristiti za rješavanje SLAE.

Primjer 1. Riješite SLAE 3. reda.

Postavite koeficijente na nulu na

u drugom i trećem redu. Da biste to učinili, pomnožite ih s 2/3 odnosno 1 i dodajte u prvi redak: