შეიძლება თუ არა კოტანგენსი იყოს 1-ზე მეტი. ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობები, მათი ფორმულირება და წარმოშობა. კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x

ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითს ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოვიდგინოთ შემდეგნაირად:

მათი საქმის ვიზუალურად დასამტკიცებლად მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც შამანების ცეკვას ტამბურთან. არსებითად, ისინი ყველა მიდიან იმ ფაქტზე, რომ ან ზოგიერთი ოთახი არ არის დაკავებული და მათში ახალი სტუმრები სახლდებიან, ან ზოგიერთ სტუმარს დერეფანში აგდებენ სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადაადგილებას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ სასტუმრო ოთახს, ერთ-ერთი სტუმარი ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორე ოთახში დროის ბოლომდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ დაწერილა“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკურ თეორიებზე ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? Infinity Inn არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის ვაკანსია, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ გაუთავებელ დერეფანში „ვიზიტორებისთვის“ ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი „სტუმრებისთვის“ ოთახებით. ასეთი დერეფნების უსასრულო რაოდენობა იქნება. ამავდროულად, „უსასრულო სასტუმროს“ აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის ღმერთების მიერ შექმნილ სამყაროებში. მათემატიკოსები კი ბანალურ ყოველდღიურ პრობლემებს ვერ შორდებიან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. ამიტომ მათემატიკოსები ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრების ჟონგლირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „გაუძარცველის გადაყრა“.

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითის გამოყენებით. ჯერ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი სიმრავლე არსებობს - ერთი თუ ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნებამ მშვენივრად იცის დათვლა, მაგრამ ამისთვის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ერთს ამ კომპლექტში, რადგან ის უკვე გვაქვს. რა მოხდება, თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ ერთეული უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრული აღნიშვნით და სიმრავლეების თეორიის აღნიშვნით, სიმრავლის ელემენტები დეტალურად ჩამოვთვალე. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას ერთი გამოაკლდება და იგივე დაემატება.

ვარიანტი ორი. თაროზე გვაქვს ბუნებრივი რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს, რომ ეს ელემენტები განსხვავებულ კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე, რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთ უსასრულო სიმრავლეს დაემატება კიდევ ერთი უსასრულო სიმრავლე, შედეგი არის ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სახაზავს ერთი სანტიმეტრი დაუმატეთ. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, დაფიქრდით, დგახართ თუ არა ცრუ მსჯელობის გზაზე, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობა არღვევს. მათემატიკის გაკვეთილები ხომ, უპირველეს ყოვლისა, აყალიბებს ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებენ გონებრივ შესაძლებლობებს (ან პირიქით, გვართმევენ თავისუფალ აზროვნებას).

pozg.ru

კვირა, 4 აგვისტო, 2019 წ

მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაზე:

ვკითხულობთ: „... მდიდარი თეორიული ფონიბაბილონის მათემატიკა არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილი იქნა განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებული საერთო სისტემადა მტკიცებულების ბაზა.

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. ჩვენთვის სუსტია თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოაღნიშნული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, პირადად მე მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარ თეორიულ საფუძველს არ აქვს ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი ციკლი მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო, 2019 წ

როგორ დავყოთ ნაკრები ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთ ელემენტში. განვიხილოთ მაგალითი.

შეიძლება ბევრი გვქონდეს მაგრამშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები იქმნება „ხალხის“ საფუძველზე. მოდით, ასოების მეშვეობით დავასახელოთ ამ ნაკრების ელემენტები ა, ნომრის მქონე ხელმოწერა მიუთითებს ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგით ნომერს. შემოვიღოთ ახალი საზომი ერთეული „სექსუალური მახასიათებელი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ. ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს მაგრამსქესზე ბ. გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენი "ხალხის" ნაკრები ახლა გახდა "ხალხის სქესის" ნაკრები. ამის შემდეგ შეგვიძლია სექსუალური მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალთა ბვგენდერული მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ერთ-ერთ ამ სექსუალურ მახასიათებელს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ის ადამიანშია, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: მამრობითი ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი ბვ. დაახლოებით ისევე მსჯელობენ მათემატიკოსები, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. მაგრამ ისინი არ გვიშვებენ დეტალებში, არამედ გვაძლევენ დასრულებულ შედეგს – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცების ქვეჯგუფისაგან და ქალების ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიჩნდეთ კითხვა, რამდენად სწორად გამოიყენება მათემატიკა ზემოთ ჩამოთვლილ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, რომ რეალურად გარდაქმნები სწორად არის გაკეთებული, საკმარისია ვიცოდეთ არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა მონაკვეთების მათემატიკური დასაბუთება. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, შესაძლებელია ორი კომპლექტის გაერთიანება ერთ სუპერსიმრავლეში საზომი ერთეულის არჩევით, რომელიც იმყოფება ამ ორი ნაკრების ელემენტებში.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის ნიშანი, რომ სიმრავლეების თეორიაში ყველაფერი კარგად არ არის, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ოდესღაც შამანებმა გააკეთეს. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ამ "ცოდნას" ისინი გვასწავლიან.

და ბოლოს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები.

ორშაბათი, 7 იანვარი, 2019 წ

მეხუთე საუკუნეში ძვ ძველი ბერძენი ფილოსოფოსიზენონ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია "აქილევსი და კუ". აი, როგორ ჟღერს:

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით ჩამორჩება მას. იმ დროის განმავლობაში, რომლის განმავლობაშიც აქილევსი ამ მანძილს გარბის, კუ ასი ნაბიჯით ცოცავს იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ას საფეხურს გაივლის, კუს კიდევ ათი ნაბიჯი დაცოცავს და ა.შ. პროცესი გაგრძელდება განუსაზღვრელი ვადით, აქილევსი ვერასდროს დაეწია კუს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი გახდა ყველა შემდგომი თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, გილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე ზენონის აპორიებს თვლიდა. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... დისკუსიები ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა პრობლემის საყოველთაოდ მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია"]. ყველას ესმის, რომ მათ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა მნიშვნელობიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენოს აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის მუდმივ ერთეულებს ურთიერთსაწინააღმდეგოზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, როგორც ჩანს, დრო ნელდება სრულ გაჩერებამდე იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს დაეწია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ შევეჩვიეთ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში „უსასრულობის“ ცნებას გამოვიყენებთ, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსაზღვროდ სწრაფად გაუსწრებს კუს“.

როგორ ავიცილოთ თავიდან ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ გადახვიდეთ საპასუხო მნიშვნელობებზე. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროს, რაც აქილევსს სჭირდება ათასი ნაბიჯის გასაშვებად, კუს ასი ნაბიჯის გადადგმა იმავე მიმართულებით. შემდეგი დროის ინტერვალის განმავლობაში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, კუს კი ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს ასე არ არის სრული გადაწყვეტაპრობლემები. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენონის აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჩვენ ჯერ კიდევ უნდა შევისწავლოთ, გადავხედოთ და გადავჭრათ ეს პრობლემა. და გამოსავალი უნდა ვეძებოთ არა უსასრულოდ დიდი რაოდენობით, არამედ გაზომვის ერთეულებში.

ზენონის კიდევ ერთი საინტერესო აპორია მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ეყრდნობა სივრცის სხვადასხვა წერტილს, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქ კიდევ ერთი მომენტია გასათვალისწინებელი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში გადაღებული ორი ფოტო, მაგრამ მათი გამოყენება მანძილის დასადგენად არ შეიძლება. მანქანამდე მანძილის დასადგენად საჭიროა ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ მათგან გადაადგილების ფაქტს ვერ განსაზღვრავთ (ბუნებრივია, გამოთვლებისთვის დამატებითი მონაცემები მაინც გჭირდებათ, ტრიგონომეტრია გამოგადგებათ). რაზე მინდა გავამახვილო ყურადღება Განსაკუთრებული ყურადღება, არის ის, რომ ორი წერტილი დროში და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი აძლევენ განსხვავებულ შესაძლებლობებს კვლევისთვის.

ოთხშაბათი, 4 ივლისი, 2018 წ

ეს უკვე გითხარით, რისი დახმარებითაც შამანები ცდილობენ "" რეალობის დალაგებას. როგორ აკეთებენ ამას? როგორ ხდება რეალურად ნაკრების ფორმირება?

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ კომპლექტის განმარტებას: „სხვადასხვა ელემენტების კრებული, ჩაფიქრებული როგორც ერთიანი მთლიანობა“. ახლა იგრძენით განსხვავება ორ ფრაზას შორის: „მთლიანად დასაფიქრებელი“ და „მთლიანად დასაფიქრებელი“. პირველი ფრაზა არის საბოლოო შედეგი, სიმრავლე. მეორე ფრაზა არის წინასწარი მომზადებასიმრავლის ჩამოყალიბებამდე. ამ ეტაპზე რეალობა იყოფა ცალკეულ ელემენტებად („მთელი“), საიდანაც შემდეგ ჩამოყალიბდება სიმრავლე („ერთი მთლიანობა“). ამავდროულად, საგულდაგულოდ მონიტორინგდება ის ფაქტორი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გააერთიანოთ "მთელი" "ერთ მთლიანობაში", წინააღმდეგ შემთხვევაში შამანები წარმატებას ვერ მიაღწევენ. შამანებმა ხომ წინასწარ იციან ზუსტად რა კომპლექტის ჩვენება სურთ.

მე გაჩვენებთ პროცესს მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ნივთები მშვილდით არის და არის მშვილდის გარეშე. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ხრიკი. ავიღოთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და გავაერთიანოთ ეს "მთლიანები" ფერის მიხედვით, შევარჩიოთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა რთული კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული ნაკრები? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო სწორედ, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი pimply ერთად მშვილდი". ფორმირება ხდებოდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (მუწუკში), დეკორაციები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე. აი, როგორ გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში ხაზგასმულია საზომი ერთეულები, რომლის მიხედვითაც წინასწარ ეტაპზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლის მიხედვითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვები ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ "ინტუიტიურად" მივიდნენ იმავე შედეგამდე, ამტკიცებენ მას "აშკარად", რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ "მეცნიერულ" არსენალში.

საზომი ერთეულების დახმარებით ძალიან ადვილია ერთის დაშლა
დღეს არის, რომ ყველაფერი, რასაც ჩვენ არ ვიღებთ, რაღაც კომპლექტს ეკუთვნის (როგორც მათემატიკოსები გვარწმუნებენ). სხვათა შორის, შენს შუბლზე სარკეში ნახე იმ კომპლექტების სია, რომლებსაც შენ ეკუთვნი? და ასეთი სია არ მინახავს. მეტსაც ვიტყვი - რეალობაში არც ერთ ნივთს არ აქვს ტეგი იმ კომპლექტების ჩამონათვალით, რომელსაც ეს ნივთი ეკუთვნის. ნაკრები შამანების გამოგონებაა. როგორ აკეთებენ ამას? მოდით, ცოტა ღრმად ჩავიხედოთ ისტორიაში და ვნახოთ, როგორ გამოიყურებოდა ნაკრების ელემენტები მანამ, სანამ მათემატიკოს-შამანები მათ თავიანთ ნაკრებებში დაშორდნენ.

დიდი ხნის წინ, როდესაც მათემატიკის შესახებ ჯერ არავის სმენია და მხოლოდ ხეებს და სატურნს ჰქონდათ რგოლები, კომპლექტების ველური ელემენტების უზარმაზარი ნახირი ტრიალებდა ფიზიკურ ველებზე (ბოლოს და ბოლოს, შამანებს ჯერ არ ჰქონდათ გამოგონილი მათემატიკური ველები). ისინი ასე გამოიყურებოდნენ.

დიახ, არ გაგიკვირდეთ, მათემატიკის თვალსაზრისით, კომპლექტების ყველა ელემენტი ყველაზე მეტად ჰგავს ზღვის ჭინკები- ერთი წერტილიდან, ნემსების მსგავსად, საზომი ერთეულები გამოდის ყველა მიმართულებით. მათთვის, ვინც შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი საზომი ერთეული შეიძლება გეომეტრიულად იყოს წარმოდგენილი, როგორც თვითნებური სიგრძის სეგმენტი, ხოლო რიცხვი, როგორც წერტილი. გეომეტრიულად, ნებისმიერი რაოდენობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც სეგმენტების შეკვრა სხვადასხვა მხარეებიერთი წერტილიდან. ეს წერტილი არის ნულოვანი წერტილი. მე არ დავხატავ გეომეტრიული ხელოვნების ამ ნაწარმოებს (შთაგონების გარეშე), მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად წარმოიდგინოთ იგი.

რა საზომი ერთეულები ქმნიან კომპლექტის ელემენტს? ნებისმიერი, რომელიც აღწერს ამ ელემენტს სხვადასხვა თვალსაზრისით. ეს არის უძველესი საზომი ერთეულები, რომლებსაც ჩვენი წინაპრები იყენებდნენ და რომლებიც ყველას დიდი ხანია დავიწყებული აქვს. ეს არის თანამედროვე საზომი ერთეულები, რომლებსაც ახლა ვიყენებთ. ეს არის ჩვენთვის უცნობი საზომი ერთეულები, რომლებსაც ჩვენი შთამომავლები გამოავლენენ და რომლებსაც გამოიყენებენ რეალობის აღსაწერად.

ჩვენ გავარკვიეთ გეომეტრია - ნაკრების ელემენტების შემოთავაზებულ მოდელს აქვს მკაფიო გეომეტრიული წარმოდგენა. და რაც შეეხება ფიზიკას? საზომი ერთეულები - ეს არის პირდაპირი კავშირი მათემატიკასა და ფიზიკას შორის. თუ შამანები არ აღიარებენ გაზომვის ერთეულებს მათემატიკური თეორიების სრულფასოვან ელემენტად, ეს მათი პრობლემაა. მე პირადად ვერ წარმომიდგენია მათემატიკის რეალური მეცნიერება საზომი ერთეულების გარეშე. სწორედ ამიტომ, სიმრავლეების თეორიის შესახებ მოთხრობის დასაწყისშივე ვსაუბრობდი მასზე, როგორც ქვის ხანაზე.

მაგრამ მოდით გადავიდეთ ყველაზე საინტერესოზე - კომპლექტების ელემენტების ალგებრაზე. ალგებრულად სიმრავლის ნებისმიერი ელემენტი არის სხვადასხვა სიდიდის ნამრავლი (გამრავლების შედეგი) ეს ასე გამოიყურება.

მე განზრახ არ გამოვიყენე სიმრავლეების თეორიაში მიღებული კონვენციები, ვინაიდან ჩვენ განვიხილავთ სიმრავლის ელემენტს ბუნებრივ ჰაბიტატში სიმრავლეების თეორიის მოსვლამდე. ფრჩხილებში თითოეული წყვილი ასო აღნიშნავს ცალკეულ მნიშვნელობას, რომელიც შედგება ასოთი მითითებული რიცხვისგან. ნ"და საზომი ერთეული, რომელიც მითითებულია ასოებით" აასოების მახლობლად ინდექსები მიუთითებს იმაზე, რომ რიცხვები და საზომი ერთეულები განსხვავებულია. ნაკრების ერთი ელემენტი შეიძლება შედგებოდეს უსასრულო რაოდენობის მნიშვნელობებისგან (სანამ ჩვენ და ჩვენს შთამომავლებს გვაქვს საკმარისი ფანტაზია). ფრჩხილი გეომეტრიულად გამოსახულია ცალკე სეგმენტით, ზღვის ზღარბის მაგალითში ერთი სამაგრი არის ერთი ნემსი.

როგორ ქმნიან შამანები კომპლექტს სხვადასხვა ელემენტისგან? სინამდვილეში, საზომი ერთეულებით ან რიცხვებით. მათემატიკაში ვერაფერი გაიგეს, ისინი იღებენ სხვადასხვა ზღვის ზღარბებს და გულდასმით იკვლევენ მათ იმ ერთი ნემსის საძიებლად, რომლითაც ისინი ქმნიან კომპლექტს. თუ არსებობს ასეთი ნემსი, მაშინ ეს ელემენტი ეკუთვნის კომპლექტს; თუ ასეთი ნემსი არ არის, ეს ელემენტი არ არის ამ ნაკრებიდან. შამანები მოგვითხრობენ ზღაპრებს აზროვნების პროცესებიდა ერთი მთლიანობა.

როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, იგივე ელემენტი შეიძლება მიეკუთვნებოდეს სხვადასხვა კომპლექტებს. შემდეგი, მე გაჩვენებთ, თუ როგორ იქმნება სიმრავლეები, ქვესიმრავლეები და სხვა შამანური სისულელეები.

|BD| - A წერტილზე ორიენტირებული წრის რკალის სიგრძე.
α არის რადიანებში გამოხატული კუთხე.

ტანგენტი ( tgα) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, უდრის მოპირდაპირე ფეხის სიგრძის თანაფარდობას |BC| მიმდებარე ფეხის სიგრძემდე |AB| .
კოტანგენსი ( ctgα) არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია კუთხიდან α ჰიპოტენუზასა და მართკუთხა სამკუთხედის წვერს შორის, ტოლია მიმდებარე ფეხის სიგრძის თანაფარდობის |AB| მოპირდაპირე ფეხის სიგრძემდე |ძვ.წ.| .

ტანგენტი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში ტანგენსი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
;
;
.

ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი, y = tg x

კოტანგენსი

სად ნ- მთლიანი.

დასავლურ ლიტერატურაში კოტანგენსი შემდეგნაირად აღინიშნება:
.
ასევე მიღებულია შემდეგი აღნიშვნა:
;
;
.

კოტანგენსი ფუნქციის გრაფიკი, y = ctg x

ტანგენსის და კოტანგენსის თვისებები

პერიოდულობა

ფუნქციები y= tg xდა y= ctg xპერიოდულია π პერიოდით.

პარიტეტი

ტანგენსი და კოტანგენსი ფუნქციები უცნაურია.

განსაზღვრებისა და ღირებულებების დომენები, აღმავალი, დაღმავალი

ფუნქციები ტანგენსი და კოტანგენსი უწყვეტია მათი განმარტების სფეროზე (იხ. უწყვეტობის მტკიცებულება). ტანგენსის და კოტანგენსის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში ( ნ- მთელი რიცხვი).

	y= tg x	y= ctg x
ფარგლები და უწყვეტობა
ღირებულებების დიაპაზონი	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
აღმავალი		-
Დაღმავალი	-
უკიდურესობები	-	-
ნულები, y= 0
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 0	-

ფორმულები

გამონათქვამები სინუსის და კოსინუსების თვალსაზრისით

; ;
; ;
;

ჯამისა და სხვაობის ტანგენტისა და კოტანგენსის ფორმულები

დანარჩენი ფორმულების მიღება მარტივია, მაგალითად

ტანგენტების პროდუქტი

ტანგენტების ჯამისა და სხვაობის ფორმულა

ეს ცხრილი აჩვენებს ტანგენტებისა და კოტანგენტების მნიშვნელობებს არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით

;
;

წარმოებულები

; .

.
n-ე რიგის წარმოებული ფუნქციის x ცვლადის მიმართ:
.
ტანგენტების ფორმულების წარმოშობა > > > ; კოტანგენტისთვის >>>

ინტეგრალები

გაფართოებები სერიებში

იმისათვის რომ მიიღოთ ტანგენსის გაფართოება x-ის სიმძლავრეებში, თქვენ უნდა აიღოთ გაფართოების რამდენიმე ტერმინი სიმძლავრის სერიაში ფუნქციებისთვის. ცოდვა xდა cos xდა გავყოთ ეს მრავალწევრები ერთმანეთში, . ეს იწვევს შემდეგ ფორმულებს.

ზე.

ზე.
სადაც B n- ბერნულის ნომრები. ისინი განისაზღვრება ან განმეორებითი ურთიერთობით:
;
;
სად .
ან ლაპლასის ფორმულის მიხედვით:

ინვერსიული ფუნქციები

ტანგენტისა და კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქციები არის არქტანგენსი და არკოტანგენსი, შესაბამისად.

არქტანგენტი, არქტგ

, სად ნ- მთლიანი.

რკალი ტანგენსი, რკალი

, სად ნ- მთლიანი.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
G. Korn, მათემატიკის სახელმძღვანელო მკვლევართა და ინჟინრებისთვის, 2012 წ.

Იხილეთ ასევე:

ლექცია: სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი, თვითნებური კუთხის კოტანგენსი

სინუსი, თვითნებური კუთხის კოსინუსი

იმის გასაგებად, თუ რა არის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, მივმართოთ წრეს ერთეული რადიუსით. ეს წრე ორიენტირებულია საწყისზე კოორდინატულ სიბრტყეზე. მოცემული ფუნქციების დასადგენად გამოვიყენებთ რადიუსის ვექტორს ან, რომელიც იწყება წრის ცენტრში და წერტილი რარის წერტილი წრეზე. ეს რადიუსის ვექტორი ღერძთან ქმნის ალფა კუთხეს ოჰ. ვინაიდან წრეს აქვს ერთის ტოლი რადიუსი, მაშინ ან = R = 1.

თუ წერტილიდან რჩამოაგდეს პერპენდიკულარი ღერძზე ოჰ, მაშინ მივიღებთ მართკუთხა სამკუთხედს ჰიპოტენუზით ერთის ტოლი.

თუ რადიუსის ვექტორი საათის ისრის მიმართულებით მოძრაობს, მაშინ ამ მიმართულებასდაურეკა უარყოფითი, მაგრამ თუ ის მოძრაობს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ - დადებითი.

კუთხის სინუსი ან, არის წერტილის ორდინატი რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას სინუსის მნიშვნელობის მისაღებად აუცილებელია კოორდინატის დადგენა ზეზედაპირზე.

როგორ იქნა მიღებული ეს ღირებულება? ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ, რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ sin(α) = y 0 .

ერთეულ წრეში ორდინატთა მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც იმას ნიშნავს

ერთეული წრის პირველ და მეორე მეოთხედში სინუსი დადებითია, მესამე და მეოთხეში კი უარყოფითი.

კუთხის კოსინუსირადიუსის ვექტორით წარმოქმნილი მოცემული წრე ან, არის წერტილის აბსცისა რვექტორები წრეზე.

ანუ მოცემული კუთხის ალფას კოსინუსის მნიშვნელობის მისაღებად საჭიროა კოორდინატის დადგენა Xზედაპირზე.

მართკუთხა სამკუთხედში თვითნებური კუთხის კოსინუსი არის მიმდებარე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, მივიღებთ რომ

და მას შემდეგ R=1, მაშინ cos(α) = x 0 .

ერთეულ წრეში აბსცისის მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს -1-ზე ნაკლები და 1-ზე მეტი, რაც ნიშნავს რომ

კოსინუსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მეოთხე კვადრატში, ხოლო უარყოფითია მეორე და მესამეში.

ტანგენსითვითნებური კუთხეგამოითვლება სინუსისა და კოსინუსის შეფარდება.

თუ გავითვალისწინებთ მართკუთხა სამკუთხედს, მაშინ ეს არის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობა მეზობელთან. თუ ვსაუბრობთ ერთეულ წრეზე, მაშინ ეს არის ორდინატის თანაფარდობა აბსცისასთან.

ამ მიმართებებით თუ ვიმსჯელებთ, შეიძლება გვესმოდეს, რომ ტანგენსი არ შეიძლება არსებობდეს, თუ აბსცისის მნიშვნელობა ნულია, ანუ 90 გრადუსიანი კუთხით. ტანგენტს შეუძლია მიიღოს ყველა სხვა მნიშვნელობა.

ტანგენსი დადებითია ერთეული წრის პირველ და მესამე მეოთხედში, ხოლო მეორე და მეოთხეში უარყოფითი.

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესის დროს და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, სამართალდამცავი ორგანოების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.