Κανόνας επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss. Μέθοδος Gauss για ανδρείκελα: επίλυση λάσπης εύκολα

Ας δοθεί ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, το οποίο πρέπει να λυθεί (να βρείτε τέτοιες τιμές των αγνώστων хi που μετατρέπουν κάθε εξίσωση του συστήματος σε ισότητα).

Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί:

1) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Έχετε μια μοναδική λύση.

Όπως θυμόμαστε, ο κανόνας του Cramer και η μέθοδος matrix είναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μέθοδος Gauss – το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσεων σε οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, που το σε κάθε περίπτωσηοδηγήστε μας στην απάντηση! Ο αλγόριθμος της μεθόδου και στις τρεις περιπτώσεις λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο. Εάν οι μέθοδοι Cramer και matrix απαιτούν γνώση καθοριστικών παραγόντων, τότε η εφαρμογή της μεθόδου Gauss απαιτεί γνώση μόνο αριθμητικών πράξεων, γεγονός που την καθιστά προσιτή ακόμη και σε μαθητές δημοτικού.

Εκτεταμένοι μετασχηματισμοί πίνακα ( αυτός είναι ο πίνακας του συστήματος - ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από τους συντελεστές των αγνώστων, συν μια στήλη ελεύθερων όρων)συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στη μέθοδο Gauss:

1) Με trokyμήτρες μπορώ τακτοποιώμέρη.

2) αν υπάρχουν (ή υπάρχουν) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία.

3) εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί επίσης διαγράφω.

4) η σειρά του πίνακα μπορεί πολλαπλασιάζω (διαιρώ)σε οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

5) στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν.

Στη μέθοδο Gauss, οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss αποτελείται από δύο στάδια:

1. "Άμεση κίνηση" - χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε μια "τριγωνική" κλιμακωτή μορφή: τα στοιχεία του εκτεταμένου πίνακα που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν (κίνηση από πάνω προς τα κάτω ). Για παράδειγμα, σε αυτό το είδος:

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

1) Ας θεωρήσουμε την πρώτη εξίσωση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και ο συντελεστής στο x 1 είναι ίσος με Κ. Η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις ως εξής: διαιρούμε κάθε εξίσωση (συντελεστές για αγνώστους, συμπεριλαμβανομένων των ελεύθερων όρων) με τον συντελεστή για άγνωστο x 1, που υπάρχει σε κάθε εξίσωση, και πολλαπλασιάζουμε με Κ. Μετά από αυτό, αφαιρούμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση ( συντελεστές για αγνώστους και ελεύθερους όρους). Παίρνουμε στο x 1 στη δεύτερη εξίσωση τον συντελεστή 0. Από την τρίτη μετασχηματισμένη εξίσωση αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση, άρα μέχρι όλες οι εξισώσεις εκτός από την πρώτη, με άγνωστο x 1, δεν θα έχουν συντελεστή 0.

2) Προχωρήστε στην επόμενη εξίσωση. Έστω αυτή η δεύτερη εξίσωση και ο συντελεστής στο x 2 είναι ίσος με Μ. Με όλες τις «υποτελείς» εξισώσεις, προχωράμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Έτσι, «κάτω» από τον άγνωστο x 2 σε όλες τις εξισώσεις θα είναι μηδενικά.

3) Περνάμε στην επόμενη εξίσωση και ούτω καθεξής μέχρι να παραμείνει ένας τελευταίος άγνωστος και μετασχηματισμένος ελεύθερος όρος.

1. Η "αντίστροφη κίνηση" της μεθόδου Gauss είναι να ληφθεί μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (η κίνηση "από κάτω προς τα πάνω"). Από την τελευταία "κατώτερη" εξίσωση παίρνουμε μια πρώτη λύση - τον άγνωστο x n. Για να γίνει αυτό, λύνουμε τη στοιχειώδη εξίσωση A * x n \u003d B. Στο παραπάνω παράδειγμα, x 3 \u003d 4. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην "άνω" επόμενη εξίσωση και την λύνουμε σε σχέση με το επόμενο άγνωστο. Για παράδειγμα, x 2 - 4 \u003d 1, δηλ. x 2 \u003d 5. Και ούτω καθεξής μέχρι να βρούμε όλα τα άγνωστα.

Παράδειγμα.

Επιλύουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, όπως συμβουλεύουν ορισμένοι συγγραφείς:

Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Ας το κάνουμε έτσι:
1 βήμα . Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά «μείον ένα», που μας ταιριάζει απόλυτα. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον ενέργεια: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

2 βήμα . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 5 προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

3 βήμα . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

4 βήμα . Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

5 βήμα . Η τρίτη γραμμή διαιρείται με 3.

Ένα σημάδι που υποδηλώνει σφάλμα στους υπολογισμούς (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια «κακή» κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι σαν (0 0 11 | 23) παρακάτω, και, κατά συνέπεια, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, τότε με υψηλό βαθμό πιθανότητας μπορούμε να πούμε ότι έγινε λάθος κατά τη διάρκεια του δημοτικού μεταμορφώσεις.

Εκτελούμε μια αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις "λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα". Η αντίστροφη κίνηση, σας υπενθυμίζω, λειτουργεί «από κάτω προς τα πάνω». Σε αυτό το παράδειγμα, το δώρο αποδείχθηκε:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, επομένως x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Απάντηση:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο αλγόριθμο. Παίρνουμε

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με 5 και την τρίτη με 3. Παίρνουμε:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση με 4, παίρνουμε:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση, έχουμε:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με το 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Πολλαπλασιάστε την τρίτη εξίσωση με 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την τρίτη εξίσωση, παίρνουμε τον «βαθμιδωτό» επαυξημένο πίνακα:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Έτσι, δεδομένου ότι ένα σφάλμα συσσωρεύτηκε στη διαδικασία των υπολογισμών, παίρνουμε x 3 \u003d 0,96 ή περίπου 1.

x 2 \u003d 3 και x 1 \u003d -1.

Λύνοντας με αυτόν τον τρόπο, δεν θα μπερδευτείτε ποτέ στους υπολογισμούς και, παρά τα λάθη υπολογισμού, θα έχετε το αποτέλεσμα.

Αυτή η μέθοδος επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι εύκολα προγραμματιζόμενη και δεν λαμβάνει υπόψη τα ειδικά χαρακτηριστικά των συντελεστών για αγνώστους, γιατί στην πράξη (σε οικονομικούς και τεχνικούς υπολογισμούς) πρέπει να ασχοληθεί κανείς με μη ακέραιους συντελεστές.

Σου εύχομαι επιτυχία! Τα λέμε στην τάξη! Δάσκαλος Ντμίτρι Αϊστραχάνοφ.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Η μέθοδος Gauss είναι εύκολη!Γιατί; Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Johann Carl Friedrich Gauss, κατά τη διάρκεια της ζωής του, έλαβε την αναγνώριση ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, μια ιδιοφυΐα, ακόμη και το παρατσούκλι «Βασιλιάς των Μαθηματικών». Και κάθε τι έξυπνο, όπως γνωρίζετε, είναι απλό!Παρεμπιπτόντως, όχι μόνο κορόιδα, αλλά και ιδιοφυΐες πέφτουν στα χρήματα - το πορτρέτο του Γκάους επιδεικνύεται σε έναν λογαριασμό 10 γερμανικών μάρκων (πριν από την εισαγωγή του ευρώ) και ο Γκάους εξακολουθεί να χαμογελά μυστηριωδώς στους Γερμανούς από συνηθισμένα γραμματόσημα.

Η μέθοδος Gauss είναι απλή στο ότι ΑΡΚΕΙ Η ΓΝΩΣΗ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΤΗ ΕΜΠΤΗΣ ΤΑΞΗΣ για να την κατακτήσει. Πρέπει να μπορεί να προσθέτει και να πολλαπλασιάζει!Δεν είναι τυχαίο ότι η μέθοδος της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων εξετάζεται συχνά από τους δασκάλους στα μαθήματα μαθηματικών του σχολείου. Είναι παράδοξο, αλλά η μέθοδος Gauss προκαλεί τις μεγαλύτερες δυσκολίες στους μαθητές. Τίποτα περίεργο - είναι όλα σχετικά με τη μεθοδολογία και θα προσπαθήσω να πω σε μια προσιτή μορφή για τον αλγόριθμο της μεθόδου.

Αρχικά, συστηματοποιούμε λίγο τη γνώση για τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί:

1) Έχετε μια μοναδική λύση.
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).

Η μέθοδος Gauss είναι το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσης όποιοςσυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Όπως θυμόμαστε Κανόνας Cramer και μέθοδος μήτραςείναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ΤΕΛΟΣ παντωνοδηγήστε μας στην απάντηση! Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε ξανά τη μέθοδο Gauss για την περίπτωση Νο. 1 (η μόνη λύση στο σύστημα), το άρθρο προορίζεται για τις καταστάσεις των σημείων Νο. 2-3. Σημειώνω ότι ο ίδιος ο αλγόριθμος της μεθόδου λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο και στις τρεις περιπτώσεις.

Ας επιστρέψουμε στο πιο απλό σύστημα από το μάθημα Πώς να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων;
και να το λύσουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Το πρώτο βήμα είναι να γράψεις σύστημα εκτεταμένης μήτρας:
. Με ποια αρχή καταγράφονται οι συντελεστές, νομίζω ότι όλοι μπορούν να δουν. Η κάθετη γραμμή μέσα στη μήτρα δεν έχει μαθηματική σημασία - είναι απλώς μια διαγράμμιση για ευκολία σχεδίασης.

Αναφορά :Συνιστώ να θυμάστε όροιγραμμική άλγεβρα. Σύστημα Matrixείναι ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από συντελεστές για αγνώστους, σε αυτό το παράδειγμα, ο πίνακας του συστήματος: . Εκτεταμένη μήτρα συστήματοςείναι ο ίδιος πίνακας του συστήματος συν μια στήλη ελεύθερων όρων, στην περίπτωση αυτή: . Οποιοσδήποτε από τους πίνακες μπορεί να ονομαστεί απλώς μήτρα για συντομία.

Αφού γραφτεί ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες με αυτόν, οι οποίες ονομάζονται επίσης στοιχειώδεις μεταμορφώσεις.

Υπάρχουν οι παρακάτω στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

1) Χορδέςμήτρες μπορώ τακτοποιώμέρη. Για παράδειγμα, στον υπό εξέταση πίνακα, μπορείτε να αναδιατάξετε με ασφάλεια την πρώτη και τη δεύτερη σειρά:

2) Εάν υπάρχουν (ή εμφανίζονται) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Σε αυτόν τον πίνακα, οι τρεις τελευταίες σειρές είναι αναλογικές, επομένως αρκεί να αφήσετε μόνο μία από αυτές: .

3) Εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί και αυτή διαγράφω. Δεν θα τραβήξω, φυσικά, η μηδενική γραμμή είναι η γραμμή στην οποία μόνο μηδενικά.

4) Η σειρά του πίνακα μπορεί να είναι πολλαπλασιάζω (διαιρώ)για οποιοδήποτε αριθμό μη μηδενικό. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον πίνακα . Εδώ είναι σκόπιμο να διαιρέσετε την πρώτη γραμμή με -3 και να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με 2: . Αυτή η ενέργειαπολύ χρήσιμο καθώς απλοποιεί περαιτέρω μετασχηματισμούς πινάκων.

5) Αυτή η μεταμόρφωση προκαλεί τις περισσότερες δυσκολίες, αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο. Στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν. Εξετάστε τη μήτρα μας από μελέτη περίπτωσης: . Αρχικά, θα περιγράψω τη μεταμόρφωση με μεγάλη λεπτομέρεια. Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με -2: , και στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -2: . Τώρα η πρώτη γραμμή μπορεί να διαιρεθεί "πίσω" με -2: . Όπως μπορείτε να δείτε, η γραμμή που είναι ΠΡΟΣΘΗΚΗ LI – δεν έχει αλλάξει. Είναι πάντααλλάζει η γραμμή, ΣΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΠΡΟΣΘΗΚΑΝ UT.

Στην πράξη, φυσικά, δεν ζωγραφίζουν με τόση λεπτομέρεια, αλλά γράφουν πιο σύντομα:

Για άλλη μια φορά: στη δεύτερη γραμμή πρόσθεσε την πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με -2. Η γραμμή συνήθως πολλαπλασιάζεται προφορικά ή σε προσχέδιο, ενώ η νοητική πορεία των υπολογισμών είναι κάπως έτσι:

«Ξαναγράφω τη μήτρα και ξαναγράφω την πρώτη σειρά: »

Πρώτη στήλη πρώτα. Παρακάτω πρέπει να πάρω το μηδέν. Επομένως, πολλαπλασιάζω την παραπάνω μονάδα με -2: και προσθέτω την πρώτη στη δεύτερη γραμμή: 2 + (-2) = 0. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Τώρα η δεύτερη στήλη. Πάνω από -1 φορές -2: . Προσθέτω το πρώτο στη δεύτερη γραμμή: 1 + 2 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

«Και η τρίτη στήλη. Πάνω από -5 φορές -2: . Προσθέτω την πρώτη γραμμή στη δεύτερη γραμμή: -7 + 10 = 3. Γράφω το αποτέλεσμα στη δεύτερη γραμμή: »

Σκεφτείτε προσεκτικά αυτό το παράδειγμα και κατανοήστε τον αλγόριθμο διαδοχικών υπολογισμών, εάν το καταλαβαίνετε αυτό, τότε η μέθοδος Gauss είναι πρακτικά "στην τσέπη σας". Αλλά, φυσικά, εξακολουθούμε να εργαζόμαστε για αυτόν τον μετασχηματισμό.

Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων

! ΠΡΟΣΟΧΗ: θεωρούνται χειρισμοί δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει, εάν σας προσφερθεί μια εργασία όπου οι πίνακες δίνονται "από μόνοι τους". Για παράδειγμα, με το "κλασικό" μήτρεςσε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αναδιατάξετε κάτι μέσα στους πίνακες!

Ας επιστρέψουμε στο σύστημά μας. Είναι πρακτικά σπασμένη σε κομμάτια.

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον αναγάγουμε σε κλιμακωτή όψη:

(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Και πάλι: γιατί πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με -2; Για να πάρετε το μηδέν στο κάτω μέρος, που σημαίνει να απαλλαγείτε από μια μεταβλητή στη δεύτερη γραμμή.

(2) Διαιρέστε τη δεύτερη σειρά με το 3.

Ο σκοπός των στοιχειωδών μετασχηματισμών – μετατρέψτε τη μήτρα σε μορφή βήματος: . Στο σχεδιασμό της εργασίας, τονίζουν άμεσα με ένα απλό μολύβι"σκάλα", και επίσης κυκλώστε τους αριθμούς που βρίσκονται στα "σκαλοπάτια". Ο ίδιος ο όρος «βηματική άποψη» δεν είναι εντελώς θεωρητικός· στην επιστημονική και εκπαιδευτική βιβλιογραφία, συχνά ονομάζεται τραπεζοειδής όψηή τριγωνική όψη.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, έχουμε αποκτήσει ισοδύναμοςαρχικό σύστημα εξισώσεων:

Τώρα το σύστημα πρέπει να "ξεστρέψει" προς την αντίθετη κατεύθυνση - από κάτω προς τα πάνω, αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφη μέθοδος Gauss.

Στην κάτω εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα: .

Εξετάστε την πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαταστήστε την ήδη γνωστή τιμή του "y" σε αυτήν:

Ας εξετάσουμε την πιο κοινή κατάσταση, όταν η μέθοδος Gauss απαιτείται για την επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Παράδειγμα 1

Να λύσετε το σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος:

Τώρα θα σχεδιάσω αμέσως το αποτέλεσμα στο οποίο θα καταλήξουμε στην πορεία της λύσης:

Και επαναλαμβάνω, στόχος μας είναι να φέρουμε τη μήτρα σε μια κλιμακωτή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Από πού να αρχίσετε να αναλαμβάνετε δράση;

Αρχικά, κοιτάξτε τον επάνω αριστερό αριθμό:

Θα έπρεπε να είναι σχεδόν πάντα εδώ μονάδα. Σε γενικές γραμμές, το -1 (και μερικές φορές άλλοι αριθμοί) θα ταιριάζει επίσης, αλλά κατά κάποιο τρόπο παραδοσιακά συνέβαινε μια μονάδα να τοποθετείται συνήθως εκεί. Πώς να οργανώσετε μια μονάδα; Κοιτάμε την πρώτη στήλη - έχουμε μια ολοκληρωμένη μονάδα! Μεταμόρφωση 1: αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

Τώρα η πρώτη γραμμή θα παραμείνει αμετάβλητη μέχρι το τέλος της λύσης. Τώρα μια χαρά.

Η μονάδα πάνω αριστερά είναι οργανωμένη. Τώρα πρέπει να λάβετε μηδενικά σε αυτά τα μέρη:

Τα μηδενικά λαμβάνονται μόνο με τη βοήθεια ενός «δύσκολου» μετασχηματισμού. Αρχικά, ασχολούμαστε με τη δεύτερη γραμμή (2, -1, 3, 13). Τι πρέπει να γίνει για να πάρει το μηδέν στην πρώτη θέση; Χρειάζομαι στη δεύτερη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -2. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -2: (-2, -4, 2, -18). Και πραγματοποιούμε με συνέπεια (πάλι νοερά ή σε προσχέδιο) προσθήκη, στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή, που έχει ήδη πολλαπλασιαστεί με -2:

Το αποτέλεσμα γράφεται στη δεύτερη γραμμή:

Αντίστοιχα ασχολούμαστε με την τρίτη γραμμή (3, 2, -5, -1). Για να πάρετε το μηδέν στην πρώτη θέση, χρειάζεστε στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Διανοητικά ή σε προσχέδιο, πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με -3: (-3, -6, 3, -27). Και στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί -3:

Το αποτέλεσμα γράφεται στην τρίτη γραμμή:

Στην πράξη, αυτές οι ενέργειες συνήθως εκτελούνται προφορικά και γράφονται σε ένα βήμα:

Δεν χρειάζεται να μετράτε τα πάντα ταυτόχρονα και ταυτόχρονα. Η σειρά των υπολογισμών και η «εισαγωγή» των αποτελεσμάτων σταθερόςκαι συνήθως έτσι: πρώτα ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή, και φουσκώνουμε ήσυχα - ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ:


Και έχω ήδη εξετάσει τη νοητική πορεία των ίδιων των υπολογισμών παραπάνω.

Σε αυτό το παράδειγμα, αυτό είναι εύκολο να γίνει, διαιρούμε τη δεύτερη γραμμή με -5 (καθώς όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 5 χωρίς υπόλοιπο). Ταυτόχρονα, διαιρούμε την τρίτη γραμμή με -2, γιατί όσο μικρότερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο απλή είναι η λύση:

Στο τελικό στάδιο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, πρέπει να ληφθεί ένα ακόμη μηδέν εδώ:

Για αυτό στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -2:


Προσπαθήστε να αναλύσετε αυτήν την ενέργεια μόνοι σας - πολλαπλασιάστε νοερά τη δεύτερη γραμμή με -2 και πραγματοποιήστε την πρόσθεση.

Η τελευταία ενέργεια που εκτελείται είναι το χτένισμα του αποτελέσματος, διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 3.

Ως αποτέλεσμα στοιχειωδών μετασχηματισμών, προέκυψε ένα ισοδύναμο αρχικό σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

Δροσερός.

Τώρα μπαίνει στο παιχνίδι η αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss. Οι εξισώσεις «ξετυλίγονται» από κάτω προς τα πάνω.

Στην τρίτη εξίσωση, έχουμε ήδη το τελικό αποτέλεσμα:

Ας δούμε τη δεύτερη εξίσωση: . Η έννοια του "z" είναι ήδη γνωστή, επομένως:

Και τέλος, η πρώτη εξίσωση: . Το "Y" και το "Z" είναι γνωστά, το θέμα είναι μικρό:

Απάντηση:

Όπως έχει επανειλημμένα σημειωθεί, για οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεων, είναι δυνατό και απαραίτητο να ελεγχθεί η λύση που βρέθηκε, ευτυχώς, αυτό δεν είναι δύσκολο και γρήγορο.

Παράδειγμα 2

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για ανεξάρτητη λύση, ένα δείγμα τελικής πινελιάς και μια απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σας πορεία δράσηςμπορεί να μην συμπίπτει με την πορεία δράσης μου, και αυτό είναι χαρακτηριστικό της μεθόδου Gauss. Αλλά οι απαντήσεις πρέπει να είναι ίδιες!

Παράδειγμα 3

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Έκανα αυτό:
(1) Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά «μείον ένα», που μας ταιριάζει απόλυτα. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον χειρονομία: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 5 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

(3) Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

(4) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη επί 2 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

(5) Η τρίτη σειρά χωρίστηκε με 3.

Ένα κακό σημάδι που υποδεικνύει σφάλμα υπολογισμού (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια "κακή" κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι όπως παρακάτω, και, κατά συνέπεια, , τότε με μεγάλο βαθμό πιθανότητας μπορεί να υποστηριχθεί ότι έγινε σφάλμα κατά την πορεία στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Φορτίζουμε την αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις «λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα». Η αντίστροφη κίνηση, σας θυμίζω, λειτουργεί από κάτω προς τα πάνω. Ναι, εδώ είναι ένα δώρο:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση, είναι κάπως πιο περίπλοκη. Δεν πειράζει αν κάποιος μπερδευτεί. Ολοκληρωμένη Λύσηκαι δείγμα σχεδίου στο τέλος του μαθήματος. Η λύση σας μπορεί να διαφέρει από τη δική μου.

Στο τελευταίο μέρος, εξετάζουμε ορισμένα χαρακτηριστικά του αλγορίθμου Gauss.
Το πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι μερικές φορές λείπουν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις του συστήματος, για παράδειγμα:

Πώς να γράψετε σωστά τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος; Μίλησα ήδη για αυτή τη στιγμή στο μάθημα. Ο κανόνας του Cramer. Μέθοδος μήτρας. Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, βάζουμε μηδενικά στη θέση των μεταβλητών που λείπουν:

Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι ένα αρκετά εύκολο παράδειγμα, καθώς υπάρχει ήδη ένα μηδέν στην πρώτη στήλη και υπάρχουν λιγότεροι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί για εκτέλεση.

Το δεύτερο χαρακτηριστικό είναι αυτό. Σε όλα τα παραδείγματα που εξετάστηκαν, τοποθετήσαμε είτε –1 είτε +1 στα «βήματα». Θα μπορούσαν να υπάρχουν άλλοι αριθμοί; Σε ορισμένες περιπτώσεις μπορούν. Σκεφτείτε το σύστημα: .

Εδώ στο πάνω αριστερό «σκαλοπάτι» έχουμε ένα δίδυμο. Παρατηρούμε όμως το γεγονός ότι όλοι οι αριθμοί της πρώτης στήλης διαιρούνται με το 2 χωρίς υπόλοιπο - και άλλους δύο και έξι. Και το δίδυμο πάνω αριστερά θα μας ταιριάζει! Στο πρώτο βήμα, πρέπει να εκτελέσετε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 στη δεύτερη γραμμή. στην τρίτη γραμμή προσθέστε την πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -3. Έτσι, θα πάρουμε τα επιθυμητά μηδενικά στην πρώτη στήλη.

Ή αλλιώς όπως αυτό υπό όρους παράδειγμα: . Εδώ μας ταιριάζει και το τριπλό στο δεύτερο «σκαλοπάτι», αφού το 12 (το μέρος που πρέπει να πάρουμε το μηδέν) διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο. Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ο ακόλουθος μετασχηματισμός: στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -4, ως αποτέλεσμα της οποίας θα ληφθεί το μηδέν που χρειαζόμαστε.

Η μέθοδος Gauss είναι καθολική, αλλά υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Μπορείτε να μάθετε με σιγουριά πώς να επιλύετε συστήματα με άλλες μεθόδους (μέθοδος Cramer, μέθοδος μήτρας) κυριολεκτικά από την πρώτη φορά - υπάρχει ένας πολύ άκαμπτος αλγόριθμος. Αλλά για να αισθάνεστε σίγουροι για τη μέθοδο Gauss, θα πρέπει να «γεμίσετε το χέρι σας» και να λύσετε τουλάχιστον 5-10 συστήματα. Επομένως, στην αρχή μπορεί να υπάρξει σύγχυση, λάθη στους υπολογισμούς και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή τραγικό σε αυτό.

Βροχερός φθινοπωρινός καιρός έξω από το παράθυρο .... Επομένως, για όλους περισσότερο σύνθετο παράδειγμαγια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 5

Να λύσετε ένα σύστημα τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Ένα τέτοιο έργο στην πράξη δεν είναι τόσο σπάνιο. Νομίζω ότι ακόμη και μια τσαγιέρα που έχει μελετήσει λεπτομερώς αυτήν τη σελίδα κατανοεί τον αλγόριθμο για την επίλυση ενός τέτοιου συστήματος διαισθητικά. Βασικά το ίδιο - απλώς περισσότερη δράση.

Οι περιπτώσεις που το σύστημα δεν έχει λύσεις (ασυνεπές) ή έχει άπειρες λύσεις εξετάζονται στο μάθημα Ασυμβίβαστα συστήματα και συστήματα με γενική λύση. Εκεί μπορείτε να διορθώσετε τον εξεταζόμενο αλγόριθμο της μεθόδου Gauss.

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση : Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ας τον φέρουμε σε κλιμακωτή μορφή.


Πραγματοποιήθηκαν στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:
(1) Η πρώτη σειρά προστέθηκε στη δεύτερη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη επί -2. Η πρώτη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Προσοχή!Εδώ μπορεί να είναι δελεαστικό να αφαιρέσετε την πρώτη από την τρίτη γραμμή, δεν συνιστώ ανεπιφύλακτα την αφαίρεση - ο κίνδυνος σφάλματος αυξάνεται πολύ. Απλώς διπλώνουμε!
(2) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή έχουν αλλάξει. Σημείωσηότι στα «σκαλιά» δεν αρκούμε μόνο σε ένα, αλλά και με -1, που είναι ακόμα πιο βολικό.
(3) Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 5.
(4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής άλλαξε (πολλαπλασιάστηκε με -1). Η τρίτη γραμμή χωρίστηκε με το 14.

Αντίστροφη κίνηση:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 4: Λύση : Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Μετατροπές που πραγματοποιήθηκαν:
(1) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην πρώτη γραμμή. Έτσι, η επιθυμητή μονάδα οργανώνεται στο επάνω αριστερό «σκαλοπάτι».
(2) Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 7 προστέθηκε στη δεύτερη σειρά. Η πρώτη σειρά πολλαπλασιασμένη επί 6 προστέθηκε στην τρίτη σειρά.

Με το δεύτερο «βήμα» όλα είναι χειρότερα , οι «υποψήφιοι» για αυτό είναι οι αριθμοί 17 και 23 και χρειαζόμαστε είτε ένα είτε -1. Οι μετασχηματισμοί (3) και (4) θα στοχεύουν στην απόκτηση της επιθυμητής μονάδας

(3) Η δεύτερη γραμμή προστέθηκε στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -1.
(4) Η τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με -3, προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή.
(3) Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 4 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή. Η δεύτερη γραμμή πολλαπλασιασμένη με -1 προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή.
(4) Το πρόσημο της δεύτερης γραμμής έχει αλλάξει. Η τέταρτη γραμμή διαιρέθηκε με 3 και τοποθετήθηκε αντί για την τρίτη γραμμή.
(5) Η τρίτη γραμμή προστέθηκε στην τέταρτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί -5.

Αντίστροφη κίνηση:

Ας δοθεί ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, το οποίο πρέπει να λυθεί (να βρείτε τέτοιες τιμές των αγνώστων хi που μετατρέπουν κάθε εξίσωση του συστήματος σε ισότητα).

Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί:

1) Δεν υπάρχουν λύσεις (να είναι ασύμβατες).
2) Να έχεις άπειρες λύσεις.
3) Έχετε μια μοναδική λύση.

Όπως θυμόμαστε, ο κανόνας του Cramer και η μέθοδος matrix είναι ακατάλληλα σε περιπτώσεις όπου το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές. Μέθοδος Gauss – το πιο ισχυρό και ευέλικτο εργαλείο για την εύρεση λύσεων σε οποιοδήποτε σύστημα γραμμικών εξισώσεων, που το σε κάθε περίπτωσηοδηγήστε μας στην απάντηση! Ο αλγόριθμος της μεθόδου και στις τρεις περιπτώσεις λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο. Εάν οι μέθοδοι Cramer και matrix απαιτούν γνώση καθοριστικών παραγόντων, τότε η εφαρμογή της μεθόδου Gauss απαιτεί γνώση μόνο αριθμητικών πράξεων, γεγονός που την καθιστά προσιτή ακόμη και σε μαθητές δημοτικού.

Εκτεταμένοι μετασχηματισμοί πίνακα ( αυτός είναι ο πίνακας του συστήματος - ένας πίνακας που αποτελείται μόνο από τους συντελεστές των αγνώστων, συν μια στήλη ελεύθερων όρων)συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στη μέθοδο Gauss:

1) Με trokyμήτρες μπορώ τακτοποιώμέρη.

2) αν υπάρχουν (ή υπάρχουν) αναλογικές (ως ειδική περίπτωση - πανομοιότυπες) σειρές στον πίνακα, τότε ακολουθεί διαγράφωαπό τον πίνακα, όλες αυτές οι σειρές εκτός από μία.

3) εάν εμφανίστηκε μια μηδενική γραμμή στον πίνακα κατά τη διάρκεια των μετασχηματισμών, τότε ακολουθεί επίσης διαγράφω.

4) η σειρά του πίνακα μπορεί πολλαπλασιάζω (διαιρώ)σε οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

5) στη σειρά του πίνακα, μπορείτε προσθέστε μια άλλη συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αριθμό, διαφορετικό από το μηδέν.

Στη μέθοδο Gauss, οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί δεν αλλάζουν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss αποτελείται από δύο στάδια:

1. "Άμεση κίνηση" - χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων σε μια "τριγωνική" κλιμακωτή μορφή: τα στοιχεία του εκτεταμένου πίνακα που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν (κίνηση από πάνω προς τα κάτω ). Για παράδειγμα, σε αυτό το είδος:

Για να το κάνετε αυτό, εκτελέστε τα ακόλουθα βήματα:

1) Ας θεωρήσουμε την πρώτη εξίσωση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και ο συντελεστής στο x 1 είναι ίσος με Κ. Η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. μετασχηματίζουμε τις εξισώσεις ως εξής: διαιρούμε κάθε εξίσωση (συντελεστές για αγνώστους, συμπεριλαμβανομένων των ελεύθερων όρων) με τον συντελεστή για άγνωστο x 1, που υπάρχει σε κάθε εξίσωση, και πολλαπλασιάζουμε με Κ. Μετά από αυτό, αφαιρούμε την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση ( συντελεστές για αγνώστους και ελεύθερους όρους). Παίρνουμε στο x 1 στη δεύτερη εξίσωση τον συντελεστή 0. Από την τρίτη μετασχηματισμένη εξίσωση αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση, άρα μέχρι όλες οι εξισώσεις εκτός από την πρώτη, με άγνωστο x 1, δεν θα έχουν συντελεστή 0.

2) Προχωρήστε στην επόμενη εξίσωση. Έστω αυτή η δεύτερη εξίσωση και ο συντελεστής στο x 2 είναι ίσος με Μ. Με όλες τις «υποτελείς» εξισώσεις, προχωράμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Έτσι, «κάτω» από τον άγνωστο x 2 σε όλες τις εξισώσεις θα είναι μηδενικά.

3) Περνάμε στην επόμενη εξίσωση και ούτω καθεξής μέχρι να παραμείνει ένας τελευταίος άγνωστος και μετασχηματισμένος ελεύθερος όρος.

1. Η "αντίστροφη κίνηση" της μεθόδου Gauss είναι να ληφθεί μια λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (η κίνηση "από κάτω προς τα πάνω"). Από την τελευταία "κατώτερη" εξίσωση παίρνουμε μια πρώτη λύση - τον άγνωστο x n. Για να γίνει αυτό, λύνουμε τη στοιχειώδη εξίσωση A * x n \u003d B. Στο παραπάνω παράδειγμα, x 3 \u003d 4. Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε στην "άνω" επόμενη εξίσωση και την λύνουμε σε σχέση με το επόμενο άγνωστο. Για παράδειγμα, x 2 - 4 \u003d 1, δηλ. x 2 \u003d 5. Και ούτω καθεξής μέχρι να βρούμε όλα τα άγνωστα.

Παράδειγμα.

Επιλύουμε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, όπως συμβουλεύουν ορισμένοι συγγραφείς:

Γράφουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τον φέρνουμε σε μια βηματική μορφή:

Κοιτάμε το πάνω αριστερό «σκαλοπάτι». Εκεί πρέπει να έχουμε μια μονάδα. Το πρόβλημα είναι ότι δεν υπάρχουν καθόλου άτομα στην πρώτη στήλη, επομένως τίποτα δεν μπορεί να λυθεί με την αναδιάταξη των σειρών. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η μονάδα πρέπει να οργανωθεί χρησιμοποιώντας έναν στοιχειώδη μετασχηματισμό. Αυτό μπορεί συνήθως να γίνει με διάφορους τρόπους. Ας το κάνουμε έτσι:
1 βήμα . Στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη με -1. Δηλαδή, πολλαπλασιάσαμε νοερά τη δεύτερη γραμμή επί -1 και πραγματοποιήσαμε την πρόσθεση της πρώτης και της δεύτερης γραμμής, ενώ η δεύτερη γραμμή δεν άλλαξε.

Τώρα πάνω αριστερά «μείον ένα», που μας ταιριάζει απόλυτα. Όποιος θέλει να πάρει +1 μπορεί να εκτελέσει μια επιπλέον ενέργεια: πολλαπλασιάστε την πρώτη γραμμή με -1 (αλλάξτε το πρόσημό της).

2 βήμα . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 5 προστέθηκε στη δεύτερη γραμμή Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιασμένη με 3 προστέθηκε στην τρίτη γραμμή.

3 βήμα . Η πρώτη γραμμή πολλαπλασιάστηκε με -1, κατ 'αρχήν, αυτό είναι για ομορφιά. Το πρόσημο της τρίτης γραμμής άλλαξε επίσης και μετακινήθηκε στη δεύτερη θέση, έτσι στο δεύτερο «σκαλοπάτι είχαμε την επιθυμητή μονάδα.

4 βήμα . Στην τρίτη γραμμή, προσθέστε τη δεύτερη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενη επί 2.

5 βήμα . Η τρίτη γραμμή διαιρείται με 3.

Ένα σημάδι που υποδηλώνει σφάλμα στους υπολογισμούς (λιγότερο συχνά τυπογραφικό λάθος) είναι μια «κακή» κατώτατη γραμμή. Δηλαδή, αν έχουμε κάτι σαν (0 0 11 | 23) παρακάτω, και, κατά συνέπεια, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, τότε με υψηλό βαθμό πιθανότητας μπορούμε να πούμε ότι έγινε λάθος κατά τη διάρκεια του δημοτικού μεταμορφώσεις.

Εκτελούμε μια αντίστροφη κίνηση, στο σχεδιασμό των παραδειγμάτων, το ίδιο το σύστημα συχνά δεν ξαναγράφεται και οι εξισώσεις "λαμβάνονται απευθείας από τον δεδομένο πίνακα". Η αντίστροφη κίνηση, σας υπενθυμίζω, λειτουργεί «από κάτω προς τα πάνω». Σε αυτό το παράδειγμα, το δώρο αποδείχθηκε:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, επομένως x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Απάντηση:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ας λύσουμε το ίδιο σύστημα χρησιμοποιώντας τον προτεινόμενο αλγόριθμο. Παίρνουμε

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με 5 και την τρίτη με 3. Παίρνουμε:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση με 4, παίρνουμε:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση, έχουμε:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Διαιρέστε την τρίτη εξίσωση με το 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Πολλαπλασιάστε την τρίτη εξίσωση με 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Αφαιρούμε τη δεύτερη εξίσωση από την τρίτη εξίσωση, παίρνουμε τον «βαθμιδωτό» επαυξημένο πίνακα:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Έτσι, δεδομένου ότι ένα σφάλμα συσσωρεύτηκε στη διαδικασία των υπολογισμών, παίρνουμε x 3 \u003d 0,96 ή περίπου 1.

x 2 \u003d 3 και x 1 \u003d -1.

Λύνοντας με αυτόν τον τρόπο, δεν θα μπερδευτείτε ποτέ στους υπολογισμούς και, παρά τα λάθη υπολογισμού, θα έχετε το αποτέλεσμα.

Αυτή η μέθοδος επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι εύκολα προγραμματιζόμενη και δεν λαμβάνει υπόψη τα ειδικά χαρακτηριστικά των συντελεστών για αγνώστους, γιατί στην πράξη (σε οικονομικούς και τεχνικούς υπολογισμούς) πρέπει να ασχοληθεί κανείς με μη ακέραιους συντελεστές.

Σου εύχομαι επιτυχία! Τα λέμε στην τάξη! Παιδαγωγός.

blog.site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ένας από τους απλούστερους τρόπους επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι μια μέθοδος που βασίζεται στον υπολογισμό των οριζόντων ( Ο κανόνας του Cramer). Το πλεονέκτημά του είναι ότι σας επιτρέπει να καταγράψετε αμέσως τη λύση, είναι ιδιαίτερα βολικό σε περιπτώσεις όπου οι συντελεστές του συστήματος δεν είναι αριθμοί, αλλά κάποιο είδος παραμέτρων. Το μειονέκτημά του είναι η δυσκινησία των υπολογισμών στην περίπτωση μεγάλου αριθμού εξισώσεων, επιπλέον, ο κανόνας του Cramer δεν εφαρμόζεται άμεσα σε συστήματα στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων. Σε τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως χρησιμοποιείται Μέθοδος Gauss.

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων που έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων ονομάζονται ισοδύναμος. Είναι προφανές ότι το σύνολο των λύσεων ενός γραμμικού συστήματος δεν θα αλλάξει εάν ανταλλάσσονται κάποιες εξισώσεις ή εάν μία από τις εξισώσεις πολλαπλασιαστεί με κάποιον μη μηδενικό αριθμό ή εάν προστεθεί μια εξίσωση σε μια άλλη.

Μέθοδος Gauss (μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων) έγκειται στο γεγονός ότι, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, το σύστημα ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σταδιακό σύστημα. Πρώτον, με τη βοήθεια της 1ης εξίσωσης, Χ 1 όλων των επόμενων εξισώσεων του συστήματος. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη 2η εξίσωση, εξαλείφουμε Χ 2 της 3ης και όλες οι επόμενες εξισώσεις. Αυτή η διαδικασία, που ονομάζεται άμεση μέθοδος Gauss, συνεχίζεται μέχρι να παραμείνει μόνο ένας άγνωστος στην αριστερή πλευρά της τελευταίας εξίσωσης x n. Μετά από αυτό, γίνεται Gaussian όπισθεν– λύνοντας την τελευταία εξίσωση, βρίσκουμε x n; μετά από αυτό, χρησιμοποιώντας αυτή την τιμή, από την προτελευταία εξίσωση που υπολογίζουμε x n-1 κλπ. Τελευταία βρίσκουμε Χ 1 από την πρώτη εξίσωση.

Είναι βολικό να πραγματοποιούνται μετασχηματισμοί Gauss εκτελώντας μετασχηματισμούς όχι με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά με τους πίνακες των συντελεστών τους. Εξετάστε τον πίνακα:

που ονομάζεται σύστημα εκτεταμένου πίνακα,γιατί εκτός από τον κύριο πίνακα του συστήματος περιλαμβάνει μια στήλη ελεύθερων μελών. Η μέθοδος Gauss βασίζεται στο να φέρει τον κύριο πίνακα του συστήματος σε τριγωνική μορφή (ή τραπεζοειδή μορφή στην περίπτωση μη τετράγωνων συστημάτων) χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σειρών (!) του εκτεταμένου πίνακα του συστήματος.

Παράδειγμα 5.1.Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Λύση. Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος και, χρησιμοποιώντας την πρώτη σειρά, μετά θα μηδενίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία:

παίρνουμε μηδενικά στη 2η, 3η και 4η σειρά της πρώτης στήλης:

Τώρα χρειαζόμαστε όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης κάτω από τη 2η σειρά να είναι ίσα με μηδέν. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη γραμμή με -4/7 και να την προσθέσετε στην 3η γραμμή. Ωστόσο, για να μην ασχοληθούμε με κλάσματα, θα δημιουργήσουμε μια μονάδα στη 2η σειρά της δεύτερης στήλης και μόνο

Τώρα, για να λάβετε έναν τριγωνικό πίνακα, πρέπει να μηδενίσετε το στοιχείο της τέταρτης σειράς της 3ης στήλης, για αυτό μπορείτε να πολλαπλασιάσετε την τρίτη σειρά με 8/54 και να την προσθέσετε στην τέταρτη. Ωστόσο, για να μην ασχοληθούμε με τα κλάσματα, θα ανταλλάξουμε την 3η και 4η σειρά και την 3η και 4η στήλη και μόνο μετά από αυτό θα επαναφέρουμε το καθορισμένο στοιχείο. Σημειώστε ότι όταν οι στήλες αναδιατάσσονται, οι αντίστοιχες μεταβλητές ανταλλάσσονται και αυτό πρέπει να το θυμάστε. άλλοι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί με στήλες (πρόσθεση και πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό) δεν μπορούν να εκτελεστούν!

Ο τελευταίος απλοποιημένος πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα εξισώσεων ισοδύναμο με το αρχικό:

Από εδώ, χρησιμοποιώντας την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss, βρίσκουμε από την τέταρτη εξίσωση Χ 3 = -1; από το τρίτο Χ 4 = -2, από το δεύτερο Χ 2 = 2 και από την πρώτη εξίσωση Χ 1 = 1. Σε μορφή πίνακα, η απάντηση γράφεται ως

Έχουμε εξετάσει την περίπτωση όταν το σύστημα είναι οριστικό, δηλ. όταν υπάρχει μόνο μία λύση. Ας δούμε τι συμβαίνει εάν το σύστημα είναι ασυνεπές ή απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 5.2.Εξερευνήστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Λύση. Καταγράφουμε και μετασχηματίζουμε την επαυξημένη μήτρα του συστήματος

Γράφουμε ένα απλοποιημένο σύστημα εξισώσεων:

Εδώ, στην τελευταία εξίσωση, αποδείχθηκε ότι 0=4, δηλ. αντίφαση. Επομένως, το σύστημα δεν έχει λύση, δηλ. αυτή είναι ασύμβατες. à

Παράδειγμα 5.3.Εξερευνήστε και λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss:

Λύση. Καταγράφουμε και μετασχηματίζουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, προέκυψαν μόνο μηδενικά στην τελευταία γραμμή. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός των εξισώσεων έχει μειωθεί κατά μία:

Έτσι, μετά από απλοποιήσεις, μένουν δύο εξισώσεις, και τέσσερις άγνωστοι, δηλ. δύο άγνωστα «έξτρα». Αφήστε "περιττό", ή, όπως λένε, δωρεάν μεταβλητές, θα Χ 3 και Χτέσσερα. Επειτα

Υποθέτοντας Χ 3 = 2ένακαι Χ 4 = σι, παίρνουμε Χ 2 = 1–ένακαι Χ 1 = 2σι–ένα; ή σε μορφή μήτρας

Μια λύση γραμμένη με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται γενικός, αφού, δίνοντας τις παραμέτρους ένακαι σιδιαφορετικές έννοιες, μπορείς να περιγράψεις τα πάντα ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣσυστήματα. ένα

1. Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

1.1 Η έννοια ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι μια συνθήκη που συνίσταται στην ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών εξισώσεων σε πολλές μεταβλητές. Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (εφεξής SLAE) που περιέχει m εξισώσεις και n αγνώστους είναι ένα σύστημα της μορφής:

όπου οι αριθμοί a ij ονομάζονται συντελεστές του συστήματος, οι αριθμοί b i είναι ελεύθερα μέλη, aijκαι β i(i=1,…, m; b=1,…, n) είναι κάποιοι γνωστοί αριθμοί και x 1 ,…, x n- άγνωστο. Στη σημειογραφία των συντελεστών aijο πρώτος δείκτης i δηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης και ο δεύτερος δείκτης j είναι ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής. Με την επιφύλαξη εύρεσης του αριθμού x n . Είναι βολικό να γράψετε ένα τέτοιο σύστημα σε μορφή συμπαγούς μήτρας: AX=B.Εδώ το Α είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που ονομάζεται κύριος πίνακας.

είναι ένα διάνυσμα στήλης αγνώστου xj.
είναι ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων μελών bi.

Το γινόμενο των πινάκων A * X ορίζεται, δεδομένου ότι υπάρχουν τόσες στήλες στον πίνακα A όσες και οι σειρές στον πίνακα X (n τεμάχια).

Ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος είναι ο πίνακας Α του συστήματος, ο οποίος συμπληρώνεται από μια στήλη ελεύθερων όρων

1.2 Λύση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Η λύση ενός συστήματος εξισώσεων είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (τιμές μεταβλητών), όταν αντικαθιστώνται αντί για μεταβλητές, καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

Η λύση του συστήματος είναι n τιμές των αγνώστων x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, αντικαθιστώντας τις οποίες όλες οι εξισώσεις του συστήματος μετατρέπονται σε αληθινές ισότητες. Οποιαδήποτε λύση του συστήματος μπορεί να γραφτεί ως μήτρα-στήλη

Ένα σύστημα εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει λύσεις.

Ένα κοινό σύστημα ονομάζεται οριστικό εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε λύση της ονομάζεται συγκεκριμένη λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των συγκεκριμένων λύσεων ονομάζεται γενική λύση.

Για να λύσετε ένα σύστημα σημαίνει να ανακαλύψετε εάν είναι συνεπές ή ασυνεπές. Εάν το σύστημα είναι συμβατό, βρείτε το κοινή απόφαση.

Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα (ισοδύναμα) αν έχουν την ίδια γενική λύση. Με άλλα λόγια, τα συστήματα είναι ισοδύναμα εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου, και το αντίστροφο.

Ένας μετασχηματισμός, η εφαρμογή του οποίου μετατρέπει το σύστημα σε νέο σύστημα, ισοδύναμο με τον αρχικό, ονομάζεται ισοδύναμος ή ισοδύναμος μετασχηματισμός. Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί μπορούν να χρησιμεύσουν ως παραδείγματα ισοδύναμων μετασχηματισμών: εναλλαγή δύο εξισώσεων του συστήματος, εναλλαγή δύο αγνώστων μαζί με τους συντελεστές όλων των εξισώσεων, πολλαπλασιασμός και των δύο μερών οποιασδήποτε εξίσωσης του συστήματος με έναν μη μηδενικό αριθμό.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν:

Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού το x1=x2=x3=…=xn=0 είναι μια λύση στο σύστημα. Αυτή η λύση ονομάζεται μηδενική ή ασήμαντη.

2. Gaussian μέθοδος εξάλειψης

2.1 Η ουσία της μεθόδου εξάλειψης Gauss

Η κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων - Μέθοδος Gauss(Ονομάζεται επίσης μέθοδος εξάλειψης Gauss). Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης μεταβλητών, όταν, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, ένα σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα κλιμακωτής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο όλες οι άλλες μεταβλητές βρίσκονται διαδοχικά, ξεκινώντας από το τελευταίες (κατά αριθμό) μεταβλητές.

Η διαδικασία λύσης Gauss αποτελείται από δύο στάδια: κινήσεις προς τα εμπρός και προς τα πίσω.

1. Απευθείας κίνηση.

Στο πρώτο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη άμεση κίνηση, όταν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών σε σειρές, το σύστημα φέρεται σταδιακά ή τριγωνικό σχήμα, ή να διαπιστώσετε ότι το σύστημα είναι ασυνεπές. Δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα, επιλέγεται ένα μη μηδενικό, μετακινείται στην ανώτατη θέση μεταθέτοντας τις σειρές και η πρώτη σειρά που προκύπτει μετά τη μετάθεση αφαιρείται από τις υπόλοιπες σειρές, πολλαπλασιάζοντάς την με ένα τιμή ίση με την αναλογία του πρώτου στοιχείου καθεμιάς από αυτές τις σειρές προς το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς, μηδενίζοντας έτσι τη στήλη κάτω από αυτήν.

Αφού γίνουν οι υποδεικνυόμενοι μετασχηματισμοί, η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη διαγράφονται νοερά και συνεχίζονται μέχρι να παραμείνει ένας πίνακας μηδενικού μεγέθους. Εάν σε ορισμένες από τις επαναλήψεις μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης δεν βρέθηκε ένα μη μηδενικό, τότε μεταβείτε στην επόμενη στήλη και εκτελέστε μια παρόμοια λειτουργία.

Στο πρώτο στάδιο (προς τα εμπρός), το σύστημα μειώνεται σε μια κλιμακωτή (ιδίως, τριγωνική) μορφή.

Το παρακάτω σύστημα είναι σταδιακά:

,

Οι συντελεστές aii ονομάζονται τα κύρια (οδηγητικά) στοιχεία του συστήματος.

(αν a11=0, αναδιατάξτε τις σειρές του πίνακα έτσι ώστε έναΤο 11 δεν ήταν ίσο με 0. Αυτό είναι πάντα δυνατό, γιατί διαφορετικά ο πίνακας περιέχει μια στήλη μηδέν, η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν και το σύστημα είναι ασυνεπές).

Μετασχηματίζουμε το σύστημα εξαλείφοντας το άγνωστο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη (χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του συστήματος). Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί

και προσθέτουμε όρο προς όρο με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (ή από τη δεύτερη εξίσωση αφαιρούμε όρο προς όρο τον πρώτο πολλαπλασιασμένο επί ). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη της πρώτης εξίσωσης με και τα προσθέτουμε στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (ή αφαιρούμε την πρώτη πολλαπλασιασμένη με τον τρίτο όρο κατά όρο). Έτσι, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά την πρώτη σειρά με έναν αριθμό και προσθέτουμε σε Εγώ-η γραμμή, για i= 2, 3, …,n.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, παίρνουμε το ισοδύναμο σύστημα:

– νέες τιμές των συντελεστών για αγνώστους και ελεύθερους όρους στις τελευταίες εξισώσεις m-1 του συστήματος, οι οποίες καθορίζονται από τους τύπους:

Έτσι, στο πρώτο βήμα, καταστρέφονται όλοι οι συντελεστές κάτω από το πρώτο βασικό στοιχείο a 11

0, το δεύτερο βήμα καταστρέφει τα στοιχεία κάτω από το δεύτερο βασικό στοιχείο a 22 (1) (εάν είναι 22 (1) 0), και ούτω καθεξής. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία περαιτέρω, θα μειώσουμε τελικά το αρχικό σύστημα σε ένα τριγωνικό σύστημα στο βήμα (m-1).

Εάν, κατά τη διαδικασία αναγωγής του συστήματος σε μια σταδιακή μορφή, εμφανίζονται μηδενικές εξισώσεις, δηλ. ισότητες της μορφής 0=0, απορρίπτονται. Αν υπάρχει εξίσωση της μορφής

Αυτό δείχνει την ασυμβατότητα του συστήματος.

Αυτό ολοκληρώνει την άμεση πορεία της μεθόδου Gauss.

2. Αντίστροφη κίνηση.

Στο δεύτερο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη αντίστροφη κίνηση, η ουσία της οποίας είναι να εκφραστούν όλες οι βασικές μεταβλητές που προκύπτουν ως μη βασικές και να κατασκευαστεί ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων ή, εάν όλες οι μεταβλητές είναι βασικές, τότε να εκφράσετε αριθμητικά τη μοναδική λύση του συστήματος των γραμμικών εξισώσεων.

Αυτή η διαδικασία ξεκινά με την τελευταία εξίσωση, από την οποία εκφράζεται η αντίστοιχη βασική μεταβλητή (είναι μόνο μία σε αυτήν) και αντικαθίσταται στις προηγούμενες εξισώσεις και ούτω καθεξής, ανεβαίνοντας τα «σκαλιά» στην κορυφή.

Κάθε γραμμή αντιστοιχεί ακριβώς σε μία βασική μεταβλητή, επομένως σε κάθε βήμα, εκτός από την τελευταία (ανώτατη), η κατάσταση επαναλαμβάνει ακριβώς την περίπτωση της τελευταίας γραμμής.

Σημείωση: στην πράξη, είναι πιο βολικό να εργάζεστε όχι με το σύστημα, αλλά με την εκτεταμένη μήτρα του, εκτελώντας όλους τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του. Είναι βολικό ο συντελεστής a11 να είναι ίσος με 1 (αναδιάταξη των εξισώσεων ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το a11).

2.2 Παραδείγματα επίλυσης SLAE με τη μέθοδο Gauss

Σε αυτή την ενότητα, χρησιμοποιώντας τρία διαφορετικά παραδείγματα, θα δείξουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Gauss για την επίλυση SLAE.

Παράδειγμα 1. Λύστε SLAE 3ης τάξης.

Ορίστε τους συντελεστές στο μηδέν στο

στη δεύτερη και τρίτη γραμμή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα με 2/3 και 1, αντίστοιχα, και προσθέστε τα στην πρώτη γραμμή: