Μπορεί η συνεφαπτομένη να είναι μεγαλύτερη από 1. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες, οι διατυπώσεις και η παράγωγή τους. Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x

Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το άλφα δηλώνει έναν πραγματικό αριθμό. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών ως παράδειγμα, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να αναπαρασταθούν ως εξής:

Για να αποδείξουν οπτικά την υπόθεσή τους, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους σαν τους χορούς των σαμάνων με τα ντέφια. Ουσιαστικά, όλοι καταλήγουν στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια δεν είναι κατειλημμένα και εγκαθίστανται νέοι επισκέπτες είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους καλεσμένους (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας φανταστικής ιστορίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετακίνηση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο επισκεπτών, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του χρόνου. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί βλακωδώς, αλλά αυτό θα είναι ήδη από την κατηγορία του «ο νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμογή της πραγματικότητας στις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «άπειρο ξενοδοχείο»; Ένα infinity inn είναι ένα πανδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών θέσεων, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο «για επισκέπτες» είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με δωμάτια για «καλεσμένους». Θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Ταυτόχρονα, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει άπειρους ορόφους σε άπειρα κτίρια σε άπειρο αριθμό πλανητών σε άπειρα σύμπαντα που δημιουργούνται από άπειρους Θεούς. Οι μαθηματικοί, από την άλλη, δεν μπορούν να απομακρυνθούν από τα κοινά καθημερινά προβλήματα: ο Θεός-Αλλάχ-Βούδας είναι πάντα μόνο ένας, το ξενοδοχείο είναι ένα, ο διάδρομος είναι μόνο ένας. Έτσι, οι μαθηματικοί προσπαθούν να κάνουν ταχυδακτυλουργικά τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να «σπρώξουμε το ασπρώξιμο».

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Πρώτα πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτή την ερώτηση, αφού εμείς οι ίδιοι εφεύραμε τους αριθμούς, δεν υπάρχουν αριθμοί στη Φύση. Ναι, η φύση ξέρει να μετράει τέλεια, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Όπως νομίζει η Φύση, θα σας το πω άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Εξετάστε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε έναν πραγματικό επιστήμονα.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια σε ένα ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και δεν υπάρχει που να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Τι γίνεται αν το θέλεις πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να την επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το ράφι και να την προσθέσουμε σε ότι μας έχει απομείνει. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε και πάλι ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

Έχω σημειώσει τις πράξεις στην αλγεβρική σημειογραφία και στη σημειογραφία της θεωρίας συνόλων, παραθέτοντας λεπτομερώς τα στοιχεία του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρεθεί ένας από αυτό και προστεθεί ο ίδιος.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Παίρνουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και τον προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Να τι παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν ένα άλλο άπειρο σύνολο προστεθεί σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών χρησιμοποιείται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο όπως ένας χάρακας για μετρήσεις. Τώρα φανταστείτε ότι έχετε προσθέσει ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι ήδη μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να αποδεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - αυτό είναι δική σας υπόθεση. Αν όμως συναντήσετε ποτέ μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε αν βρίσκεστε στο μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής, που την έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Άλλωστε, τα μαθήματα των μαθηματικών, πρώτα απ 'όλα, σχηματίζουν ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης μέσα μας και μόνο τότε μας προσθέτουν νοητικές ικανότητες (ή το αντίστροφο, μας στερούν την ελεύθερη σκέψη).

pozg.ru

Κυριακή 4 Αυγούστου 2019

Έγραφα ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσητα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ανόμοιων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημακαι βάση αποδεικτικών στοιχείων.

Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι αδύναμο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα το εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν έχει ολιστικό χαρακτήρα και περιορίζεται σε ένα σύνολο ετερόκλητων τμημάτων, χωρίς κοινό σύστημα και αποδεικτική βάση.

Δεν θα πάω μακριά για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και συμβάσεις που διαφέρουν από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω έναν ολόκληρο κύκλο δημοσιεύσεων στις πιο προφανείς γκάφες των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο 3 Αυγούστου 2019

Πώς να χωρίσετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, πρέπει να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης, η οποία υπάρχει σε ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Μακάρι να έχουμε πολλούς ΑΛΛΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίζεται με βάση τα "άνθρωποι" Ας ορίσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου μέσω του γράμματος ένα, ο δείκτης με έναν αριθμό θα υποδεικνύει τον τακτικό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σύνολο. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «σεξουαλικό χαρακτηριστικό» και ας το υποδηλώσουμε με το γράμμα σι. Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΑΛΛΑγια το φύλο σι. Παρατηρήστε ότι το σετ "άνθρωποι" μας έχει γίνει πλέον το σετ "άτομα με φύλο". Μετά από αυτό, μπορούμε να χωρίσουμε τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά σε αρσενικά bmκαι γυναικεία bwχαρακτηριστικά του φύλου. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά, δεν έχει σημασία ποιο είναι αρσενικό ή θηλυκό. Αν υπάρχει σε ένα άτομο, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο ζώδιο, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά εφαρμόζουμε τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τις αναγωγές και τις ανακατατάξεις, έχουμε δύο υποσύνολα: το αρσενικό υποσύνολο bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών bw. Περίπου με τον ίδιο τρόπο συλλογίζονται οι μαθηματικοί όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας αφήνουν να μπούμε στις λεπτομέρειες, αλλά μας δίνουν το τελικό αποτέλεσμα - «πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών». Φυσικά, μπορεί να έχετε μια ερώτηση, πόσο σωστά εφαρμόστηκαν τα μαθηματικά στους παραπάνω μετασχηματισμούς; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω ότι στην πραγματικότητα οι μετασχηματισμοί γίνονται σωστά, αρκεί να γνωρίζουμε τη μαθηματική αιτιολόγηση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων τμημάτων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας το πω.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, είναι δυνατό να συνδυαστούν δύο σύνολα σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας μια μονάδα μέτρησης που υπάρχει στα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα κοινά μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων παρελθόν. Ένα σημάδι ότι δεν πάνε όλα καλά με τη θεωρία συνόλων είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί έκαναν ό,τι έκαναν κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Αυτή τη «γνώση» μας διδάσκουν.

Τέλος, θέλω να σας δείξω πώς χειραγωγούν οι μαθηματικοί.

Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςΟ Ζήνων ο Ελέας διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για την εφαρμογή μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει να επιβραδύνεται ο χρόνος μέχρι να σταματήσει εντελώς τη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Παραμείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην μεταβείτε σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηΠροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινιστεί ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος ακουμπάει σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Σε τι θέλω να εστιάσω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Σας είπα ήδη ότι, με τη βοήθεια του οποίου οι σαμάνοι προσπαθούν να ταξινομήσουν "" πραγματικότητες. Πώς το κάνουν; Πώς γίνεται στην πραγματικότητα η διαμόρφωση του συνόλου;

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στον ορισμό ενός συνόλου: «μια συλλογή διαφορετικών στοιχείων, που συλλαμβάνεται ως ένα ενιαίο σύνολο». Τώρα νιώστε τη διαφορά μεταξύ των δύο φράσεων: "σκεπτόμενος ως σύνολο" και "σκεπτόμενος ως σύνολο". Η πρώτη φράση είναι το τελικό αποτέλεσμα, το πλήθος. Η δεύτερη φράση είναι προκαταρκτική προετοιμασίαστο σχηματισμό πλήθους. Σε αυτό το στάδιο, η πραγματικότητα χωρίζεται σε ξεχωριστά στοιχεία («ολόκληρο») από τα οποία στη συνέχεια θα σχηματιστεί ένα πλήθος («ενιαίο σύνολο»). Ταυτόχρονα, ο παράγοντας που σας επιτρέπει να συνδυάσετε το "σύνολο" σε ένα "ενιαίο σύνολο" παρακολουθείται προσεκτικά, διαφορετικά οι σαμάνοι δεν θα τα καταφέρουν. Άλλωστε, οι σαμάνοι γνωρίζουν εκ των προτέρων τι ακριβώς σετ θέλουν να μας επιδείξουν.

Θα δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε "κόκκινο στερεό σε σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, και υπάρχουν χωρίς τόξο. Μετά από αυτό, επιλέγουμε ένα μέρος του «όλου» και σχηματίζουμε ένα σύνολο «με φιόγκο». Έτσι τρέφονται οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό κόλπο. Ας πάρουμε «στερεό σε σπυράκι με φιόγκο» και ας ενώσουμε αυτά τα «ολόκληρα» ανά χρώμα, επιλέγοντας κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα μια δύσκολη ερώτηση: τα σετ "με φιόγκο" και "κόκκινα" είναι το ίδιο σετ ή δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, ας είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για την πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Σχηματίσαμε ένα σετ «κόκκινο συμπαγές σπυράκι με φιόγκο». Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), αντοχή (συμπαγές), τραχύτητα (σε χτύπημα), διακοσμήσεις (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης καθιστά δυνατή την επαρκή περιγραφή πραγματικών αντικειμένων στη γλώσσα των μαθηματικών. Εδώ είναι πώς φαίνεται.

Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Σε παρένθεση επισημαίνονται μονάδες μέτρησης, σύμφωνα με τις οποίες το «σύνολο» κατανέμεται στο προκαταρκτικό στάδιο. Η μονάδα μέτρησης, σύμφωνα με την οποία διαμορφώνεται το σετ, βγαίνει από αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - ένα στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, και όχι οι χοροί των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντάς το με «προφανή», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν περιλαμβάνονται στο «επιστημονικό» τους οπλοστάσιο.

Με τη βοήθεια μονάδων μέτρησης, είναι πολύ εύκολο να αναλυθεί μία
Είναι σήμερα που όλα όσα δεν παίρνουμε ανήκουν σε κάποιο σύνολο (όπως μας διαβεβαιώνουν οι μαθηματικοί). Παρεμπιπτόντως, είδες στον καθρέφτη στο μέτωπό σου μια λίστα με εκείνα τα σύνολα στα οποία ανήκεις; Και δεν έχω δει τέτοια λίστα. Θα πω περισσότερα - κανένα πράγμα στην πραγματικότητα δεν έχει ετικέτα με λίστα σετ στα οποία ανήκει αυτό το πράγμα. Τα σετ είναι όλα εφευρέσεις των σαμάνων. Πώς το κάνουν; Ας δούμε λίγο βαθύτερα στην ιστορία και ας δούμε πώς έμοιαζαν τα στοιχεία του σετ προτού οι μαθηματικοί-σαμάνοι τα χωρίσουν στα σετ τους.

Πριν από πολύ καιρό, όταν κανείς δεν είχε ακούσει ακόμη για τα μαθηματικά, και μόνο τα δέντρα και ο Κρόνος είχαν δαχτυλίδια, τεράστια κοπάδια από άγρια ​​στοιχεία συνόλων περιφέρονταν στα φυσικά πεδία (εξάλλου, οι σαμάνοι δεν είχαν εφεύρει ακόμη μαθηματικά πεδία). Έμοιαζαν έτσι.

Ναι, μην εκπλαγείτε, από την άποψη των μαθηματικών, όλα τα στοιχεία των συνόλων μοιάζουν περισσότερο με αχινούς- από ένα σημείο, όπως οι βελόνες, οι μονάδες μέτρησης προεξέχουν προς όλες τις κατευθύνσεις. Για όσους, σας υπενθυμίζω ότι οποιαδήποτε μονάδα μέτρησης μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως τμήμα αυθαίρετου μήκους και ένας αριθμός ως σημείο. Γεωμετρικά, οποιαδήποτε ποσότητα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια δέσμη τμημάτων που προεξέχουν διαφορετικές πλευρέςαπό ένα σημείο. Αυτό το σημείο είναι το σημείο μηδέν. Δεν θα ζωγραφίσω αυτό το έργο γεωμετρικής τέχνης (χωρίς έμπνευση), αλλά μπορείτε εύκολα να το φανταστείτε.

Ποιες μονάδες μέτρησης αποτελούν στοιχείο του συνόλου; Οποιοδήποτε που περιγράφει αυτό το στοιχείο από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Αυτές είναι οι αρχαίες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούσαν οι πρόγονοί μας και τις οποίες όλοι έχουν από καιρό ξεχάσει. Αυτές είναι οι σύγχρονες μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούμε τώρα. Αυτές είναι άγνωστες σε εμάς μονάδες μέτρησης, τις οποίες θα καταλήξουν οι απόγονοί μας και τις οποίες θα χρησιμοποιήσουν για να περιγράψουν την πραγματικότητα.

Καταλάβαμε τη γεωμετρία - το προτεινόμενο μοντέλο των στοιχείων του συνόλου έχει μια σαφή γεωμετρική αναπαράσταση. Και τι γίνεται με τη φυσική; Μονάδες μέτρησης - αυτή είναι η άμεση σύνδεση μεταξύ των μαθηματικών και της φυσικής. Εάν οι σαμάνοι δεν αναγνωρίζουν τις μονάδες μέτρησης ως ένα πλήρες στοιχείο των μαθηματικών θεωριών, αυτό είναι το πρόβλημά τους. Προσωπικά δεν μπορώ να φανταστώ μια πραγματική επιστήμη των μαθηματικών χωρίς μονάδες μέτρησης. Γι' αυτό, στην αρχή της ιστορίας για τη θεωρία των συνόλων, μίλησα για αυτήν ως Λίθινη Εποχή.

Αλλά ας προχωρήσουμε στο πιο ενδιαφέρον - στην άλγεβρα των στοιχείων των συνόλων. Αλγεβρικά, οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου είναι γινόμενο (το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού) διαφορετικών μεγεθών.Μοιάζει με αυτό.

Σκόπιμα δεν χρησιμοποίησα τις συμβάσεις που υιοθετήθηκαν στη θεωρία συνόλων, καθώς εξετάζουμε ένα στοιχείο ενός συνόλου σε ένα φυσικό περιβάλλον πριν από την εμφάνιση της θεωρίας συνόλων. Κάθε ζεύγος γραμμάτων σε αγκύλες υποδηλώνει μια ξεχωριστή τιμή, που αποτελείται από τον αριθμό που υποδεικνύεται με το γράμμα " n"και μονάδες μέτρησης, που υποδεικνύονται με το γράμμα" ένα". Τα ευρετήρια κοντά στα γράμματα δείχνουν ότι οι αριθμοί και οι μονάδες μέτρησης είναι διαφορετικοί. Ένα στοιχείο του συνόλου μπορεί να αποτελείται από άπειρο αριθμό τιμών (εφόσον εμείς και οι απόγονοί μας έχουμε αρκετή φαντασία). Κάθε στοιχείο Το στήριγμα αντιπροσωπεύεται γεωμετρικά από ένα ξεχωριστό τμήμα Στο παράδειγμα με τον αχινό ένα στήριγμα είναι μία βελόνα.

Πώς οι σαμάνοι σχηματίζουν σύνολα από διαφορετικά στοιχεία; Μάλιστα, με μονάδες μέτρησης ή με αριθμούς. Μη καταλαβαίνοντας τίποτα στα μαθηματικά, παίρνουν διαφορετικούς αχινούς και τους εξετάζουν προσεκτικά αναζητώντας αυτή τη μοναδική βελόνα με την οποία σχηματίζουν ένα σύνολο. Εάν υπάρχει μια τέτοια βελόνα, τότε αυτό το στοιχείο ανήκει στο σετ· εάν δεν υπάρχει τέτοια βελόνα, αυτό το στοιχείο δεν είναι από αυτό το σετ. Οι σαμάνοι μας λένε μύθους για διαδικασίες σκέψηςκαι ένα ενιαίο σύνολο.

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, το ίδιο στοιχείο μπορεί να ανήκει σε μια ποικιλία συνόλων. Στη συνέχεια, θα σας δείξω πώς σχηματίζονται σύνολα, υποσύνολα και άλλες σαμανικές ανοησίες.

|BD| - το μήκος του τόξου ενός κύκλου με κέντρο το σημείο Α.
α είναι η γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.

Εφαπτομένη ( tgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος του διπλανού ποδιού |AB| .
Συμεφαπτομένη ( ctgα) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος του απέναντι σκέλους |π.Χ.| .

Εφαπτομένος

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική λογοτεχνία, η εφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
;
;
.

Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης, y = tg x

Συνεφαπτομένη

Οπου n- ολόκληρος.

Στη δυτική βιβλιογραφία, η συνεφαπτομένη συμβολίζεται ως εξής:
.
Υιοθετήθηκε επίσης ο ακόλουθος συμβολισμός:
;
;
.

Γράφημα της συνεπαπτομένης, y = ctg x

Ιδιότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

Περιοδικότης

Συναρτήσεις y= tg xκαι y= ctg xείναι περιοδικές με περίοδο π.

Ισοτιμία

Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές.

Τομείς ορισμού και αξιών, αύξουσα, φθίνουσα

Οι συναρτήσεις εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης παρουσιάζονται στον πίνακα ( n- ακέραιος).

	y= tg x	y= ctg x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια
Εύρος τιμών	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Αύξουσα		-
Φθίνων	-
Ακρα	-	-
Μηδενικά, y= 0
Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0	y= 0	-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Εκφράσεις ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο

; ;
; ;
;

Τύποι για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη του αθροίσματος και της διαφοράς

Οι υπόλοιποι τύποι είναι εύκολο να ληφθούν, για παράδειγμα

Προϊόν των εφαπτομένων

Ο τύπος για το άθροισμα και τη διαφορά των εφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις ως προς τους μιγαδικούς αριθμούς

Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις

;
;

Παράγωγα

; .

.
Παράγωγος της νης τάξης ως προς τη μεταβλητή x της συνάρτησης :
.
Παραγωγή τύπων για εφαπτομένη > > > ; για συνεφαπτομένη > > >

Ολοκληρώματα

Επεκτάσεις σε σειρές

Για να λάβετε την επέκταση της εφαπτομένης σε δυνάμεις του x, πρέπει να λάβετε αρκετούς όρους της επέκτασης σε μια σειρά ισχύος για τις συναρτήσεις αμαρτία xκαι cos xκαι διαιρέστε αυτά τα πολυώνυμα το ένα στο άλλο, . Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τους ακόλουθους τύπους.

Στο .

στο .
όπου B n- Αριθμοί Μπερνούλι. Καθορίζονται είτε από τη σχέση υποτροπής:
;
;
όπου .
Ή σύμφωνα με τον τύπο Laplace:

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι τοξοεφαπτομένη και τοξοεφαπτομένη, αντίστοιχα.

Arctangent, arctg

, όπου n- ολόκληρος.

Εφαπτομένη τόξου, arcctg

, όπου n- ολόκληρος.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.
G. Korn, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Ερευνητές και Μηχανικούς, 2012.

Δείτε επίσης:

Διάλεξη: Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη αυθαίρετης γωνίας

Ημίτονο, συνημίτονο αυθαίρετης γωνίας

Για να καταλάβουμε τι είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ας στραφούμε σε κύκλο με μοναδιαία ακτίνα. Αυτός ο κύκλος είναι κεντραρισμένος στην αρχή στο επίπεδο συντεταγμένων. Για να προσδιορίσουμε τις δεδομένες συναρτήσεις, θα χρησιμοποιήσουμε το διάνυσμα ακτίνας Ή, που ξεκινά από το κέντρο του κύκλου, και το σημείο Rείναι ένα σημείο στον κύκλο. Αυτό το διάνυσμα ακτίνας σχηματίζει μια γωνία άλφα με τον άξονα OH. Αφού ο κύκλος έχει ακτίνα ίση με ένα, τότε Ή = R = 1.

Αν από το σημείο Rρίξτε μια κάθετη στον άξονα OH, τότε παίρνουμε ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με ένα.

Εάν το διάνυσμα ακτίνας κινείται δεξιόστροφα, τότε αυτή την κατεύθυνσηπου ονομάζεται αρνητικός, αλλά αν κινείται αριστερόστροφα - θετικός.

Το ημίτονο μιας γωνίας Ή, είναι η τεταγμένη του σημείου Rδιανύσματα σε έναν κύκλο.

Δηλαδή, για να ληφθεί η τιμή του ημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας άλφα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συντεταγμένη Στοστην επιφάνεια.

Πώς προέκυψε αυτή η τιμή; Εφόσον γνωρίζουμε ότι το ημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του αντίθετου σκέλους προς την υποτείνουσα, παίρνουμε ότι

Και από τότε R=1, έπειτα sin(α) = y 0 .

Στον μοναδιαίο κύκλο, η τιμή της τεταγμένης δεν μπορεί να είναι μικρότερη από -1 και μεγαλύτερη από 1, πράγμα που σημαίνει ότι

Το ημίτονο είναι θετικό στο πρώτο και δεύτερο τέταρτο του κύκλου μονάδας και αρνητικό στο τρίτο και τέταρτο.

Συνημίτονο γωνίαςδεδομένος κύκλος που σχηματίζεται από το διάνυσμα ακτίνας Ή, είναι η τετμημένη του σημείου Rδιανύσματα σε έναν κύκλο.

Δηλαδή, για να ληφθεί η τιμή του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας άλφα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η συντεταγμένη Χστην επιφάνεια.

Το συνημίτονο μιας αυθαίρετης γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα, παίρνουμε ότι

Και από τότε R=1, έπειτα cos(α) = x 0 .

Στον μοναδιαίο κύκλο, η τιμή της τετμημένης δεν μπορεί να είναι μικρότερη από -1 και μεγαλύτερη από 1, πράγμα που σημαίνει ότι

Το συνημίτονο είναι θετικό στο πρώτο και τέταρτο τεταρτημόριο του μοναδιαίου κύκλου και αρνητικό στο δεύτερο και τρίτο.

εφαπτομένοςαυθαίρετη γωνίαυπολογίζεται ο λόγος ημιτόνου προς συνημίτονο.

Αν θεωρήσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε αυτός είναι ο λόγος του απέναντι σκέλους προς το διπλανό. Αν μιλάμε για κύκλο μονάδας, τότε αυτή είναι η αναλογία της τεταγμένης προς την τετμημένη.

Κρίνοντας από αυτές τις σχέσεις, μπορεί να γίνει κατανοητό ότι η εφαπτομένη δεν μπορεί να υπάρξει εάν η τιμή της τετμημένης είναι μηδέν, δηλαδή σε γωνία 90 μοιρών. Η εφαπτομένη μπορεί να πάρει όλες τις άλλες τιμές.

Η εφαπτομένη είναι θετική στο πρώτο και τρίτο τέταρτο του μοναδιαίου κύκλου και αρνητική στο δεύτερο και τέταρτο.

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.